數(shù)學(xué)物理方程和定解條件

物理現(xiàn)象問題的提出問題的解決——數(shù)學(xué)描述——求解過程物理問題導(dǎo)出的函數(shù)方程偏微分方程積分方程數(shù)學(xué)物理方程=來自物理問題的偏微分方程（二階線性偏微分方程）◆靜電勢(shì)和引力勢(shì)滿足的拉普拉斯方程◆波的傳播所滿足的波動(dòng)方程◆熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題中的熱傳導(dǎo)方程◆描寫電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化的麥克斯韋方程組◆作為微觀物質(zhì)運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的薛定諤方程和狄拉克方程用數(shù)理方程研究物理問題的步驟：

導(dǎo)出或?qū)懗龆ń鈫栴}

求解定解問題

討論解的適定性（存在性、唯一性、穩(wěn)定性），作物理解釋建立數(shù)理方程確定定解條件數(shù)理方程的建立：

將所研究的系統(tǒng)中的一小部分分割出來根據(jù)物理學(xué)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)這個(gè)規(guī)律

（牛頓第二定律、能量守恒定律等）

化簡(jiǎn)整理定解條件初始條件：物理過程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式

t

的n階偏微分方程需要n-1

個(gè)初始條件才能確立一個(gè)特解邊界條件：物理過程邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式銜接條件：不同介質(zhì)組成的系統(tǒng)，在兩種不同介質(zhì)的交界處需要給定的條件定解問題的求解方法

形波法

分離變量法

積分變換法

格林函數(shù)法

保角變換法

變分法三類定解問題方程+初始條件=初值問題

方程+邊界條件=邊值問題

積分變換法方程+初始條件+邊界條件=混合問題第十二章數(shù)學(xué)物理方程和定解條件數(shù)學(xué)物理方法——常微分方程

具有有限多個(gè)自由度的系統(tǒng)物理問題中的微分方程物理規(guī)律的數(shù)學(xué)描述偏微分方程

具有無限多個(gè)自由度的連續(xù)介質(zhì)或場(chǎng)描述對(duì)象以下導(dǎo)出常見的幾個(gè)數(shù)學(xué)物理方程物理問題12.1弦的橫振動(dòng)方程完全柔軟的均勻弦，沿水平直線繃緊后以某種方式激發(fā)，在鉛直平面內(nèi)作小振動(dòng)，求弦的橫振動(dòng)方程。

取弦的平衡位置為x軸，兩端分別為x

=0和x

=l，設(shè)u(x,

t)為弦上一點(diǎn)x在時(shí)刻t的橫向位移。如圖，弦上一小段dx兩端x和x

+dx處受到彈性力F的作用?！呦彝耆彳洝?/p>

F=T

：切向應(yīng)力，無法向力

dx足夠小，可視為質(zhì)點(diǎn)，它在x方向及垂直方向上的動(dòng)力學(xué)方程為：牛頓第二定律忽略了重力的作用均勻弦方程

變?yōu)椋杭葱≌駝?dòng)弦兩端的位移之差u(x+dx,

t)

－u(x,

t)與dx相比是一個(gè)小量因此，在準(zhǔn)確到的一級(jí)項(xiàng)的條件下，（略去了的三級(jí)項(xiàng)）（略去了的二級(jí)項(xiàng)）方程

化為：（弦中各點(diǎn)張力相等，T不隨x變化）令，則a：弦的振動(dòng)傳播速度（后面證明）可以證明：小振動(dòng)條件下，張力T與時(shí)間t無關(guān)。一小段弦的伸長(zhǎng)：∵弦的總長(zhǎng)度不隨時(shí)間變化由胡克定律知，引起弦長(zhǎng)度變化的應(yīng)力T不隨時(shí)間變化，前面已證T不隨x變化∴T

是一個(gè)恒量當(dāng)弦在橫向上受到外力作用時(shí)，有f：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上所受的外力因此，非齊次項(xiàng)是單位質(zhì)量所受的外力12.2桿的縱振動(dòng)方程類似地處理?xiàng)U的縱振動(dòng)方程

一根均勻細(xì)桿沿桿長(zhǎng)方向作小振動(dòng)，假設(shè)在垂直桿長(zhǎng)方向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況（即位移）完全相同，并且不考慮在垂直方向上相應(yīng)發(fā)生的形變。

取桿長(zhǎng)方向?yàn)閤軸方向，垂直于桿長(zhǎng)方向的截面均用它的平衡位置x標(biāo)記，在任一時(shí)刻t，此截面相對(duì)于平衡位置的位移為u(x,

t)，對(duì)于桿的一小段(x,x+dx)通過兩端截面所受到的彈性力分別為P(x,

t)S和P(x+dx,

t)S。如圖，其中P(x,t)為x處的截面在時(shí)刻t時(shí)，單位面積所受的彈性力。若桿的密度為r，則略去桿長(zhǎng)方向的形變，根據(jù)胡克定律，由牛頓第二定律可知E是桿的楊氏模量，是物質(zhì)常數(shù)令，則桿的縱振動(dòng)方程為桿的縱振動(dòng)弦的橫振動(dòng)機(jī)理不完全相同，偏微分方程形式完全一樣。波動(dòng)方程：是拉普拉斯算符12.3熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的方法與前面完全相同

不同之處：具體的物理規(guī)律不同波動(dòng)方程——牛頓第二定律、胡克定律熱傳導(dǎo)方程——能量守恒定律、熱傳導(dǎo)的傅里葉定律熱傳導(dǎo)的傅里葉定律設(shè)u(x,y,z,t)表示連續(xù)介質(zhì)內(nèi)空間坐標(biāo)為(x,y,z)點(diǎn)在時(shí)刻t的溫度，若介質(zhì)內(nèi)存在溫度差，而溫度變化不大時(shí)，則熱流密度與溫度梯度成正比，比例系數(shù)k稱為熱導(dǎo)率，k的大小與介質(zhì)材料和溫度有關(guān)，若溫度變化不大時(shí)，k近似地與溫度u無關(guān)。負(fù)號(hào)表示熱流方向與溫度變化方向相反，即熱量由高溫流向低溫。均勻各向同性介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程

如圖，介質(zhì)內(nèi)部的一個(gè)長(zhǎng)方體微元，建立坐標(biāo)系使坐標(biāo)面與長(zhǎng)方體表面重合。從時(shí)刻t到時(shí)刻t+dt，沿x軸方向流入長(zhǎng)方體微元的熱量為：同理，在dt時(shí)間內(nèi)沿y、z方向流入體積微元的熱量分別為：流入體積微元的凈熱量為：令，則

若體積微元內(nèi)沒有其它熱源或消耗，由能量守恒定律可知：凈流入的熱量等于介質(zhì)在此時(shí)間內(nèi)溫度升高所需的熱量。r：介質(zhì)密度c：比熱容k

為溫度傳導(dǎo)率令，則

若體積微元內(nèi)有熱量產(chǎn)生（化學(xué)反應(yīng)、電流通過等），單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t)，則有：令（熱流強(qiáng)度），則上式變?yōu)槿艚橘|(zhì)不均勻，則熱導(dǎo)率k與坐標(biāo)有關(guān)熱傳導(dǎo)方程變?yōu)椋哼B續(xù)性方程對(duì)于各向異性的介質(zhì)，熱導(dǎo)率k與坐標(biāo)方向x、y、z相關(guān)，傅立葉定律變?yōu)椋菏?×3矩陣，則熱傳導(dǎo)方程為：

從分子運(yùn)動(dòng)的層面看，溫度的高低表征了物質(zhì)分子熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。分子熱運(yùn)動(dòng)的不平衡通過碰撞交換能量，宏觀上就表現(xiàn)為熱量的傳遞。同樣地，若物質(zhì)的內(nèi)部濃度不均勻，通過分子運(yùn)動(dòng)發(fā)生物質(zhì)交換，宏觀上就表現(xiàn)為分子的擴(kuò)散。熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散的這種微觀機(jī)理上的相似性，決定了擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程具有相同的形式：其中，u(x,y,z,t)代表分子濃度，D是擴(kuò)散系數(shù)，

f(x,y,z,t)是單位時(shí)間內(nèi)在單位體積中該種分子的產(chǎn)率。設(shè)位移函數(shù)為u(x,t)，依題意單位長(zhǎng)弦受到的阻力為，如圖，弦中任意一小段dx在振動(dòng)過程中的受力情況為：

例題解在弦的橫振動(dòng)問題中，若弦受到一個(gè)與速率成正比的阻力，試導(dǎo)出弦的阻尼振動(dòng)方程?？v向（水平方向）：橫向（豎直方向）：小振動(dòng)條件下，運(yùn)動(dòng)方程化簡(jiǎn)為：∵弦在作橫振動(dòng)，∴由牛頓第二定律有即∴弦的阻尼橫振動(dòng)方程為設(shè)粒子的濃度為u(x,y,z,t)，考慮dt時(shí)間內(nèi)dv中的粒子流動(dòng)情況，由擴(kuò)散定律知，流入x方向的凈粒子數(shù)為：

例題解設(shè)擴(kuò)散物質(zhì)的源強(qiáng)（即單位時(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的擴(kuò)散物質(zhì)）為F(x,y,z,t)，試導(dǎo)出擴(kuò)散方程。y方向：z方向：源強(qiáng)產(chǎn)生的粒子數(shù)：由質(zhì)量守恒得：兩邊同除以dxdydzdt得：擴(kuò)散定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過單位截面的粒子數(shù)與濃度梯度成正比。負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度變化方向相反，即粒子由高濃度向低濃度擴(kuò)散。若D為均勻的，即與(x,y,z)無關(guān)，則設(shè)桿做縱振動(dòng)的位移函數(shù)為u(x,t)，桿的楊氏模量為E，體密度為r，在x處的橫截面積為S(x)，dx做縱振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為：

例題解試推導(dǎo)一均質(zhì)細(xì)圓錐桿的縱振動(dòng)方程?？v向（水平方向）：兩邊同除以dx將代入上式，可得：約去p和tana，化簡(jiǎn)整理得令則此繩為柔軟輕繩，可視作忽略掉重量的弦，設(shè)繩的平衡位置為水平線，位移函數(shù)為u(x,t)，繩的線密度為r，類似弦的橫振動(dòng)分析，dx做橫振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為：

例題解長(zhǎng)為l的均質(zhì)柔軟輕繩，一段固定在豎直軸上，繩子以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。試導(dǎo)出此繩相對(duì)于水平線的橫振動(dòng)方程。橫向（豎直方向）：