數(shù)高考總復(fù)習：導數(shù)的應(yīng)用

數(shù)學高考總復(fù)習：導數(shù)的應(yīng)用編稿：林景飛責編：嚴春梅一、知識結(jié)構(gòu)：

二、高考考點：

1.了解導數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；

2.了解函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和掌握導數(shù)的幾何意義；

3.熟記基本導數(shù)公式；

4.掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則；

5.了解復(fù)合函數(shù)的求導法則會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)；

6.理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；

7.了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數(shù)在極值點兩側(cè)異號)，會求給定函數(shù)的極大值、極小值，會求給定函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值；

8.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念及其基本定理。

三、知識要點：

（一）導數(shù)的相關(guān)概念

1、導數(shù)的物理意義：事物的瞬時變化率，如：表示運動物體在時刻的瞬時速度；氣球半徑關(guān)于體積的導數(shù)就是氣球的瞬時膨脹率等.

2、導數(shù)的幾何意義：過曲線y=f(x)上任意一點(x,y)的切線的斜率就是f(x)在x處的導數(shù)，即。也就是說，曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是，切線方程為。

（二）求導數(shù)的方法：

1、幾種常見函數(shù)的導數(shù)公式：

①；②(a∈Q)；③；④；

⑤⑥⑦⑧

2、導數(shù)的四則運算法則：

①；②；③

（三）導數(shù)的應(yīng)用

1、求切線方程的一般方法，可分兩步：

（1）求出函數(shù)在處的導數(shù)；

（2）利用直線的點斜式得切線方程。（注意：求切線方程，首先要判斷所給點是否在曲線上.若在曲線上，可用上法求解；若不在曲線上，可設(shè)出切點，寫出切線方程，結(jié)合已知條件求出切點坐標，從而得方程.）

2、判定函數(shù)的單調(diào)性

（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增或遞減的判定可依據(jù)單調(diào)性定義也可利用導數(shù)，應(yīng)根據(jù)問題的具體條件適當選用方法，有時須將區(qū)間(a,b)劃分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別判定單調(diào)性。

（2）函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則當時f(x)為增函數(shù)；當時f(x)為減函數(shù)。

3、求函數(shù)的極值與最值

（1）函數(shù)極值只反映函數(shù)在某點附近值的大小情況。在某區(qū)間上函數(shù)的極值可能有若干個，而且極小值未必小于極大值。僅是函數(shù)f(x)在點x0處有極值的必要條件，點x0是f(x)的極值點，當且僅當在x0的左右的符號產(chǎn)生變化。

（2）函數(shù)的最值表示函數(shù)在定義域內(nèi)值的整體情況。連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必有一（1）畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖像；

（2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限；

（3）寫出定積分表達式；

（4）求出平面圖形的面積.

7．利用函數(shù)的奇偶性求積分：

若函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，則；

若函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，則；

四、經(jīng)典例題：

例1．求下列函數(shù)的導數(shù)：

（1）；（2）；（3）；

解：

（1）

（2）（法一）

（法二）

（3）

例2．運動曲線的方程為：，求t=3時的速度，加速度。

分析：由導數(shù)的物理意義知，t=3時的速度就是求函數(shù)在t=3時的導數(shù)值，t=3時的加速度就是求速度函數(shù)在t=3時的導數(shù)值。

解：運動曲線的速度為：

t=3時的速度：

運動曲線的加速度為：

t=3時的加速度：

例3：運用微積分定理求定積分

（1）；

（2），求函數(shù)在區(qū)間上的積分.

（3）；

（4）。

解：

（1）

（2）

（3）∵是奇函數(shù)，是偶函數(shù)。

∴，

∴

（4）（法一）

設(shè)，則表示個圓，

由積分的概念可知，所求積分就是圓的面積,

所以

（法二）

令，則當從0變到時，相應(yīng)的t自0變到

所以，

點評：當被積式為分段函數(shù)時，應(yīng)分段積分；求定積分最常用的方法是微積分基本定理，但有時不易找到原函數(shù)，此時可以用其他方法：利用定積分的幾何意義，利用函數(shù)的奇偶性等。

例4：求由曲線圍成的平面圖形的面積.

解：由得A(1,1)；由得B(2,4)

所求面積：

例5．對正整數(shù)n，設(shè)曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前n項和的公式是

解：，

令x=0，求出切線與y軸交點的縱坐標為，

所以，

則數(shù)列的前n項和

點評：本題主要考查利用導數(shù)求切線方程，再與數(shù)列知識結(jié)合起來，解決相關(guān)問題。

例6．已知函數(shù)在與x＝1時都取得極值

（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對x∈[－1，2]，不等式恒成立，求c的取值范圍。

解：（1），

由，得

，b＝－2

，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x－1＋0－0＋f（x）↑極大值↓極小值↑所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是與

遞減區(qū)間是

（2），x∈[－1，2]，

當時，為極大值，

而，則為最大值

要使（x∈[－1，2]）恒成立，

只需,解得.

例7．請您設(shè)計一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？

解：設(shè)OO1為，則

由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：（單位：）

故底面正六邊形的面積為：=（單位：）

帳篷的體積為：

（單位：）

求導得

令，解得（不合題意，舍去），，

當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)

∴當時，最大

答：當OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為。

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

例8．設(shè)是函數(shù)的一個極值點.

（Ⅰ）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.

解：

（Ⅰ）

,

由，得，即得，

令，得或，

由于x＝3是極值點，所以，

當，即時，

在區(qū)間上，，為減函數(shù)；

在區(qū)間上，，為增函數(shù)；

在區(qū)間上，，為減函數(shù)。

當，即時，

在區(qū)間上，，為減函數(shù)；

在區(qū)間上，，為增函數(shù)；

在區(qū)間上，，為減函數(shù)。

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知，當a>0時，f(x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，

所以f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是

又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是，

由于，

所以只需且，解得<.

故a的取值范圍是（0，）。

點評：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。

五、高考真題：

1.（2007全國卷II）已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（）

A．3B．2C．1D．

答案：A

2.（2007天津卷）已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．

分析：本小題考查導數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法．

解：

（Ⅰ）當時，，，

又，

所以曲線在點處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）．

由于，以下分兩種情況討論．

（1）當時，令，得到，．

當變化時，的變化情況如下表：－00－極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．

函數(shù)在處取得極小值，且，

函數(shù)在處取得極大值，且．

（2）當時，令，得到，

當變化時，的變化情況如下表：0－0極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．

函數(shù)在處取得極大值，且．

函數(shù)在處取得極小值，且．

3.（2007安徽卷）設(shè)

（Ⅰ）令，討論在（0，＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有.

分析：本小題主要考查函數(shù)導數(shù)的概念與計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運用有關(guān)知識解決問題的能力．

解：

（Ⅰ）根據(jù)求導法則有，

故，

于是，

列表如下：2－0極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，

所以在處取得極小值．

（Ⅱ）由知，的極小值．

于是由上表知，對一切，恒有．

從而當時，恒有，

故在內(nèi)單調(diào)增加．

所以當時，，即．

故當時，恒有．

4.（2007湖北卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

分析：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．

解：

（Ⅰ）設(shè)與在公共點處的切線相同．

，，

由題意，．

即，

由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．

于是當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當時，有，

即當時，．

5.（2007山東卷）設(shè)函數(shù),其中.

(I)當時,判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

(II)求函數(shù)的極值點;

(III)證明對任意的正整數(shù),不等式都成立.

分析：

(I)通過判斷導函數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)性，是和定義域共同作用的結(jié)果；

（II）需要分類討論，由（I）可知分類的標準為

（III）構(gòu)造新函數(shù)為證明不等式“服務(wù)”，構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)是不等式關(guān)系中隱含的易于判斷的函數(shù)關(guān)系。

解：

(I)函數(shù)的定義域為.

，

令，則在上遞減，在上遞增，

.

當時，，

在上恒成立.

即當時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當時函數(shù)無極值點.

（2）當時，，

時，

時，

時，函數(shù)在上無極值點。

（3）當時，解得兩個不同解，.

當時，，，

此時在上有唯一的極小值點.

當時，

在都大于0，在上小于0，

此時有一個極大值點和一個極小值點.

綜上可知：

時，在上有唯一的極小值點；

時，有一個極大值點和一個極小值點；

時，函數(shù)在上無極值點。

（III）當時，

令

則在上恒正，

在上單調(diào)遞增，當時，恒有.

即當時，有，

對任意正整數(shù)，取得

注意：不能論述清楚時，函數(shù)在上無極值點；當時，不能發(fā)現(xiàn)，誤判斷為函數(shù)的極值點；在證明不等式時不能挖掘函數(shù)的“潛能”，找不到解題的突破口。

點評：用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題一直是各省市高考及各地市高考模擬試題的重點，究其原因，應(yīng)該有三條：這里是知識的交匯處，這里是導數(shù)的主陣地，這里是思維的制高點.此類問題的一般步驟都能掌握，但重要的是求導后的細節(jié)問題------參數(shù)的取值范圍是否影響了函數(shù)的單調(diào)性？因而需要進行分類討論判斷：當參數(shù)給出了明確的取值范圍后，應(yīng)根據(jù)導函數(shù)的特點迅速判斷或。參數(shù)取某些特定值時，可直觀作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決.另外要注意由求得的根不一定就是極值點，需要判斷在該點兩側(cè)的異號性后才能稱為“極值點”.

六、反饋練習：

1.設(shè)，則（）

A.B.C.D.不存在

2.下列定積分值為0的有（）

A.B.C.D.

3.設(shè)函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)

4.定積分（）

A.B.C.D.