第十二章-微分方程

第十二章-微分方程第一頁，共42頁。微分方程第六章—積分問題—微分方程問題

推廣第6章第一頁第二頁，共42頁。微分方程的基本概念

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

§1

了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解的基本概念第6章第二頁第三頁，共42頁。引例.一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三頁第四頁，共42頁。常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)(n階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n階常微分方程的形式是的階.分類或機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第四頁第五頁，共42頁。—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例通解:特解:微分方程的解—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第五頁第六頁，共42頁。例1.

驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第六頁第七頁，共42頁。主講教師：高彥偉總課時(shí)：124

第一百一十三講常微分方程高等數(shù)學(xué)吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育第七頁第八頁，共42頁?？煞蛛x變量微分方程

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束§2解變量可分離方程

變量可分離的微分方程

第6章第八頁第九頁，共42頁。分離變量方程的解法:設(shè)y＝

(x)是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時(shí),說明由②確定的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時(shí),上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第九頁第十頁，共42頁。例1.求微分方程的通解.解:分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第十頁第十一頁，共42頁。例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第十一頁第十二頁，共42頁。例3:解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C為任意常數(shù))所求通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第十二頁第十三頁，共42頁。內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個(gè)解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第十三頁第十四頁，共42頁。練習(xí)1.已知一階微分方程（1）求通解；（2）求它過點(diǎn)（1，4）的特解；（3）求出與直線相切的解。第十四頁第十五頁，共42頁。解：（1）方程變形為將方程兩端積分，有（2）將點(diǎn)（1，4）代入通解，得所求特解為（3）解方程組由于相切，故根的判別式所求曲線為第十五頁第十六頁，共42頁。2.求下列方程的通解:提示:(1)分離變量(2)方程變形為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第十六頁第十七頁，共42頁。主講教師：高彥偉總課時(shí)：124

第一百一十四講常微分方程高等數(shù)學(xué)吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育第十七頁第十八頁，共42頁。齊次方程

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束會(huì)識(shí)別齊次方程，會(huì)求其解第6章

§3第十八頁第十九頁，共42頁。齊次方程的定義形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第十九頁第二十頁，共42頁。例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(當(dāng)C=0時(shí),

y=0也是方程的解)(C為任意常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十頁第二十一頁，共42頁。例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:顯然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C為任意常數(shù))求解過程中丟失了.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十一頁第二十二頁，共42頁。例3.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分故原方程的通解為(C為任意常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十二頁第二十三頁，共42頁。主講教師：高彥偉總課時(shí)：124

第一百一十五講常微分方程高等數(shù)學(xué)吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育第二十三頁第二十四頁，共42頁。一階線性微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、一階線性微分方程的形式第6章二、掌握求通解的計(jì)算公式

§4第二十四頁第二十五頁，共42頁。一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十五頁第二十六頁，共42頁。對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十六頁第二十七頁，共42頁。例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十七頁第二十八頁，共42頁。例2.

求方程的通解.解:注意x,y同號(hào),由一階線性方程通解公式,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十八頁第二十九頁，共42頁。內(nèi)容小結(jié)一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第二十九頁第三十頁，共42頁。練習(xí)1.判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十頁第三十一頁，共42頁。2.求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十一頁第三十二頁，共42頁。2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十二頁第三十三頁，共42頁。2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十三頁第三十四頁，共42頁。主講教師：高彥偉總課時(shí)：124

第一百一十六講常微分方程高等數(shù)學(xué)吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育第三十四頁第三十五頁，共42頁。一階微分方程的解法練習(xí)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問題第6章第三十五頁第三十六頁，共42頁。一、一階微分方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十六頁第三十七頁，共42頁。例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十七頁第三十八頁，共42頁。方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十八頁第三十九頁，共42頁。提示：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6章第三十九頁第四十頁，