概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)1

你一定要堅(jiān)強(qiáng)，即使受過(guò)傷，流過(guò)淚，也能咬牙走下去。因?yàn)?，人生，就是你一個(gè)人的人生。============================================================================--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------命運(yùn)如同手中的掌紋，無(wú)論多曲折，終掌握在自己手中==============================================================統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)點(diǎn)梳理總結(jié)第一章隨機(jī)事件與概率一、教學(xué)要求1．理解隨機(jī)事件的概念，了解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算．2．了解概率的各種定義，掌握概率的基本性質(zhì)并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算．3．理解條件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算．4．理解事件的獨(dú)立性概念，掌握運(yùn)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算．5．掌握貝努里概型及其計(jì)算，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題歸結(jié)為貝努里概型，然后用二項(xiàng)概率計(jì)算有關(guān)事件的概率．本章重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率計(jì)算．二、知識(shí)要點(diǎn)1．隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；·(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱(chēng)為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作．2．隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱(chēng)為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱(chēng)事件)．通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件．3．**事件的關(guān)系及運(yùn)算(1)包含：若事件發(fā)生，一定導(dǎo)致事件發(fā)生，那么，稱(chēng)事件包含事件，記作(或)．(2)相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱(chēng)事件與相等，記作．(3)和事件：“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱(chēng)為A與B的和事件，記作；“n個(gè)事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱(chēng)為的和，記作（簡(jiǎn)記為）．(4)積事件：“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱(chēng)為A與B的積事件，記作(簡(jiǎn)記為)；“n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”這一事件稱(chēng)為的積事件，記作（簡(jiǎn)記為或)．(5)互不相容：若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即，那么稱(chēng)事件A與B互不相容(或互斥)，若n個(gè)事件中任意兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即(1≤i<j≤幾)，那么，稱(chēng)事件互不相容．(6)對(duì)立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱(chēng)A與B是對(duì)立的．事件A的對(duì)立事件(或逆事件)記作．(7)差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱(chēng)這個(gè)事件為事件A與B的差事件，記作(或)．(8)交換律：對(duì)任意兩個(gè)事件Ａ和B有，．(9)結(jié)合律：對(duì)任意事件A，B，C有，．(10)分配律：對(duì)任意事件A，B，C有，．(11)德摩根（DeMorgan）法則：對(duì)任意事件A和B有,.4．頻率與概率的定義(1)頻率的定義設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值／n稱(chēng)為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即.(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即．(3)**古典概率的定義具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型：(i)試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作;(ii)在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(）出現(xiàn)的概率相同，即．在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為．(4)幾何概率的定義如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為·(5)概率的公理化定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，隨機(jī)事件A是的子集，是實(shí)值函數(shù)，若滿(mǎn)足下列三條公理：公理1(非負(fù)性)對(duì)于任一隨機(jī)事件Ａ，有≥0；公理2(規(guī)范性)對(duì)于必然事件，有；公理3(可列可加性)對(duì)于兩兩互不相容的事件，有，則稱(chēng)為隨機(jī)事件Ａ的概率．5．**概率的性質(zhì)由概率的三條公理可導(dǎo)出下面概率的一些重要性質(zhì)(1)．(2)(有限可加性)設(shè)n個(gè)事件兩兩互不相容，則有．(3)對(duì)于任意一個(gè)事件A：．(4)若事件A，B滿(mǎn)足，則有,．(5)對(duì)于任意一個(gè)事件A，有．(6)(加法公式)對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B，有.對(duì)于任意n個(gè)事件，有.6．**條件概率與乘法公式設(shè)A與B是兩個(gè)事件．在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為條件概率，記作．當(dāng)，規(guī)定.在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質(zhì)．乘法公式：對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B，當(dāng),時(shí)，有.7．*隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性如果事件A與B滿(mǎn)足，那么，稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立．關(guān)于事件A，月的獨(dú)立性有下列兩條性質(zhì)：(1)如果，那么，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是；如果，那么，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是．這條性質(zhì)的直觀意義是“事件A與B發(fā)生與否互不影響”．(2)下列四個(gè)命題是等價(jià)的：(i)事件A與B相互獨(dú)立；(ii)事件A與相互獨(dú)立；(iii)事件與B相互獨(dú)立；(iv)事件與相互獨(dú)立．對(duì)于任意n個(gè)事件相互獨(dú)立性定義如下：對(duì)任意一個(gè)，任意的，若事件總滿(mǎn)足，則稱(chēng)事件相互獨(dú)立．這里實(shí)際上包含了個(gè)等式．8．*貝努里概型與二項(xiàng)概率設(shè)在每次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件Ａ發(fā)生的概率，則在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中．，事件Ａ恰發(fā)生次的概率為，稱(chēng)這組概率為二項(xiàng)概率．9．**全概率公式與貝葉斯公式全概率公式：如果事件兩兩互不相容，且，，，則．第二章離散型隨機(jī)變量及其分布一、教學(xué)要求1．理解離散型隨機(jī)變量及其概率函數(shù)的概念并掌握其性質(zhì)，掌握0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松(Poisson)分布、均勻分布、幾何分布及其應(yīng)用．２．理解二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率函數(shù)的概念及性質(zhì)；會(huì)利用二維概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率．３．理解二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布，了解二維隨機(jī)變量的條件分布．4．掌握離散型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件．5.會(huì)求離散型隨機(jī)變量及簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布．本章重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算．二、知識(shí)要點(diǎn)1．一維隨機(jī)變量若對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中的每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，變量都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與相對(duì)應(yīng)，即，則稱(chēng)是一個(gè)一維隨機(jī)變量．概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也稱(chēng)這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律為隨機(jī)變量的分布．2．**離散型隨機(jī)變量及其概率函數(shù)如果隨機(jī)變量?jī)H可能取有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)值，則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，若，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)，概率函數(shù)也可用下列表格形式表示：３．*概率函數(shù)的性質(zhì)(1)，(2)．由已知的概率函數(shù)可以算得概率，其中，是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)集合．４．*常用離散型隨機(jī)變量的分布(1)0—1分布，它的概率函數(shù)為，其中，或1，．(2)二項(xiàng)分布，它的概率函數(shù)為，其中，，．(４)泊松分布，它的概率函數(shù)為，其中，，．(５)均勻分布，它的概率函數(shù)為，其中，．５．二維隨機(jī)變量若對(duì)于試驗(yàn)的樣本空間中的每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，有序變量都有確定的一對(duì)實(shí)數(shù)值與e相對(duì)應(yīng)，即，，則稱(chēng)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量．6．*二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率函數(shù)如果二維隨機(jī)變量?jī)H可能取有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)值，那么，稱(chēng)為二維離散型隨機(jī)變量．二維離散型隨機(jī)變量的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來(lái)表示：其中，．7．二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù)設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，為其聯(lián)合概率函數(shù)（），稱(chēng)概率為隨機(jī)變量的邊緣概率函數(shù)，記為并有，稱(chēng)概率為隨機(jī)變量Y的邊緣概率函數(shù)，記為，并有=.8．隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性．設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，與相互獨(dú)立的充分必要條件為多維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可類(lèi)似定義．即多維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論．9．隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)已知函數(shù)，是隨機(jī)變量的函數(shù)，它也是一個(gè)隨機(jī)變量．對(duì)離散型隨機(jī)變量，下面來(lái)求這個(gè)新的隨機(jī)變量的分布．設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則隨機(jī)變量函數(shù)的概率函數(shù)可由下表求得但要注意，若的值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時(shí)把對(duì)應(yīng)的概率相加．第三章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、教學(xué)要求1．理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，并掌握其性質(zhì)，掌握均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用．2．理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)以及連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度；會(huì)利用二維概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率．3．理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布，了解二維隨機(jī)變量的條件分布．4．理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念，掌握連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件．5．掌握二維均勻分布；了解二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，理解其中參數(shù)的概率意義．(不考)6．會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量之和的概率分布．(不考)７．會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布．本章重點(diǎn)：一維及二維隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算,邊緣分布和獨(dú)立性計(jì)算．二、知識(shí)要點(diǎn)1．*分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)來(lái)表示，隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，記作,即．2．分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(２)是非減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，有；(3);(4)是右連續(xù)函數(shù)，即．由已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，可算得落在任意區(qū)間內(nèi)的概率也可以求得．3．聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)規(guī)定為隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率，同時(shí)隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率，并把聯(lián)合分布函數(shù)記為，即．4．聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(1)；(2)是變量(固定)或(固定)的非減函數(shù)；(3)，；(4)是變量(固定)或(固定)的右連續(xù)函數(shù)；(5)．5．**連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任一實(shí)數(shù)，有成立，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度．6．**概率密度及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)（１）（２）；（３）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為是連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點(diǎn)處有；（4）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)c，；(5)設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，則有＝．7．**常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)均勻分布，它的概率密度為其中，．(2)指數(shù)分布，它的概率密度為其中，．(3)正態(tài)分布，它的概率密度為，其中，，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記作，即，當(dāng)出時(shí)，可查表得到；當(dāng)時(shí)，可由下面性質(zhì)得到．設(shè)，則有；．８．**二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度對(duì)于二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)，如果存在一個(gè)二元非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)有成立，則為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度．９．二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì)(1)；(2)；(3)設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一條平面曲線，有；’(4)在的連續(xù)點(diǎn)處有;(5)設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)平面上任一區(qū)域有．1０，**二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為．11．常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布如果在二維平面上某個(gè)區(qū)域G上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為(2)二維正態(tài)分布如果的聯(lián)合概率密度則稱(chēng)服從二維正態(tài)分布，并記為.如果，則，，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布．12．**隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性．如果與的聯(lián)合分布函數(shù)等于的邊緣分布函數(shù)之積，即，那么，稱(chēng)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立．設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則與相互獨(dú)立的充分必要條件為如果．那么，與相互獨(dú)立的充分必要條件是．多維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可類(lèi)似定義．即多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于每個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)之積，多維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論．13．隨機(jī)變量函數(shù)的分布**一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)為其中，與是相等的隨機(jī)事件，而是實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)集合．隨機(jī)變量的概率密度可由下式得到：．連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)有下面兩條性質(zhì)：(i)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，是單調(diào)函數(shù)，且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是的反函數(shù)，則的概率密度為．(ii)設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有，特別當(dāng)時(shí)，有，．特別有下面的結(jié)論：設(shè)，，且與相互獨(dú)立，則．第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、教學(xué)要求1．理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的概念，并會(huì)運(yùn)用它們的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的期望、方差，2．掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差．3．會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布計(jì)算其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望正．(不考)4．理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，掌握它們的性質(zhì)，并會(huì)利用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，了解矩的概念。本章重點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望。方差的計(jì)算．二、知識(shí)要點(diǎn)1．**數(shù)學(xué)期望設(shè)是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為；設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對(duì)可積，則定義的數(shù)學(xué)期望為．2．*隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；特別地.設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；特別地,.3．**數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)(其中c為常數(shù))；(2)(為常數(shù))；(3)；(4)如果與相互獨(dú)立，則.4．**方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的方差定義為．計(jì)算方差常用下列公式：’當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級(jí)數(shù)收斂，則的方差為；當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分收斂，則的方差為.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根.5．**方差的性質(zhì)(1)(c是常數(shù))；(2)(為常數(shù))；(3)如果與獨(dú)立，則.6．原點(diǎn)矩與中心矩隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩定義為；隨機(jī)變量的階中心矩定義為]；隨機(jī)變量的階混合原點(diǎn)矩定義為；隨機(jī)變量的階混合中心矩定義為．一階原點(diǎn)矩是數(shù)學(xué)期望；二階中心矩是方差D(X)；階混合中心矩為協(xié)方差.7．**常用分布的數(shù)字特征(1)當(dāng)服從二項(xiàng)分布時(shí)，．(2)當(dāng)服從泊松分布時(shí)，，(3)當(dāng)服從區(qū)間上均勻分布時(shí)，(4)當(dāng)服從參數(shù)為的指數(shù)分布時(shí)，(5)當(dāng)服從正態(tài)分布時(shí)，．(6)當(dāng)服從二維正態(tài)分布時(shí)，；；第五章

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念一、基本教學(xué)要求與主要內(nèi)容(一)教學(xué)要求

1．理解總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計(jì)算。

2．了解分布、t分布和F分布的定義和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念并會(huì)查表計(jì)算。3．掌握正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計(jì)量的分布。

本章重點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)量的概念及其分布。

(二)主要內(nèi)容

1．總體、個(gè)體

我們把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體(或母體)，把組成總體的每個(gè)成員稱(chēng)為個(gè)體。在實(shí)際問(wèn)題中，通常研究對(duì)象的某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)值指標(biāo)，因而常把總體的數(shù)值指標(biāo)稱(chēng)為總體。設(shè)x為總體的某個(gè)數(shù)值指標(biāo)，常稱(chēng)這個(gè)總體為總體X。X的分布函數(shù)稱(chēng)為總體分布函數(shù)。當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，稱(chēng)X的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)。當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，稱(chēng)X的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。當(dāng)X服從正態(tài)分布時(shí)，稱(chēng)總體X為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類(lèi)型：

(1)未知，但已知；

(2)未知，但已知；

(3)和均未知。

2．簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法實(shí)質(zhì)上是由局部來(lái)推斷整體的方法，即通過(guò)一些個(gè)體的特征來(lái)推斷總體的特征。要作統(tǒng)計(jì)推斷，首先要依照一定的規(guī)則抽取n個(gè)個(gè)體，然后對(duì)這些個(gè)體進(jìn)行測(cè)試或觀察得到一組數(shù)據(jù)，這一過(guò)程稱(chēng)為抽樣。由于抽樣前無(wú)法知道得到的數(shù)據(jù)值，因而站在抽樣前的立場(chǎng)上，設(shè)有可能得到的值為，n維隨機(jī)向量()稱(chēng)為樣本。n稱(chēng)為樣本容量。(）稱(chēng)為樣本觀測(cè)值。

如果樣本()滿(mǎn)足

（1）相互獨(dú)立；

(2)服從相同的分布，即總體分布；

則稱(chēng)()為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。

設(shè)總體X的概率函數(shù)(密度函數(shù))為，則樣本（)的聯(lián)合概率函數(shù)(聯(lián)合密度函數(shù)為)

3.統(tǒng)計(jì)量

完全由樣本確定的量，是樣本的函數(shù)。即：設(shè)是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，是一個(gè)n元函數(shù)，如果中不含任何總體的未知參數(shù)，則稱(chēng)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，經(jīng)過(guò)抽樣后得到一組樣本觀測(cè)值，則稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值或統(tǒng)計(jì)量值。4.**常用統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值：（2）樣本方差：觀察值仍分別稱(chēng)為樣本均值、樣本方差5.**三個(gè)重要分布（1）分布設(shè)為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，稱(chēng)隨機(jī)變量的分布為自由度為n的分布，記為。稱(chēng)滿(mǎn)足：的點(diǎn)為分布的分位點(diǎn)。（2）t分布設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，，則稱(chēng)的分布為自由度n的t分布，記為。稱(chēng)滿(mǎn)足：的點(diǎn)為t分布的分位點(diǎn)。（3）F分布設(shè)隨機(jī)變量U與V相互獨(dú)立，，則稱(chēng)的分布為自由度的F分布，記為。稱(chēng)滿(mǎn)足：的點(diǎn)為F分布的分位點(diǎn)，且有6.**正態(tài)總體的抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布，設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，與分別為樣本的均值和樣本方差，則有（1）；（2）與相互獨(dú)立；（3）

學(xué)習(xí)要點(diǎn)1，統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心問(wèn)題是由樣本推斷總體，因此理解統(tǒng)計(jì)量的概念非常重要。它是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇和運(yùn)用在統(tǒng)計(jì)推斷中占據(jù)核心地位。2，樣本均值、樣本方差以及其他樣本矩都是一些常用的統(tǒng)計(jì)量，必須熟悉它們的計(jì)算方法及其有關(guān)性質(zhì)。3，統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布，其中分布、t分布、F分布即是本章的重點(diǎn)，必須熟悉它們的定義、性質(zhì)及其上分位點(diǎn)的查表方法；4，正態(tài)總體抽樣分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的一個(gè)理論結(jié)果，必須弄清它的條件及結(jié)論，并能運(yùn)用判斷一些常用統(tǒng)計(jì)量的分布。

第六章

參數(shù)估計(jì)一、教學(xué)基本要求與主要內(nèi)容(一)教學(xué)基本要求

1．理解點(diǎn)估計(jì)的概念。

2．掌握矩估計(jì)法(一階、二階)和極大似然估計(jì)法。

3．了解估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)(無(wú)偏性、有效性)。

4．理解區(qū)間估計(jì)的概念。

5．會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間。

不考6．會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。

本章重點(diǎn)：未知參數(shù)的矩估計(jì)，極大似然估計(jì)及正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。(二)主要內(nèi)容

1.**點(diǎn)估計(jì)方法設(shè)是來(lái)自總體X的樣本，是總體的未知參數(shù)，若用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)，則稱(chēng)為參數(shù)的估計(jì)量，在抽樣后，稱(chēng)為參數(shù)的估計(jì)值。這種估計(jì)稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì)。矩估計(jì)和最大似然估計(jì)是兩種常用的點(diǎn)估計(jì)法。（1）**矩估計(jì)法用樣本的各階原點(diǎn)矩去估計(jì)對(duì)應(yīng)的各階總體的原點(diǎn)矩，這就是矩估計(jì)的基本方法。\（2）**最大似然估計(jì)法設(shè)總體X的密度函數(shù)（其中為未知參數(shù)），已知為總體X的樣本的觀察值，則求的最大似然估計(jì)值的步驟如下：①

寫(xiě)出似然函數(shù)②

似然函數(shù)取對(duì)數(shù)(3)建立并求似然方程(4)最大似然估計(jì)值可以由解對(duì)數(shù)似然方程得到。2.點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判準(zhǔn)則（1）無(wú)偏性設(shè)是的一個(gè)估計(jì)量，若，對(duì)每一成立則稱(chēng)是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。（2）有效性設(shè)是的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，如對(duì)每一，有且至少對(duì)某個(gè)使之成立嚴(yán)格不等式，則稱(chēng)比有效。稱(chēng)在所有的無(wú)偏估計(jì)中，方差最小的那一個(gè)為一致最小方差無(wú)偏估計(jì)。3.**單正態(tài)總體下的置信區(qū)間設(shè)是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，置信水平為，樣本均值，樣本方差。（1）均值的置信區(qū)間

若已知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：

若未知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：（2）方差的置信區(qū)間

若已知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：

若未知，取，故的雙側(cè)置信區(qū)間為：學(xué)習(xí)要點(diǎn)1本章的要點(diǎn)是理解參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的概念，掌握參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，會(huì)能實(shí)際應(yīng)用。特別是要掌握矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法這二種點(diǎn)估計(jì)的常用方法，并能熟練地運(yùn)用這二種點(diǎn)估計(jì)的常用方法去求參數(shù)的估計(jì)量.2本章的另一要點(diǎn)是理解參數(shù)區(qū)間估計(jì)的概念和置信水平、置信區(qū)間的概念及其意義，熟悉對(duì)單正態(tài)總體的均值與方差和兩正態(tài)總體的均值差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的方法及步驟，并能熟練地運(yùn)用以上方法求各種置信區(qū)間。

第七章

假設(shè)檢驗(yàn)

一.教學(xué)基本要求

1．理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類(lèi)錯(cuò)誤。知道兩類(lèi)錯(cuò)誤概率，并在較簡(jiǎn)單的情況能計(jì)算兩類(lèi)錯(cuò)誤概率，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。

2．理解單個(gè)及正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)。

3．(不考)了解總體分布假設(shè)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。

本章重點(diǎn)：?jiǎn)蝹€(gè)正態(tài)總體的參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。

二.內(nèi)容提要1．假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念假設(shè)檢驗(yàn)是基于樣本判定一個(gè)關(guān)于總體分布的理論假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)方法。方法的基本思想是當(dāng)觀察到的數(shù)據(jù)差異達(dá)到一定程度時(shí)，就會(huì)反映與總體理論假設(shè)的真實(shí)差異，從而拒絕理論假設(shè)。原假設(shè)與備選假設(shè)是總體分布所處的兩種狀態(tài)的刻畫(huà)，一般都是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要以及相關(guān)的專(zhuān)業(yè)理論知識(shí)提出來(lái)的。通常，備選假設(shè)的設(shè)定反映了收集數(shù)據(jù)的目的。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的重要工具，其功能在用之于構(gòu)造觀察數(shù)據(jù)與期望數(shù)之間的差異程度。要求在原假設(shè)下分布是完全已知的或可以計(jì)算的。檢驗(yàn)的名稱(chēng)是由使用什么統(tǒng)計(jì)量來(lái)命名的。否定論證是假設(shè)檢驗(yàn)的重要推理方法，其要旨在：先假定原假設(shè)成立，如果導(dǎo)致觀察數(shù)據(jù)的表現(xiàn)與此假定矛盾，則否定原假設(shè)。通常使用的一個(gè)準(zhǔn)則是小概率事件的實(shí)際推斷原理。2．兩類(lèi)錯(cuò)誤概率。第一類(lèi)錯(cuò)誤概率即原假設(shè)成立，而錯(cuò)誤地加以拒絕的概率；第二類(lèi)錯(cuò)誤概率即原假設(shè)不成立，而錯(cuò)誤地接受它的概率。3．顯著水平檢驗(yàn)。在收集數(shù)據(jù)之前假定一個(gè)準(zhǔn)則，即文獻(xiàn)上稱(chēng)之為拒絕域，一旦樣本觀察值落入拒絕域就拒絕原假設(shè)。若在原假設(shè)成立條件下，樣本落入拒絕域的概率不超過(guò)事先設(shè)定的，則稱(chēng)該拒絕域所代表的檢驗(yàn)為顯著水平的檢驗(yàn)，而稱(chēng)為顯著水平。由定義可知，所謂顯著水平檢驗(yàn)就是控制第一類(lèi)錯(cuò)誤概率的檢驗(yàn)。4．**單正態(tài)總體均值和方差的檢驗(yàn)(U檢驗(yàn),T檢驗(yàn)和卡方檢驗(yàn))我們以單正態(tài)總體均值檢驗(yàn)為例，即假定總體。U檢驗(yàn):(1)列出問(wèn)題，即明確原假設(shè)和備選假設(shè)。先設(shè)已知，檢驗(yàn)其中已知。(2)基于的估計(jì)，提出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定水平，構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。(4)基于數(shù)據(jù)，算出的觀察值，如則拒絕，否則只能接受.因此檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量U，稱(chēng)之為U-檢驗(yàn)。注意:單邊檢驗(yàn)的區(qū)別H0：m=m0；H1：m>m0構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)H0：m=m0；H1：m<m0構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)T-檢驗(yàn)。當(dāng)未知時(shí)，改檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U為T(mén)統(tǒng)計(jì)量(1)列出問(wèn)題，即明確原假設(shè)和備選假設(shè)。先設(shè)未知，檢驗(yàn)其中未知。(2)基于的估計(jì)，提出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)給定水平，構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。(4)基于數(shù)據(jù)，算出的觀察值，如則拒絕，否則只能接受.因此檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量T，稱(chēng)之為T(mén)-檢驗(yàn)。

注意:單邊檢驗(yàn)的區(qū)別H0：m=m0；H1：m>m0構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)H0：m=m0；H1：m<m0構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)c2檢驗(yàn)。當(dāng)m未知時(shí)，單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)(1)列出問(wèn)題，即明確原假設(shè)和備選假設(shè)。先設(shè)m未知，檢驗(yàn)其中m未知。(