充分條件與必要條件

1.4充分條件與必要條件1.理解充分條件、必要條件的概念.2.了解充分條件與判定定理，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.3.能通過充分性、必要性解決簡單的問題．4.理解充要條件的意義.5.會判斷一些簡單的充要條件問題.3.能對充要條件進行證明．重點：充分與必要條件的概念及判斷難點：已知充分、必要條件求參數(shù)閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。知識點一充分條件與必要條件1.1命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.開語句、疑問句、祈使句都不是命題.1.2命題的真假：判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.判斷下列是否為命題，判定命題的真假(1)若x,y是無理數(shù)，則x+y是無理數(shù).(2)若x+y是有理數(shù)，則x,y都是有理數(shù).(3)3≥3．(4)3能被2整除嗎？【答案】（1）假（2）假（3）真（4）不是命題1.3命題的形式：可寫成“若p，則q”“如果p，那么q”.其中p稱為命題的條件,q稱為命題的結(jié)論.充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系由p可以推出q，記為：________由p不能推出q，記為：________條件關(guān)系p是q的____________p不是q的____________q是p的_____________q不是p的___________對的理解：指當(dāng)成立時，一定成立，即由通過推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達．判定定理、性質(zhì)定理與充分條件、必要條件的關(guān)系（1）數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件．（2）數(shù)學(xué)中的每一條_性質(zhì)定理__都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件．知識點二充要條件1．如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．2．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件．判斷方法通常按以下步驟進行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件．1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關(guān)系，只是說法不同．()(2)p是q的必要條件的含義是：如果p不成立，則q一定不成立．()(3)p是q的充分條件只反映了p?q，與q能否推出p沒有任何關(guān)系．()(4)若A∈B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件．()2．“三角形是等邊三角形”是“三角形是等腰三角形”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】1．(1)√(2)√(3)√(4)√2．A考點一充分條件與必要條件的判斷角度1定義法例1“且”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性:且，則，充分性成立;必要性:若，則且，或且，必要性不成立.故“且”是“”的充分而不必要條件.故選:A.【對點演練1】“a+b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的（）A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【對點演練2】設(shè)全集，在下列條件中，是的充要條件的有①；②③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D角度2集合法例2（2023·河南駐馬店·高一?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】若，則為假命題，所以“”是“”的不充分條件；若，則為真命題，所以“”是“”的必要條件；所以“”是“”的必要不充分條件；故選：B【對點演練1】設(shè)集合，集合，那么“”是“”的（

）A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】D【詳解】∵集合，集合，∴由“”推不出“”，反之由“”推不出“”，故“”是“”的既不充分又不必要條件.故選：D.【對點演練2】（2022·湖南·永州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，方程即為，解得；當(dāng)時，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數(shù)根”等價于“”“”能推出“方程至少有一個實數(shù)根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一個實數(shù)根”的充分不必要條件.故選：B.【對點演練3】（多選）（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二期末）已知是實數(shù)集，集合，，則下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是的充分不必要條件 D．是的必要不充分條件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意得到，且，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要條件，且是的必要不充分條件成立.故選：AD.角度3遞推法例3（2023·上海浦東新·高一上海市進才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分不必要條件；③是的必要不充分條件；④是的充分不必要條件；正確的命題序號是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因為是的充分不必要條件，所以，，因為是的充分條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為，，所以，又，所以是的充要條件；命題①正確，因為，，，所以，若，則，，，故，與矛盾，所以，所以是的充分不必要條件，命題②正確；因為，，所以，是的充分條件，命題③錯誤；因為，，所以，又，所以是的充要條件，命題④錯誤；故選：B.【對點演練1】若M是N的充分不必要條件，N是P的充要條件，Q是P的必要不充分條件，則M是Q的________條件.【答案】充分不必要【對點演練2】已知是的必要不充分條件，是的充分且必要條件，那么是成立的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分，必要條件的關(guān)系，即可判斷選項.【詳解】由條件可知，，所以，，所以是的充分不必要條件.故選：C判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．(2)集合法：利用集合的包含關(guān)系判斷．(3)等價法：利用p?q與q?p的等價關(guān)系，對于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法．(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性．考點二充分、必要條件的選擇例4（多選）（2023高一限時訓(xùn)練）“”的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設(shè),選項對應(yīng)的集合為,因為選項是“”的一個充分不必要條件，所以是的真子集.故選：BC【對點演練1】（2023·湖南·高一課時練習(xí)）使“0＜x＜4”成立的一個必要不充分條件是（

）A．x＞0B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3D．x＜0【答案】A【對點演練2】（2023黑龍江大慶外國語學(xué)校高一考試）“”成立的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】D考點三根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍例5（1）是否存在實數(shù)，使得“”是“或”的充分條件？（2）是否存在實數(shù)，使得“”是“或”的必要條件？（3）（2023·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，求實數(shù)的值.【詳解】（1）欲使是或的充分條件，則只要或，即只需，所以.故存在實數(shù)，使得“”是“或”的充分條件；欲使是或的必要條件，則只要或，使得“”是“或”的必要條件.（3)解不等式得，因為“不等式成立”的充要條件為“”，所以，解得，所以，.【對點演練1】已知，．是否存在實數(shù)，使得是的充要條件？若存在，求實數(shù)的取值范圍．【答案】不存在實數(shù)，使得是的充要條件【解析】解：因為是的充要條件，則，由，，知要使，則，無解，故不存在實數(shù)，使得是的充要條件．【對點演練2】（多選題）（2022山東煙臺二中高一階段練習(xí)）若不等式成立的充分條件是，則實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】CD【詳解】，則，．故選：CD．【對點演練3】（2022·黑龍江·哈師大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)由已知，或，所以或；(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，所以的范圍是．【對點演練4】（2023·湖北十堰·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合或，．（1）求實數(shù)的取值范圍，使它成為的充要條件；（2）求實數(shù)的一個值，使它成為的一個充分不必要條件；（3）求實數(shù)的取值范圍，使它成為的一個必要不充分條件．【解析】（1）的充要條件是，所以實數(shù)的取值范圍是．(2)由(1)知,的充要條件是,則當(dāng)時,是的一個充分但不必要條件;比如是所求的一個充分但不必要條件.(答案不唯一)(3)求實數(shù)a的取值范圍,使它成為的一個必要但不充分條件就是另求一個集合,故是它的一個真子集.如果時,未必有,但是時,必有,故是所求的一個必要但不充分條件.(答案不唯一)應(yīng)用充分不必要條件、必要不充分條件及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解．考點四充要條件的證明例2．已知m，n∈R，證明:m4n4=2n2+1成立的充要條件是m2n2=1.【解析】①(必要性)∵m2n2=1，∴m2=n2+1，∴m4n4=(m2+n2)(m2n2)=m2+n2=n2+1+n2=2n2+1，∴m4n4=2n2+1成立;②(充分性)∵m4n4=2n2+1，∴m4=n4+2n2+1=，∴m2=n2+1，即m2n2=1，∴m2n2=1成立.綜上，m4n4=2n2+1成立的充要條件是m2n2=1.1．根據(jù)充要條件的定義，證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明．一般地，證明“p成立的充要條件為q”；(1)充分性：把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出p；(2)必要性：把p當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出q.解題的關(guān)鍵是分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，然后確定推出方向，至于先證明充分性還是先證明必要性則無硬性要求．2．在證明過程中，若能保證每一步推理都有等價性(?)，也可以直接證明充要性．【對點演練1】求證：是一元二次方程的一個根的充要條件是.【解析】證明：（1）充分性：由得.即滿足方程.是方程的一個根（2）必要性：是方程的一個根，將代入方程得.故是一元二次方程的一個根的充要條件是【對點演練2】設(shè)a，b，，求關(guān)于x的方程有一個根為的一個充要條件.【解析】解:因為關(guān)于x的方程有一個根為，所以代入得，下證明充要性.充分性：，，代入方程得，即．關(guān)于的方程有一個根為；必要性：方程有一個根為，滿足方程，，即．故關(guān)于的方程有一個根是的充要條件為．一、單選題1.設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義分析判斷即可【詳解】當(dāng)時，，則成立，而當(dāng)時，或，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選：A2．集合，的關(guān)系如圖所示，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖判斷集合間的包含關(guān)系，進而判斷題設(shè)條件的充分、必要關(guān)系.由韋恩圖知：A是B的真子集，∴是的充分不必要條件.故選：A3.（2023·高一課時練習(xí)）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)詩意，作者想表達的思想感情是“返回家鄉(xiāng)”就一定要“攻破樓蘭”，但是并沒有表明“攻破樓蘭”后就會“返回家鄉(xiāng)”，所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.故選：B.4．已知，若是的必要而不充分條件，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷可得出合適的選項.若是的必要而不充分條件，只需找一個集合，使是其真子集，因為是的一個真子集，故選：C．5．設(shè)P?Q是非空集合，命題甲為：P∩Q=P∪Q；命題乙為：P?Q，那么甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由P∩Q=P∪Q?P=Q?P?Q，反之不成立，即可得結(jié)論.解：∵P∩Q=P∪Q?P=Q?P?Q，反之P?Q時，P∩Q≠P∪Q，∴甲是乙的充分不必要條件，故選：A.6．若命題：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；解：由得或，即或，所以由能夠得到，由得不到，即推不出，推得出，所以是的必要不充分條件；故選：B7．設(shè)，已知兩個非空集合，，滿足，則下列說法正確的是（

）A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充要條件D．“”既不是“”的充分條件也不是“”的必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，可以判斷是的子集，從而得出是的充分條件.解：因為，非空集合，滿足，所以是的子集，即，所以是的充分條件，故選：A.8．已知a>0，設(shè)p：a≤x≤3a；q：1<x<6．若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．{a|1<a<2} B．{a|1≤a≤2}C．{a|0<a<1} D．{a|0<a≤2}【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義求得參數(shù)取值范圍即可.因為p是q的充分不必要條件，所以解得0<a<1，所以實數(shù)a的取值范圍是{a|0<a<1}．故選：C多選題9.9．下列選項中p是q的必要不充分條件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝BC．p：兩個三角形全等，q：兩個三角形面積相等D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0【答案】AD【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷即可．【詳解】解：A：∵a＜1?a≤1，而當(dāng)a≤1時，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分條件，∴A正確，B：∵p：A∩B＝A，∴A?B，∵q：A∪B＝B，∴A?B，∴p是q的充要條件，∴B錯誤，C：∵兩個三角形全等?兩個三角形面積相等，但兩個三角形面積相等不一定推出兩個三角形全等，∴p是q的充分不必要條件，∴C錯誤，D：當(dāng)x＝1，y＝0時，則x2+y2＝1，反之，當(dāng)x2+y2＝1時，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分條件，∴D正確，故選：AD．10．已知是實數(shù)集，集合，，則下列說法正確的是（

）A．是的充分不必要條件 B．是的必要不充分條件C．是的充分不必要條件 D．是的必要不充分條件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意得到，且，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.由題意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要條件，且是的必要不充分條件成立.故選：AD.11．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.下列命題中正確的是（

）A．是的充要條件B．是的充分條件而不是必要條件C．是的必要條件而不是充分條件D．是的必要條件而不是充分條件【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件、充分條件、必要條件的定義進行求解即可.將四個條件寫成：，且不能推出；；；，所以，所以，故正確；不能推出，故B正確；，又，故是的充要條件，故C錯誤；由，可得，由不能推出，可得不能推出，故D正確.故選：ABD12．已知關(guān)于x的方程，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．方程有一個正根一個負根的充要條件是B．方程有兩個正實數(shù)根的充要條件是C．方程無實數(shù)根的充要條件是D．當(dāng)m=3時，方程的兩個實數(shù)根之和為0【答案】AB【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得每個選項的等價條件，即可得的取值范圍，進而判斷正誤.解：對A，當(dāng)時，函數(shù)的值為，由二次函數(shù)的圖象知，方程有一正一負根的充要條件是，故A正確；對B，若方程有兩個正實數(shù)根，，即解得：，故B正確；對C，方程無實數(shù)根，即，解得：，方程無實數(shù)根的充要條件是，故C錯誤；對D，當(dāng)時，方程為，無實數(shù)根，故D錯誤.故答案為：AB.填空題13．（2023·甘肅蘭州·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)甲、乙、丙、丁是四個命題，甲是乙的