數(shù)學建模習題與答案課后習題

第一局部課后習題學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學生們要組織一種10人的委員會，試用如下措施分派各宿舍的委員數(shù)：〔1〕按比例分派取整數(shù)的名額后，剩余的名額按通例分給小數(shù)局部較大者?！?〕2.1節(jié)中的Q值措施?！?〕d’Hondt措施：將A，B，C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1，2，3，…相除，其商數(shù)如下表：12345…A235117.578.358.75…B333166.511183.25…C43221614410886.4將所得商數(shù)從大到小取前10個〔10為席位數(shù)〕，在數(shù)字下標以橫線，表中A，B，C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分派的席位。你能解釋這種措施的道理嗎。假如委員會從10人增至15人，用以上3種措施再分派名額。將3種措施兩次分派的成果列表比較。〔4〕你能提出其他的措施嗎。用你的措施分派上面的名額。在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品廉價這種現(xiàn)象了嗎。比方潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的3.00元，兩者單位重量的價格比是1.2：1。試用比例措施構(gòu)造模型解釋這個現(xiàn)象。〔1〕分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。價格由生產(chǎn)本錢、包裝本錢和其他本錢等決定，這些本錢中有的與重量w成正比，有的與外表積成正比，尚有與w無關(guān)的原因?！?〕給出單位重量價格c與w的關(guān)系，畫出它的簡圖，闡明w越大c越小，不過伴隨w的增長c減少的程度變小。解釋實際意義是什么。一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將調(diào)上的魚放生，打算按照放生的魚的重量予以獎勵，俱樂部只準備了一把軟尺用于測量，請你設(shè)計按照測量的長度估計魚的重量的措施。假定魚池中只有一種鱸魚，并且得到8條魚的如下數(shù)據(jù)〔胸圍指魚身的最大周長〕：身長〔cm〕36.831.843.836.832.1重量〔g〕76548211627374821389652454胸圍〔cm〕24.821.327.924.821.631.822.921.6先用機理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)用寬w的布條纏繞直徑d的圓形管道，規(guī)定布條不重疊，問布條與管道軸線的夾角應(yīng)多大〔如圖〕。假設(shè)懂得管道長度，需用多長布條〔可考慮兩端的影響〕。假如管道是其他形狀呢。用尺寸的矩形板材加工半徑一定的圓盤，給出幾種簡便、有效的排列措施，使加工出盡量多的圓盤。動物園里的成年熱血動物靠喂養(yǎng)的食物維持體溫主線不變，在某些合理、簡化的假設(shè)下建立動物的喂養(yǎng)食物量與動物的某個尺寸之間的關(guān)系。舉重比賽按照運發(fā)動的體重分組，你能在某些合理、簡化的假設(shè)下建立比賽成績與體重之間的關(guān)系嗎。下面是一屆奧員會的競賽成績，可供檢查你的模型。組別最大體重〔kg〕抓舉〔kg〕挺舉〔kg〕總成績〔kg〕154132.5155287.5259137.5170307.5364147.5187.5335470162.5195357.5576167.5200367.5683180212.5392.5791187.5213402.5899185235420910819523543010〉108197.5260457.5第一局部課后習題答案按照題目所給措施〔1〕，〔2〕，〔3〕的席位分派成果如下表：宿舍〔1〕〔2〕〔3〕〔1〕〔2〕〔3〕A322443B333555C455667總計101010151515〔1〕生產(chǎn)本錢重要與重量w成正比，包裝本錢重要與外表積s成正比，其他本錢也包括與w和s成正比的局部，上述三種本錢中都具有與w，s均無關(guān)的成分。又由于形狀一定期一般有，故商品的價格可表為〔為不小于0的常數(shù)〕?！?〕單位重量價格，其簡圖如下：顯然c是w的減函數(shù)，闡明大包裝比小包裝的商品廉價，；曲線是下凸的，闡明單價的減少值伴隨包裝的變大是逐漸減少的，不要追求太大包裝的商品。對于同一種魚不妨認為其整體形狀是相似的，密度也大體上同樣，因此重量w與身長的立方成正比，即，為比例系數(shù)。常釣得較肥的魚的垂釣者不一定承認上述模型，由于它對肥魚和瘦魚同等看待。假如只假定魚的橫截面積是相似的，那么橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，于是，為比例系數(shù)。運用數(shù)據(jù)估計模型中的系數(shù)可得=0.014，=0.0322，將實際數(shù)據(jù)與模型成果比較如下表：實際重量〔g〕76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483主線上滿意。將管道展開如圖：可得，假設(shè)d一定，w趨于0，趨于/2；w趨于d，趨于0。假設(shè)管道長度為，不考慮兩端的影響時布條長度顯然為d/w，假設(shè)考慮兩端影響，那么應(yīng)加上dw/sin。對于其他形狀管道，只需將d改為對應(yīng)的周長即可。設(shè)圓盤半徑為單位1，矩形板材長a，寬b；可以精確加工，即圓盤之間及圓盤與板材之間均可相切。方案一：圓盤中心按正方形排列，如如下圖1，圓盤總數(shù)為=[a/2][b/2]方案二：圓盤中心按六角形排列，如如下圖2，行數(shù)m滿足2+〔m-1〕a，于是m=圖1圖2列數(shù)〔按圖2第1行計數(shù)〕n滿足：假設(shè)[b]為奇數(shù)，那么各行圓盤數(shù)同樣為〔[b]-1〕/2；假設(shè)[b]為偶數(shù)，那么奇數(shù)行圓盤數(shù)為[b]/2，偶數(shù)行圓盤數(shù)為[b]/2-1。圓盤總數(shù)為其中〔1〕為：m為偶數(shù)?！?〕為：m為奇數(shù)，[b]為偶數(shù)。ab兩個方案的比較見下表(表中數(shù)字為/)：ab35810142042/24/48/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/814/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105當a，b較大時，方案二優(yōu)于方案一。其他方案，方案一、二混合，假設(shè)a=b=20，3行正方形加8行六角形，圓盤總數(shù)為106。假設(shè)處在靜止狀態(tài)的動物的喂養(yǎng)食物量重要用于維持體溫不變，且動物體內(nèi)熱量重要通過它的外表積散失，對于一種動物其外表積S與某特性尺寸之間的關(guān)系是，因此喂養(yǎng)食物量。假設(shè)舉重比賽成績y與運發(fā)動肌肉的截面積s成正比，而截面積〔是某特性尺寸〕，體重，于是。用舉重總成績檢查這個模型，成果如如下圖3；假如用舉重總成績擬合，可得=0.57，成果如如下圖4。圖3圖4第二局部課后習題Malthus模型預(yù)測的優(yōu)缺陷。阻滯增長模型預(yù)測的優(yōu)缺陷。簡述動態(tài)模型和微分方程建模。按照你的觀點應(yīng)從那幾種方面來建立傳染病模型。體現(xiàn)Leslie人口模型的特點。并討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律。試比較持續(xù)形式的阻滯增長模型(Logistic模型)和離散形式阻滯增長模型,并討論離散形式阻滯增長模型平衡點及其穩(wěn)定性。第二局部課后習題答案長處:短期預(yù)報比較精確;缺陷:不適合中長期預(yù)報;原因:預(yù)報時假設(shè)人口增長率為常數(shù),沒有考慮環(huán)境對人口增長的制約作用。長處:中期預(yù)報比較精確;缺陷:理論上很好，實用性不強;原因:預(yù)報時假設(shè)固有人口增長率以及最大人口容量為定值。實際上這兩個參數(shù)很難確定，并且會伴隨社會開展狀況變化而變化。動態(tài)模型:描述對象特性隨時間(空間)的演變過程,分析對象特性的變化規(guī)律,預(yù)報對象特性的未來性態(tài),研究控制對象特性的手段；微分方程建模:模根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程。描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報傳染病高潮到來的時刻,防止傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析措施建立模型。不一樣年齡組的繁殖率和死亡率不一樣,以雌性個體數(shù)量為對象(假設(shè)性別比為1:1),是一種差分方程模型。持續(xù)形式:表達某種群時刻的數(shù)量(人口)離散形式:表達某種群第代的數(shù)量(人口)假設(shè),那么,是平衡點;的平衡點為.的平衡點為,其中,此時的差分方程變?yōu)?由可得平衡點.在平衡點處,由于,因此,不穩(wěn)定.在在平衡點處,因,因此(i)當時,平衡點不穩(wěn)定;(ii)當時,平衡點不穩(wěn)定.第三局部課后習題判斷如下數(shù)學模型與否為線性規(guī)劃模型?！瞐,b,c為常數(shù)，x,y為變量〕將下述線性規(guī)劃問題化為原則形式。用單純形法求解線性規(guī)劃問題。檢查函數(shù)在處有正定，從而為極小點。證明G為奇異當且僅當，從而證明對所有滿足的x，G是正定的。求出函數(shù)的所有平穩(wěn)點；問哪些是極小點？與否為全局極小點？應(yīng)用梯度法于函數(shù)取迭代求第三局部課后習題答案答案：〔1〕是〔2〕不是〔3〕是答案：〔1〕〔2〕令引入松弛變量可得到如下的原則形式：〔3〕解：〔4〕解：答案：在上述問題的約束條件中參與松弛變量，將原問題化成原則形式如下：其現(xiàn)成可行基對應(yīng)的單純形表如下：25000010100402010123200118換基迭代，得200-5/20-301010040101/206300-116換基迭代，得000-11/6-2/3-340011/3-1/320101/206100-1/31/32故最優(yōu)解為，目的函數(shù)的最優(yōu)值為.證明：，，經(jīng)檢查，正定，奇異當且僅當即。假設(shè)，即時，正定，因此假設(shè)那么，即，故正定。解：，故平穩(wěn)點為極小點為且是全局極小點。解：第四局部課后習題假如開金礦博弈中第三階段乙選擇打官司后的成果尚不能確定，即圖中a、b的數(shù)值不確定。討論本博弈也許有哪些也許的成果？假如本博弈中的“威脅〞和“承諾〞是可信的，a、b應(yīng)滿足什么條件？〔a,b〕(0,4)〔a,b〕(0,4)靜態(tài)貝葉斯博弈中參與人的方略有什么特點？為何？有了海薩尼轉(zhuǎn)換，不完全信息動態(tài)博弈和完全但不完美信息動態(tài)博弈主線上是同樣的，，這種論述與否對的？判斷如下論述與否對的，并作簡樸討論。(1)古玩市場的交易中買賣雙方的懊悔都來源于自己對古玩價值判斷的失誤，假設(shè)預(yù)先對價值的判斷是對的的，那么交易者肯定不會懊悔。(2)教育程度在勞動力市場招聘員工時受到重視的理由是，經(jīng)濟學已經(jīng)證明教育對于提高勞動力素質(zhì)有不可替代的作用。假設(shè)〔1〕“自然〞以均等的概率決定得益是下述得益矩陣1的狀況還是得益矩陣2的狀況，并讓博弈方1懂得而不讓博弈方2懂得；〔2〕博弈方1在T和B中選擇，同步博弈方2在L和R中進展選擇。找出該靜態(tài)貝葉斯博弈的所有純方略貝葉斯納什均衡。請用下面這個兩市場博弈驗證海薩尼有關(guān)混合方略和不完全信息博弈關(guān)系的結(jié)論。第四局部課后習題答案參照答案：括號中的第一種數(shù)字代表乙的得益，第二個數(shù)字代表甲的得益，因此a表達乙的得益，而b表達甲的得益。在第三階段，假如，那么乙會選擇不打官司。這時逆推回第二階段，甲會選擇不分，由于分的得益2不不小于不分的得益4。再逆推回第一階段，乙肯定會選擇不借，由于借的最終得益0比不借的最終得益1小。在第三階段，假如，那么乙輪到選擇的時候會選擇打官司，此時雙方得益是(a,b)。逆推回第二階段，假如，那么甲在第二階段仍然選擇不分，這時雙方得益為(a,b)。在這種狀況下再逆推回第一階段，那么當時乙會選擇不借，雙方得益〔1，0〕，當時乙肯定會選擇借，最終雙方得益為〔a,b〕。在第二階段假如，那么甲會選擇分，此時雙方得益為〔2，2〕。再逆推回第一階段，乙肯定會選擇借，由于借的得益2不小于不借的得益1，最終雙方的得益〔2，2〕。根據(jù)上述分析我們可以看出，該博弈比較明確可以預(yù)測的成果有這樣幾種狀況：〔1〕，此時本博弈的成果是乙在第一階段不樂意借給對方，完畢博弈，雙方得益〔1，0〕，不管這時候b的值是多少；〔2〕，此時博弈的成果仍然是乙在第一階段選擇不借，完畢博弈，雙方得益〔1，0〕；〔3〕，此時博弈的成果是乙在第一階段選擇借，甲在第二階段選擇不分，乙在第三階段選擇打，最終成果是雙方得益〔a,b〕；〔4〕，此時乙在第一階段會選擇借，甲在第二階段會選擇分，雙方得益〔2，2〕。要本博弈的“威脅〞，即“打〞是可信的，條件是。要本博弈的“承諾〞，即“分〞是可信的，條件是且。注意上面的討論中沒有考慮a=0、a=1、b=2的幾種狀況，由于這些時候博弈方的選擇很難用理論措施確定和預(yù)測。不過最終的成果并不會超過上面給出的范圍。參照答案：靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的一種方略是他們針對自己多種也許的類型怎樣作對應(yīng)的完整方案?；蛘邠Q句話說，靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的方略就是類型空間到行為空間的一種函數(shù)，可以是線性函數(shù)，也可以是非線性函數(shù)，當博弈方的類型只有有限幾種時是離散函數(shù)，當博弈方的類型空間是持續(xù)區(qū)間或空間時那么是持續(xù)函數(shù)。只有一種類型的博弈方的方略仍然是一種行為選擇，但我們同樣可以認為是其類型的函數(shù)。靜態(tài)貝葉斯博弈中博弈方的方略之因此必須是針對自己所有也許類型的函數(shù)，原因是博弈方互相會認為其他博弈方也許屬于每種類型，因此會考慮其他博弈方所有也許類型下的行為選擇，并以此作為自己行為選擇的根據(jù)。因此各個博弈方必須設(shè)定自己在所有多種也許類型下的最優(yōu)行為，而不僅僅只考慮針對真實類型的行為選擇。參照答案：對的。實際上，不完全信息動態(tài)博弈與完全但不完美信息動態(tài)博弈本質(zhì)上常常是同樣的，是一種博弈問題的兩種不一樣理解措施，而把它們聯(lián)絡(luò)起來的橋梁就是海薩尼轉(zhuǎn)換。參照答案：〔1〕錯誤。雖然自己對古玩價值的判斷是完全對的的，仍然有也許懊悔。由于古玩交易的價格和利益不僅取決于古玩的實際價值和自己的估價，還取決于對方的估價和樂意承受的成交價格，因此僅僅自己作出對的的估價并不等于實現(xiàn)了最大的潛在利益?！?〕錯誤。實際上經(jīng)濟學并沒有證明教育對于提高勞動力素質(zhì)有不可替代的作用。此外，我們之因此認為教育對勞動力市場招聘員工有重要參照價值，是由于教育除了〔很也許〕對提高勞動力素質(zhì)有作用以外，還具有重要的信號機制的作用。也就是說，雖然教育并不能提高勞動力素質(zhì)，往往也可以反應(yīng)勞動力的素質(zhì)。參照答案：在這個靜態(tài)的貝葉斯博弈中，博弈方1的方略是私人信息類型的函數(shù)：當“自然〞選擇得益矩陣1時選擇T，當“自然〞選擇得益矩陣2時選擇B。博弈方2的方略那么根據(jù)期望利益最大化決定。博弈方2選擇L方略的期望得益為，選擇R方略的期望得益為，因此博弈方2必然選擇R。因此該博弈的純方略貝葉斯納什均衡只有：博弈方1在“自然〞選擇得益矩陣1時選擇T，當“自然〞選擇得益矩陣2時選擇B，博弈方2選擇R。參照答案：根據(jù)對完全信息靜態(tài)博弈的分析措施，我們很輕易發(fā)現(xiàn)上述兩市場博弈中有兩個純方略納什均衡〔A,B〕和〔B,A〕，以及一種對稱的混合方略納什均衡：每個廠商都以0.5的概率隨機選擇A和B。目前我們把上述兩市場博弈改成不完全信息的版本。設(shè)兩個廠商的得益如下面的得益矩陣所示：其中分別是兩個廠商的私人信息，對方只懂得它們都均勻分布在上。這時候，我們不難證明廠商1采用方略“時選擇A，否那么選擇B〞，廠商2也采用方略“時選擇A，否那么選擇B〞，構(gòu)成這個不完全信息靜態(tài)博弈的一種貝葉斯納什均衡。根據(jù)的上述分布，我們懂得兩個廠商選擇A和B的概率都是0.5。當趨向于0時，這個不完全信息博弈與完全信息博弈越來越靠近，其純方略貝葉斯均衡當然與完全信息博弈的混合方略納什均衡完全同樣。第五局部課后習題簡述古典回歸模型的主線假定。試述戈德菲爾德—匡特〔Goldfeld--Quandt〕檢查的原理和目的。簡述虛擬變量的作用和設(shè)置原那么。簡述多重共線性產(chǎn)生的原因和影響。異方差的后果D.W檢查的優(yōu)缺陷第五局部課后習題答案1)解釋變量x為非隨機變量，即在反復(fù)抽樣過程中，x取值是可控的、固定的。2)零均值假定：E〔〕=0，即隨機誤差項的平均值為零。3)同方差假定：D〔〕=σ2〔常數(shù)〕，即各隨機誤差項的離散程度〔或波動幅度〕是同樣的。4)非自有關(guān)假定：Cov〔，〕=0〔i≠j〕，即隨機誤差項之間是互不有關(guān)、互不影響的。5)解釋變量與隨機誤差項不有關(guān)假定，Cov〔Xi，〕=0〔或E〔Xi〕=0〕，即解釋變量與隨機誤差項互不有關(guān)，彼此獨立的對y產(chǎn)生影響。6)無多重共線性假定，即解釋變量之間不存在完全的線性關(guān)系。2．目的：檢查模型的異方差性。原理：為了檢查異方差性，將樣本按解釋變量后提成兩局部，再運用樣本1和樣本2分別建立回歸模型，并求出各自的殘差平方和RSS1和RSS2。假如誤差項的離散程度同樣〔即為同方差的〕，那么RSS1與RSS2的值應(yīng)當大體同樣；假設(shè)兩者之間存在明顯差異，那么闡明存在異方差性。檢查過程中為了“夸張〞殘差的差異性，一般先在樣本中部去掉C個數(shù)據(jù)〔一般取C=n/4〕，再運用F記錄量判斷差異的明顯性。評價：G—Q檢查合用于檢查樣本容量較大、異方差性呈遞增或遞減的狀況，并且檢查成果與數(shù)據(jù)剔除個數(shù)C的選用有關(guān)。作用：反響無法度量的定性原因?qū)?jīng)濟變量的影響，使模型愈加精確地反響實際。設(shè)置原那么：對于一種原因多種類型的虛擬變量：對于有m個不一樣屬性類型的定性原因，應(yīng)當設(shè)置m-1個虛擬變量來反應(yīng)當原因的影響。對于多種原因各兩種類型的虛擬變量：假如有m個定性原因，且每個原因各有兩個不一樣的屬性類型，那么引入m個虛擬變量。產(chǎn)生原因：〔1〕經(jīng)濟變量的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)是產(chǎn)生多重共線性的主線原因?！?〕經(jīng)濟變量變化趨勢的“共向性〞?！?〕解釋變量中具有滯后變量。影響：〔1〕增大OLS估計的方差。〔2〕難以辨別每個解釋變量的單獨影響?！?〕T檢查的可靠性減少?！?〕回歸模型缺乏穩(wěn)定性。〔1〕OLS估計失效〔2〕t估計失效〔3〕模型預(yù)測誤差增大長處：合用范圍廣、檢查以便缺陷：〔1〕有兩個盲區(qū)〔2〕模型中不能具有滯后變量〔3〕只能檢查一階滯后自有關(guān)第六局部課后習題試舉出三個模糊集合的例子。模糊性和隨機性有哪些異同？我們給定一種三角形，測得三個內(nèi)角的讀數(shù)為A=80°、B=55°、C=45°。令I(lǐng)表達“近似等腰三角形〞，R表達“近似直角三角形〞，E表達“近似正三角形〞，它們都是U上的Fuzzy集，其從屬函數(shù)規(guī)定如下：問給定的三角形屬于哪一類？設(shè)求影響教師教學質(zhì)量的原因可以取為四個：=清晰易懂，=教材純熟，=生動有趣，=板書清晰。這樣便做出原因集。四種原因的權(quán)數(shù)分派為〔0.5，0.2，0.2，0.1〕。評價取集為=〔很好，很好，一般，不好〕。對于某個教師，請假設(shè)干人〔教師，學生等等〕，單就來說，假設(shè)有40%的人說好，50%的人說很好，10%的人說一般，，沒有人說不好，那么得有關(guān)的單原因決策向量：〔0.4，0.5，0.1，0〕類似地有〔0.6，0.3，0.1，0〕〔0.1，0.2，0.6