踐行好吃又有營養(yǎng)的數(shù)學(xué)(趙東)15

踐行“好吃”又“有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)

趙東

《讓孩子們在“好吃”中享受“有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)》-----《小學(xué)教學(xué)》2008年9月期卷首語

“吳正憲小學(xué)數(shù)學(xué)教師

工作站”掛牌啟動

2008.6.18“為什么好吃的東西都沒營養(yǎng)，而有營養(yǎng)的東西不好吃呢？”——北京市教委副主任羅杰營養(yǎng)好吃有營養(yǎng)且好吃沒營養(yǎng)不好吃有營養(yǎng)不好吃沒營養(yǎng)但好吃“好吃的數(shù)學(xué)”一定是符合孩子認(rèn)知特點和年齡特點的數(shù)學(xué)，是把理性的數(shù)學(xué)活化為豐富多彩的兒童喜歡且易于接受的數(shù)學(xué)?！坝袪I養(yǎng)的數(shù)學(xué)”一定是抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對孩子的發(fā)展有后勁的數(shù)學(xué)；

“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益?！泵咨絿亍昂贸浴钡臄?shù)學(xué)有趣的聯(lián)系生活的數(shù)形結(jié)合的動手操作的不太嚴(yán)格的“嚴(yán)格的不理解，不如不嚴(yán)格的理解”王翠菊---《圓的認(rèn)識》----直徑“聽聽大人是怎么說的吧……”以教知識、教技能、教學(xué)生解題為目的數(shù)學(xué)

沒營養(yǎng)：營養(yǎng)價值低?！冻龜?shù)是一位數(shù)的除法》微課4.總結(jié)方法：

除數(shù)一位看一位，一位不夠看兩位，

除到哪位商哪位，除數(shù)當(dāng)“姐”余當(dāng)“妹”。微課《除數(shù)是一位數(shù)的除法》（人教版三上）1.教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握多位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法；

明確每次除后余數(shù)必須必除數(shù)??；

養(yǎng)成完整的計算習(xí)慣并使計算又對又快。2.解釋豎式計算流程：（四大環(huán)節(jié)）：判（商是幾位數(shù)）--試商；估（商大約是幾）--范圍算（豎式計算）--格式簡便；驗（用乘法驗算）--準(zhǔn)確3.實例講解：42÷2=670÷5=250÷3=142÷3=從教學(xué)目標(biāo)談起：理解字母表示數(shù)，字母式表示數(shù)又能表示關(guān)系；體會字母表達(dá)的簡明、概括性，建立符號意識；經(jīng)歷由具體思維到抽象概括過程，積累活動經(jīng)驗。滲透函數(shù)思想。教什么？怎樣教？效果怎樣？《用字母表示數(shù)》的教學(xué)思考1.理解字母能表示數(shù)，字母式表示數(shù)又能表示關(guān)系；教學(xué)目標(biāo)“老師比學(xué)生大20歲”學(xué)生老師xX+20xX－20“老師今年30歲”x+20=30方程的基礎(chǔ)表示數(shù)量關(guān)系工人叔叔要運走35噸貨物，每次運5噸，上午運了3次，下午要運多少次才能運完？解：設(shè)下午要運x次，則下午運了5x噸。教學(xué)目標(biāo)1.理解字母能表示數(shù)，字母式表示數(shù)又能表示關(guān)系；教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：習(xí)題：a+a+a=60，求a是多少？把字母看作是特定的未知量，是某個具體的、可以直接參與運算的未知數(shù)的記號；互逆關(guān)系：a+20=35；b÷3=5，運算定律和計算公式a+b=b+a

c=（a+b）×2把字母看作是廣義的數(shù)，是一個可以取多個值的數(shù)（任意一個字母能表示任意一個數(shù)）教學(xué)目標(biāo)1.理解字母能表示數(shù)，字母式表示數(shù)又能表示關(guān)系；教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)困惑：“式子能表示數(shù)？”全班36人，每9人分為一組，能分成幾組？

36÷9=4（組）算式是算式，不能當(dāng)結(jié)果，問題的結(jié)果必須是算出來的具體的數(shù)。36÷9-------算式4-------結(jié)果代入計算;

明確告知加強比較;本課教學(xué)策略：教學(xué)目標(biāo)1.理解字母能表示數(shù)，字母式表示數(shù)又能表示關(guān)系；教學(xué)目標(biāo)后繼運用，鞏固強化：4張桌子多少人？10張桌子多少人？……4×4+210×4+24n+2所有的偶數(shù)怎么表示？2n教學(xué)目標(biāo)1.理解字母能表示數(shù)，字母式表示數(shù)又能表示關(guān)系；教學(xué)目標(biāo)后繼運用，鞏固強化：（六上數(shù)與形習(xí)題）紅色：1234藍(lán)色：8101214照這樣接著畫下去，第6個圖形有多少個紅色小正方形和多少個藍(lán)色小正方形？第10個圖形呢？你能解釋這其中的道理嗎？2n+62n+3×2（n+3）×2（n+2）×2+23（n+2）－n教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（1）什么是函數(shù)？函數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念之一。物質(zhì)世界常常是一些量依賴另一些量，函數(shù)就是這種依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)概括抽象。在笛卡爾引入變量以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域。（對宇宙天體的探索，對熱的傳導(dǎo)的研究等，都和函數(shù)概念有著緊密聯(lián)系。正是在這些實踐中，人們對函數(shù)的概念不斷深化。)教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（1）什么是函數(shù)？最早提出函數(shù)概念的，是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲。

1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉引入符號f(x)。歐拉認(rèn)為：由于函數(shù)不一定要用公式來表示，所以可以把畫在坐標(biāo)系的曲線叫做函數(shù)。他認(rèn)為：函數(shù)是隨意畫出的一條曲線。

教學(xué)目標(biāo)折線統(tǒng)計圖上所反映的數(shù)量關(guān)系是函數(shù)么？2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（1）什么是函數(shù)？當(dāng)時有些數(shù)學(xué)家對于不用公式來表示的函數(shù)感到不習(xí)慣，有的數(shù)學(xué)家把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。教學(xué)目標(biāo)日期周一周二周三周四周五出勤人數(shù)3938404038田徑隊某周每天早晨參加訓(xùn)練的人數(shù)統(tǒng)計：2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（1）什么是函數(shù)？1837年德國數(shù)學(xué)家狄里克雷這樣定義函數(shù)：

如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)。這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性。不管這個法則是公式或圖像或表格或其他形式。教學(xué)目標(biāo)自從德國數(shù)學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在高中課本里用的。2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（1）什么是函數(shù)？名稱----清朝數(shù)學(xué)家李善蘭的著作《代數(shù)學(xué)》。“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”函數(shù)的兩種定義方式：傳統(tǒng)定義：從運動變化的觀點出發(fā)（小學(xué)、初中函數(shù)概念）近代定義：是集合、映射的觀點出發(fā)（高中、大學(xué)函數(shù)概念）教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（1）什么是函數(shù)？教學(xué)目標(biāo)小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)課本里的函數(shù)：小學(xué)階段所涉及的幾個函數(shù):線性函數(shù)（一次函數(shù)）Y=kX+b特殊地：正比例函數(shù)：Y=kx反比例函數(shù)：XY=k2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（1）什么是函數(shù)？小學(xué)：正比例函數(shù)反比例函數(shù)例：正比例函數(shù)的四種表征：表格：一輛汽車行駛的路程與時間情況

路程（千米）60120180240300360……

時間（小時）123456……

文字：“兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也

隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的

比值（也就是商）一定，那么這兩種量就叫

做成正比例的量，它們之間的關(guān)系就叫做成

正比例關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；例：正比例函數(shù)的四種表征（1）什么是函數(shù)？小學(xué)：正比例函數(shù)反比例函數(shù)關(guān)系式：路程：時間=速度（一定）y/x=k（一定）路程（千米）圖像：12345678時間（時）060120180240300360教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；初中：在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于x的每一個值，都有唯一的一個y值與之對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)，

其中x自變量，y因變量。（1）什么是函數(shù)？教學(xué)目標(biāo)小學(xué)和初中對函數(shù)的定義側(cè)重運動、變化的角度描述。教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；高中：設(shè)D為一個非空集合，M’也為一個非空集合，f是某

對應(yīng)法則。如果對任意的x∈D,f唯一地確定出一

個元素y∈M’,則稱f為定義在D上的函數(shù)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：兩個集合A,B，F(xiàn)是一個從A到B的二元關(guān)系，

如果對于A中的每一個元素x，都有唯一的y滿足，<x,y>屬于F,就稱F為從A到B的函數(shù)，也稱映射。本質(zhì)：兩種量對應(yīng)變不變（1）什么是函數(shù)？教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；（2）函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透與體現(xiàn)。（1）數(shù)數(shù)、數(shù)的分解與組成，運算等內(nèi)容中蘊含函數(shù)思想。如，一年級第一冊中，就有這樣的內(nèi)容：4－（）=（）。

如，加法表、減法表中也蘊含著函數(shù)思想。豎著看，斜著看，誰在變？誰不變？教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；（2）探索規(guī)律中蘊含著函數(shù)思想?！疤剿饕?guī)律”是滲透函數(shù)思想的重要內(nèi)容，在課本中出現(xiàn)的頻率也比較高。

如，人教版一年級上冊找規(guī)律，填數(shù)：

5，10，15，20，25，（），（）

“數(shù)列中的數(shù)”隨著“第幾個數(shù)”的變化而變化，5倍關(guān)系不變（2）函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透與體現(xiàn)。教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（3）周長、面積、體積公式中蘊含函數(shù)思想。（4）速度、時間、路程等關(guān)系式中蘊含函數(shù)思想。（5）統(tǒng)計圖中蘊含函數(shù)思想。（6）用字母表示數(shù)中蘊含函數(shù)思想。（7）正、反比例的意義中蘊含函數(shù)思想。（2）函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透與體現(xiàn)。教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（3）《用字母表示數(shù)》滲透的函數(shù)思想：荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾認(rèn)為，字母可以表示兩層含義：一是作為專有名詞，（例如“KFC”）；另一層是數(shù)學(xué)含義的，他又可以分為兩個方面，一是未知元，二是變元，學(xué)生對“變元”的理解是非常困難的。2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)英國的兒童數(shù)學(xué)概念發(fā)展水平研究員柯利斯

學(xué)生對字母表示數(shù)的理解方式可以概括為6個水平：（3）《用字母表示數(shù)》滲透的函數(shù)思想：1、賦予特定數(shù)值的字母：從一開始就對字母賦予一個特定的價值；2、對字母不予考慮：根本忽視字母的存在，或雖然承認(rèn)它的存在，

但不賦予其意義；3、字母被看成一個具體的對象：認(rèn)為字母是一個具體物體的速記

或其本身就被看作一個具體的物體；4、字母作為一個特定的未知量：把字母看成一個特定的，但是未

知的數(shù)量；5、一般化的數(shù)：把字母看成代表了，或至少可以取幾個而不只是

一個值；6、字母作為一個變量：把字母看成代表一組未指定的值，并在兩

組這樣的值之間存在系統(tǒng)的關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（3）《用字母表示數(shù)》滲透的函數(shù)思想：人教版教材中體現(xiàn)了哪幾種水平？用字母表示一個未知數(shù)教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（3）《用字母表示數(shù)》滲透的函數(shù)思想：人教版教材中體現(xiàn)了哪幾種水平？用字母表示數(shù)量關(guān)系

（變化的數(shù)）教學(xué)目標(biāo)用字母表示量與量間的關(guān)系2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（3）《用字母表示數(shù)》滲透的函數(shù)思想：人教版教材中體現(xiàn)了哪幾種水平？教學(xué)目標(biāo)《用字母表示數(shù)》的實質(zhì)：字母概括的是一個量中的一組數(shù)。兩個有關(guān)系的量，當(dāng)一個字母概括其中一個量時，另一個量就一定能用字母式表示，這時候字母式既能表示數(shù)，又反應(yīng)兩個量之間的關(guān)系。2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（3）《用字母表示數(shù)》滲透的函數(shù)思想：輸入的數(shù)輸出的數(shù)2124598…………aa+10教學(xué)目標(biāo)具體數(shù)關(guān)系的研究量與量關(guān)系的概括正、反比例函數(shù)（4）為什么要用“魔盒”教學(xué)？（對比教材）2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)比“年齡問題”

更具趣味性與吸引力，比“舉重問題”

更易理解。更好地經(jīng)歷“變化中抓不變”的全過程。教學(xué)目標(biāo)（4）為什么要用“魔盒”教學(xué)？（對比教材）2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)趣味有余，難度太大

曾考慮（師大版教材六下）“變化的量”蟋蟀一分鐘叫的次數(shù)除以7再加3，所得的結(jié)果與當(dāng)時的氣溫差不多。如果用t表示蟋蟀每分叫的次數(shù)，用h表示當(dāng)時的氣溫，你能用式子表示出這個近似關(guān)系嗎？（h=t÷7+3）教學(xué)目標(biāo)（4）為什么要用“魔盒”教學(xué)？2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)“魔盒”的原型教學(xué)目標(biāo)2.滲透函數(shù)思想；教學(xué)目標(biāo)（5）《用字母表示數(shù)》的三度起稿。抓住學(xué)科教學(xué)的根堅守“有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)不斷批判、不斷推翻的過程，就是自我提高的過程教學(xué)目標(biāo)

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？一次設(shè)計：參加昌平區(qū)中青年教師評優(yōu)課。教學(xué)目標(biāo)的側(cè)重點：具體的情境中學(xué)會利用字母表示數(shù)進(jìn)行表達(dá)和交流體驗用字母表示數(shù)的簡明性和概括性并學(xué)會用字母式表示數(shù)量關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生的符號感。SOS

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？一次設(shè)計：參加昌平區(qū)中青年教師評優(yōu)課。環(huán)節(jié)描述：

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？一次設(shè)計：參加昌平區(qū)中青年教師評優(yōu)課。1.導(dǎo)入談話，揭示概括性：圖標(biāo)

2.復(fù)習(xí)溝通:想一想生活當(dāng)中哪些地方用到過字母？

3.探索建構(gòu)：給出學(xué)生年齡和師生年齡差，由學(xué)

生用字母表示學(xué)生年齡和教師年齡。4.延伸建構(gòu)：《數(shù)青蛙》兒歌中的應(yīng)用。5.鞏固提高：練習(xí)用字母式表示一些數(shù)量關(guān)系。

環(huán)節(jié)描述：

學(xué)生興趣盎然，課堂輕松順暢；展現(xiàn)符號的簡明、概括性；字母“自發(fā)”地使用課后感受：第一個環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)的積極主動，（好吃的數(shù)學(xué)）。但選擇討論的內(nèi)容同用字母表示數(shù)的實質(zhì)相差甚遠(yuǎn)，在這里字母被看成一個具體的對象：認(rèn)為字母是一個具體物體的速記或其本身就被看作一個具體的物體；把目標(biāo)鎖定在這個層次有些淺了。學(xué)生掌握了技能技巧，能解“燃眉之急”。但對于學(xué)生后續(xù)的發(fā)展缺乏后勁。

一節(jié)課的開始對于學(xué)生來說至關(guān)重要，學(xué)生會先入為主，從課堂教學(xué)的有效性考慮，占用大量的時間放在簡明、概括、便于交流上有些不合理。師傅的評價：

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？教學(xué)目標(biāo)的側(cè)重點：用字母表示數(shù)的必要性和重要性、簡明性和概括性為教學(xué)重點之一強調(diào)學(xué)生對用字母式表示數(shù)量關(guān)系的知識、方法。二次設(shè)計：參加昌平區(qū)邀請賽。初步建構(gòu)：數(shù)學(xué)“超級模仿秀”

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？二次設(shè)計：參加昌平區(qū)邀請賽。環(huán)節(jié)描述：

2+3＝3+25+7＝7+59+8＝8+9……a+b＝b+a1、對于“超級模仿秀”，學(xué)生迅速進(jìn)入字母表示數(shù)

的研究；2、對于加法交換率，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。3、環(huán)節(jié)緊湊，順暢自然，學(xué)生興趣盎然樂意參與。4、問題有思維價值，能考慮到了學(xué)生的答案。

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？二次設(shè)計：參加昌平區(qū)邀請賽。課后感受：備課真正備到了學(xué)生的內(nèi)心深處

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？二次設(shè)計：參加昌平區(qū)邀請賽。師傅的評價：同第一次相比簡化了環(huán)節(jié)，加強了用字母表示數(shù)的過程教學(xué)，關(guān)注了學(xué)生的生成性資源。但由于沒有抓住本節(jié)課的根，所以教學(xué)的本質(zhì)同上一節(jié)課比還是以知識技能為主的，仍然忽略學(xué)生對規(guī)律的探究、思索、表述的過程。

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？三次設(shè)計：參加北京市青年教師評優(yōu)課。1．找準(zhǔn)核心思想：2．確定教學(xué)重、難點：

3．尋找合適的模型：對照用字母表示數(shù)的6種水平描述，核心應(yīng)當(dāng)是函數(shù)思想。理解用字母可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。蟋蟀與溫度魔盒

三次設(shè)計：怎樣挖掘“營養(yǎng)”成分？先知道教什么，再考慮怎么教3.體會字母表達(dá)的簡明、概括性，建立符號意識；教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)（1）重視數(shù)學(xué)的符號語言。符號語言文字語言圖表語言數(shù)學(xué)語言符號語言：簡練性、準(zhǔn)確性、直觀性、概括性。3.體會字母表達(dá)的簡明、概括性，建立符號意識；教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)（1）重視數(shù)學(xué)的符號語言。

數(shù)學(xué)符號的理解和運用，能有效的幫助學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題。“數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。”

——羅素3.體會字母表達(dá)的簡明、概括性，建立符號意識；教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)“學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥，數(shù)學(xué)難，很多孩子沒有真正認(rèn)識理解數(shù)學(xué)符號表示的意義，不會從具體的問題中抽取出表示關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)符號?！备咧袛?shù)學(xué)教師：“與小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初、高中數(shù)學(xué)更多的利用抽象學(xué)習(xí)抽象；數(shù)學(xué)課本里更多的是天書般的符號?！保?.體會字母表達(dá)的簡明、概括性，建立符號意識；教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)（2）符號意識及其建立。