第二章矩陣的運(yùn)算及與矩陣的秩ppt

第二章矩陣的運(yùn)算與矩陣的秩

本章要點(diǎn)流程:

首先介紹矩陣的基本運(yùn)算進(jìn)一步了解分塊矩陣重點(diǎn)學(xué)習(xí)可逆矩陣

最后對(duì)齊次線性方程組解的作了討論認(rèn)識(shí)矩陣的秩§2.1矩陣的基本運(yùn)算一、矩陣的線性運(yùn)算定義2.1設(shè)都是矩陣，為給定的數(shù)．（1）稱矩陣為矩陣A與B相加的和，記作A+B；（2）稱矩陣為數(shù)與矩陣A相乘的積，記作．稱為數(shù)量矩陣

稱矩陣為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A．利用負(fù)矩陣及矩陣的加法，定義矩陣的減法為同型矩陣矩陣的線性運(yùn)算滿足以下規(guī)律（設(shè)為A,B,C同型矩陣）：

1)A+B=B+A

2)(A+B)+C=A+(B+C),(ks)A=k(sA)=s(kA)3)k(A+B)=kA+kB,(k+s)A=kA+sA二、矩陣的乘法1．矩陣乘法的定義引例某文化用品商店銷售圓珠筆、鋼筆和鉛筆三種，每種商品的進(jìn)貨單價(jià)和圓珠筆鋼筆鉛筆九月200100300十月220150260每種商品進(jìn)貨單價(jià)和銷售單價(jià)（元）如下表：求每個(gè)月的總進(jìn)貨額和總銷售額

進(jìn)貨單價(jià)銷售單價(jià)圓珠筆68鋼筆912鉛筆34矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的元素與矩陣B的第j列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和。定義2.2設(shè)為矩陣，為矩陣，那么稱矩陣為矩陣A與B的乘積，記作，其中由這個(gè)定義可知：1）如果矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)，則A與B可以相乘。2）矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，矩陣C的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)。

3）乘積C的第i行第j列的元素Cij等于矩陣A的第i行的元素與矩陣B的第j列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和。

1)結(jié)合律(AB)C=A(BC)．2)數(shù)乘結(jié)合律k(AB)=(kA)B=A(kB)．3)左分配律A(B+C)=AB+AC；右分配律(B+C)A=BA+CA，其中k是數(shù)。矩陣乘法滿足的算律：由于矩陣乘法不滿足交換律，對(duì)于兩個(gè)同階方陣A，B而言，一般說(shuō)來(lái)方陣的冪方陣的冪：設(shè)A是n階方陣，k是自然數(shù)，k個(gè)A連乘稱為A的k次冪，記作，即

其中k,m為正整數(shù)．相關(guān)結(jié)論：矩陣的多項(xiàng)式：為n階方陣A的m次多項(xiàng)式例:設(shè)，分別計(jì)算(AB)2與A2B2．例:用數(shù)學(xué)歸納法證明(n為任意自然數(shù)）．線性方程組的矩陣表示系數(shù)矩陣：．2．矩陣與初等矩陣的乘積例如：計(jì)算下列矩陣與初等陣的乘積

即：E(i,j)A：相當(dāng)于交換A的第i行與第j行；E(i(k))A：相當(dāng)于用非零數(shù)k乘矩陣A的第i行；E(i,j(k))A：相當(dāng)于A的第j行乘k加到第i行上；同理：

即：AE(i,j)：相當(dāng)于交換A的第i列與第j列；AE(i(k))：相當(dāng)于用非零數(shù)k乘矩陣A的第i列；

AE(i,j(k))：相當(dāng)于A的第i列乘k加到第j列上．推論：若mxn矩陣A與B等價(jià)，則存在若干個(gè)mxm初等矩陣Pi(i=1,2-----,s)和若干個(gè)nxn初等矩陣Qj(j=1,2-----,t)使得三、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義：2、相關(guān)性質(zhì)：根據(jù)矩陣相等的定義，容易得到下列結(jié)論：

為對(duì)稱陣的充要條件是為反對(duì)稱陣的充要條件是反對(duì)稱陣的主對(duì)角線上的元素§2.2分塊矩陣一、分塊矩陣的概念

矩陣的分塊就是將矩陣A用若干縱線和橫線分成幾個(gè)小矩陣，每一小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣，稱為分塊矩陣。=二、分塊矩陣的運(yùn)算1．分塊矩陣相加、減設(shè)A、B是兩個(gè)用相同方法分塊的同型矩陣2.數(shù)與分塊矩陣相乘設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，3．分塊矩陣相乘其中，且

相乘的條件：

(1)A分出的列子塊數(shù)＝B分出的行子塊數(shù)(2)A中每一個(gè)子塊的列數(shù)＝B中相應(yīng)的子塊的行數(shù)分塊對(duì)角陣乘法：

其中Ai、Bi是同階子方陣，則

4．分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)例

設(shè)§2.3可逆矩陣一、可逆矩陣的概念注：

(1)若矩陣A可逆，則其逆矩陣唯一。

(2)A與B的地位是平等，即當(dāng)B是A的逆矩陣時(shí)，則A也是B的逆矩陣，或稱互逆。(3)并非每個(gè)方陣都可逆。

另外：若方程組AX=B的系數(shù)矩陣A可逆，方程組兩邊左乘A-1，得X=A-1B．由逆矩陣的唯一性可知，X=A-1B為方程組的唯一解．

任何初等矩陣都是可逆的，并且其逆矩陣仍是初等矩陣．

定理2.2設(shè)A,B都是n階方陣，B是可逆矩陣，則A可逆的充要條件是AB可逆．推論1若A和