一元二次方程知識點總結(jié)

知識點一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

知識點二、一元二次方程的解法

1．直接開方法；

2．配方法；

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方；求出方程的解；如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無

實數(shù)解.

3．公式法；

(1)一元二次方程求根公式：

一元二次方程，當(dāng)時，.

(2)一元二次方程根的判別式．

①當(dāng)時，原方程有兩個不等的實數(shù)根；

②當(dāng)時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；

③當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根.

(3)用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值；

③求出的值；

④若，則利用公式求出原方程的解；

若，則原方程無實根.

4．因式分解法；

(1)用因式分解法解一元二次方程的步驟：

①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

(2)常用因式分解法：

提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.

知識點三、列一元二次方程解應(yīng)用題

1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，或?qū)⒁粋€量表示兩遍，由此得到方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；

答(切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題.

知識點四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實根是x1，x2，那么.

注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.知識點一：一元二次方程的定義及解法只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是________，這樣的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的常見解法（1）__________；（2）__________；（3）；（4）.例1：（2009·新疆建設(shè)兵團(tuán)）解方程：．【解析】可以用因式分解法或公式法解一元二次方程.解法一：或解法二：同步測試：1.（2009·浙江省臺州市）用配方法解一元二次方程的過程中，配方正確的是（）A．（B． C． D．2.（2009·四川省南充市）方程的解是（）A． B． C．或 D．或知識點二：一元二次方程的解的應(yīng)用例2.（2009·山東省日照市）．若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為（D）（A）1（B）2 （C）-1（D）-2同步測試：1.（2009·湖南省長沙市）．已知關(guān)于的方程的一個根為，則實數(shù)的值為（）A．1 B． C．2 D．2.（2009·山東省威海市）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則另一個根是______．知識點三：一元二次方程根的判別式：一元二次方程的根的判別式___________.（1）_________________；（2）________________；（3）_________________.例3：（2009·成都市）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k＞-1B.k＞-1且k≠0C.k＜1D.k＜1且k≠0【解析】因為一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以必須滿足兩個條件，，解之得，k＞-1且k≠0，故選B.【答案】B同步測試：1．（2009蕪湖）當(dāng)滿足時，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．2．（2009·山東省泰安市）關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是。知識點四：一元二次方程的應(yīng)用：步驟是：設(shè)列解驗答例4：(2009·遼寧省本溪市）由于甲型H1N1流感（起初叫豬流感）的影響，在一個月內(nèi)豬肉價格兩次大幅下降．由原來每斤16元下調(diào)到每斤9元，求平均每次下調(diào)的百分率是多少？設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為，則根據(jù)題意可列方程為．【解析】第二下降表示為,然后再列方程.【答案】同步測試：1．（2009安徽）某市2008年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2007年增長了12%，由于受到國際金融危機(jī)的影響，預(yù)計今年比2008年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為則滿足的關(guān)系式是（）A．B．C．D．2．（2009·浙江省寧波市）2009年4月7日，國務(wù)院公布了《醫(yī)藥衛(wèi)生體制改革近期重點實施方案（2009~2011年》，某市政府決定2009年投入6000萬元用于改善醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)，比2008年增加了1250萬元．投入資金的服務(wù)對象包括“需方”（患者等）和“供方”（醫(yī)療衛(wèi)生機(jī)構(gòu)等），預(yù)計2009年投入“需方”的資金將比2008年提高30%，投入“供方”（1）該市政府2008年投入改善醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)的資金是多少萬元？（2）該市政府2009年投入“需方”和“供方”的資金各多少萬元？（3）該市政府預(yù)計2011年將有7260萬元投入改善醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)，若從2009~2011年每年的資金投入按相同的增長率遞增，求2009~2011年的年增長率．類型一、一元二次方程及根的定義

1.已知關(guān)于的方程的一個根為2，求另一個根及的值.

思路點撥：從一元二次方程的解的概念入手，將根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一個根即可.

解：將代入原方程，得

即

解方程，得

當(dāng)時，原方程都可化為

解方程，得.

所以方程的另一個根為4，或-1.

總結(jié)升華：以方程的根為載點.綜合考查解方程的問題是一個?？紗栴}，解這類問題關(guān)鍵是要抓住“根”的概念，并以此為突破口.

舉一反三：

【變式1】已知一元二次方程的一個根是，求代數(shù)式的值.

思路點撥：抓住為方程的一個根這一關(guān)鍵，運(yùn)用根的概念解題.

解：因為是方程的一個根,

所以,

故,

,

所以.

.

總結(jié)升華：“方程”即是一個“等式”，在“等式”中，根據(jù)題目的需要，合理地變形，是一種對代數(shù)運(yùn)算綜合要求較高的能力，在這一方面注意豐富自己的經(jīng)驗.

類型二、一元二次方程的解法

2.用直接開平方法解下列方程：

(1)3-27x2=0；(2)4(1-x)2-9=0.

解：(1)27x2=3

.

(2)4(1-x)2=9

3.用配方法解下列方程：

(1)；(2).

解：(1)由，

得，

，

，

所以，

故.

(2)由，

得，

，

，

所以

故

4.用公式法解下列方程：

(1)；(2)；(3).

解：(1)這里

并且

所以，

所以，.

(2)將原方程變形為，

則

，

所以，

所以.

(3)將原方程展開并整理得，

這里，

并且，

所以.

所以.

總結(jié)升華：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一個重點，要求熟練掌握，它對我們的運(yùn)算能力有較高要求，也是提高我們運(yùn)算能力訓(xùn)練的好素材.

5.用因式分解法解下列方程：

(1)；(2)；(3).

解：(1)將原方程變形為，

提取公因式，得，

因為，所以

所以或，

故

(2)直接提取公因式，得

所以或，(即

故.

(3)直接用平方差公式因式分解得

即

所以或

故.

舉一反三：

【變式1】用適當(dāng)方法解下列方程．

(1)2(x+3)2=x(x+3)；(2)x2-2x+2=0；

(3)x2-8x=0；(4)x2+12x+32=0.

解：(1)2(x+3)2=x(x+3)

2(x+3)2-x(x+3)=0

(x+3)[2(x+3)-x]=0

(x+3)(x+6)=0

x1=-3，x2=-6．

(2)x2-2x+2=0

這里a=1，b=-2，c=2

b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12＞0

x==

x1=+，x2=-

(3)x(x-8)=0

x1=0，x2=8．

(4)配方，得

x2+12x+32+4=0+4

(x+6)2=4

x+6=2或x+6=-2

x2=-4，x2=-8．

點評:要根據(jù)方程的特點靈活選用方法解方程.

6.若，求的值.

思路點撥：觀察，把握關(guān)鍵：換元，即把看成一個“整體”.

解：由，

得，

，

，

所以，

故或(舍去)，

所以.

總結(jié)升華：把某一“式子”看成一個“整體”，用換元的思想轉(zhuǎn)化為方程求解，這種轉(zhuǎn)化與化歸的意識要建立起來.

類型三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

7.(武漢)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情況是()

A.有兩個相等的實數(shù)根;B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根;D.沒有實數(shù)根

解析:因為△=32-4×4×(-2)＞0，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根.

答案:B.

8.(重慶)若關(guān)于x的一元二次方程x2+x-3m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是()

A.m＞B.m＜C.m＞-D.m＜-

思路點撥：因為該方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以應(yīng)滿足.

解:由題意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，

解得m＞-.

答案:C.

舉一反三：

【變式1】當(dāng)m為什么值時，關(guān)于x的方程有實根.

思路點撥：題設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分和兩種情形討論.

解：當(dāng)即時，，方程為一元一次方程，總有實根；

當(dāng)即時，方程有根的條件是：

，解得

∴當(dāng)且時，方程有實根.

綜上所述：當(dāng)時，方程有實根.

【變式2】若關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．

思路點撥：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、負(fù)或0．因為一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范圍．

解：∵關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根．

∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0

∴滿足

∵ax+3＞0即ax＞-3

∴所求不等式的解集為.

類型四、根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系，求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值

9.(河北)若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，則x12+x22的值是()

A.B.C.D.7

思路點撥:本題解法不唯一，可先解方程求出兩根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化成含有x1+x2和x1x2的代數(shù)式，再整體代入.

解:由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=，x1·x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.

答案:A.

總結(jié)升華:公式之間的恒等變換要熟練掌握.

類型五、一元二次方程的應(yīng)用

考點講解：

1．構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型：一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實問題的有效數(shù)學(xué)模型，通過審題弄清具體

問題中的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的關(guān)鍵．

2．注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要

對方程的解注意檢驗，根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性．

10.(陜西)在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖.如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()

A.x2+