第5章非正弦周期信號的傅立葉分析

第5章非正弦周期信號的傅立葉分析

1．實訓目的（1）進一步熟悉諧振回路的選頻特性。（2）學會用掃頻儀測量頻率特性的方法。（3）定性認識方波信號中含有多種頻率成分的正弦波。2．實訓設備與實訓電路（1）實訓設備：方波信號發(fā)生器一臺，中波掃頻儀一臺，雙通道示波器一臺，3個由電容、電感組成的選頻器，選頻器的諧振頻率與對應的元件數(shù)值見表5-1。電容150pF47PpF18pF電感1.88mH0.67mH0.62mH諧振頻率300kHz900kHz1500kHz（2）實訓電路與說明：實訓電路如圖5-1所示。圖中T1、T2、T3是3個用調幅收音機中周改制的選頻器，可以通過調節(jié)電感磁心改變諧振頻率，它們可以將信號源中與其諧振頻率相等的頻率成分選取出來。3個選頻器與一電阻串連后接方波信號發(fā)生器。

3．實訓步驟1）調試選頻器的諧振頻率（1）在沒有接入方波信號源的情況下，將中波掃頻儀的輸出探頭接在圖5-1電路中1，0兩端，掃頻儀的檢波輸入探頭接在電路中的2，0兩端。（2）調節(jié)掃頻儀的中心頻率，使屏幕上顯示3個選頻回路的諧振曲線。（3）依次調節(jié)3個選頻器的磁心，使屏幕上顯示的諧振曲線中心頻率分別為300kHz、900kHz、1500kHz。2）觀測方波信號包含的正弦頻率成分（1）按圖5-1將信號發(fā)生器接入電路輸入端，即1，0兩端。打開信號源，將信號選擇為方波輸出。用示波器的輸入探頭1接在信號源的輸出端，觀察信號源輸出波形。調節(jié)輸出頻率并用示波器進行測量，使其頻率為300kHz，波形圖如圖5-2所示。（2）用另外一組示波器探頭，依次通過u1、u2和u3觀察并聯(lián)回路兩端的波形。調節(jié)選頻器磁心，觀測波形的變化，使之成為如圖5-3所示的正弦波。我要放大（3）用示波器測量每一個并聯(lián)回路兩端輸出波形的幅值及頻率?？梢园l(fā)現(xiàn)：①正弦波的幅值按照一定規(guī)律越來越??；②正弦波的頻率分別為：等于方波頻率、3倍方波頻率和5倍方波頻率。NEXT

4.實訓結果的分析與討論（1）通過第2章的討論我們知道，電感與電容并聯(lián)可以發(fā)生諧振。而在我們所做的實訓項目中，輸入信號是方波，但在每個并聯(lián)電路上得到的卻是不同頻率的正弦波，說明方波中含有正弦波的成分，而且在方波頻率點、3倍方波頻率點以及5倍方波頻率點上分別與3個LC并聯(lián)回路發(fā)生諧振。（2）通過測試并聯(lián)回路我們可以發(fā)現(xiàn)：每個正弦波的頻率與所加方波的頻率有關，回路1上所得到的正弦波頻率與方波的頻率相同，我們稱其為基波；回路2上所得到的正弦波頻率是方波頻率的3倍，稱為3次諧波，而回路3上所得到的正弦波頻率是方波頻率的5倍，稱為5次諧波。顯然，方波中還含有更多的正弦頻率成分，或者說，可以將方波分解成許多不同頻率的正弦波。5.1非正弦周期信號的產生及其傅立葉分解

5.1.1電路中產生非正弦信號的原因（1）當電路中所加激勵為非正弦周期信號時，則電路中的響應一般為非正弦的。例如，實驗室中經(jīng)常使用的信號發(fā)生器，除產生正弦波信號以外，還可以產生周期性方波、鋸齒波等非正弦信號，如圖5-4所示。這些非正弦周期信號加到電路中以后，在電路中產生的電流一般也不是正弦波。我要放大NEXT（2）當一個電路有幾個不同頻率的正弦（包括直流）激勵同時作用時，電路中的電流一般不會是正弦的。例如晶體管交流放大電路就屬于這種情形，其中直流電源提供的是直流電壓，設輸入信號為正弦電壓，則電路中的電流既不是直流，也不是正弦交流，而是非正弦周期電流。（3）如果電路中含有非線性元件，即使激勵是正弦的，其響應也可能是非正弦周期函數(shù)。例如圖5-5所示整流電路中，加在輸入端的電壓是正弦波，但是由于二極管具有單向導電的特性，所以輸出電壓為非正弦的，如圖5-6所示，稱為半波整流電壓。圖5-5半波整流電路圖5-6半波整流電路的輸入輸出波形繼續(xù)5.1.2非正弦周期量的分解工程上遇到的各種周期函數(shù)f（t）總可以分解為如下的傅立葉級數(shù)：式中，第一項A0是不隨時間變化的常數(shù)，稱為f（t）的恒定分量或直流分量；傅立葉級數(shù)的第二項是一個正弦函數(shù)：A1msin（ωt+φ1），其幅值為A1m，初相位為φ1，角頻率為ω，Ｔ＝2π/ω是ｆ（ｔ）的周期，即該正弦函數(shù)的周期與被分解的周期函數(shù)相同，ω的系數(shù)為1，所以A1msin(ωt+φ1）被稱為一次諧波，也叫做基波；傅立葉級數(shù)的第三項A2ｍsin（2ωt+φ2）的頻率為基波頻率的二倍，故稱為二次諧波。以此類推，有三次諧波、四次諧波等等。除恒定分量和基波外，其余各項都可統(tǒng)稱為高次諧波。因此周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)的方法也稱為諧波分析。電工中我們經(jīng)常遇到的各種非正弦周期信號，如方波、鋸齒波，三角波，以及二極管半波整流波形、二極管全波整流波形等等，均可以分解為傅立葉級數(shù)，表5-2中給出了一些典型周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)表達式，可供進行諧波分析時引用。序號的波形圖的傅立葉級數(shù)1序號的波形圖的傅立葉級數(shù)23序號的波形圖的傅立葉級數(shù)45點擊放大點擊放大序號的波形圖的傅立葉級數(shù)6點擊放大5.2非正弦周期信號的有效值、平均功率5.2.1非正弦周期信號的有效值

在2.1.1中我們曾指出：任何周期量的有效值都可以按照方均根值進行計算，即

(5.2)當知道函數(shù)f（t）在一個周期內的表達式，便可以直接代入上式來計算有效值。如果已知非正弦周期量的傅立葉級數(shù)分解結果，即已知周期量的恒定分量與各次諧波分量，則其有效值也可以根據(jù)各分量的量值求出。設非正弦周期函數(shù)f（t）的分解結果為式（5.1），將其代入（5.2）式，得(5.3)根據(jù)三角函數(shù)的正交性可以求得(5.4)式中二次諧波、…、ｋ次諧波的有效值，這是因為各諧波都是正弦量，其有效值等于振幅的。分別為基波、式（5.4）表明：任意周期函數(shù)的有效值等于它的恒定分量與各個諧波分量有效值的平方和的平方根。例5.1已知非正弦周期電流i=［1+0.707sin（ωt-20°）+0.42sin（2ωt+50°）］A，試求其有效值。

解給定電流中包括恒定分量和不同頻率的正弦量，并且已知各正弦量的振幅，所以周期電流的有效值應為例5.2求圖5-7所示電壓的有效值和平均值。點擊放大解因為所以有效值為平均值為5.2.2非正弦周期量的平均功率由2.3.2已知，如果任意一個二端網(wǎng)絡的端電壓為u，電流為i，則其瞬時功率為p=ui

如果u與i是同頻率的非正弦周期量，其平均功率就是瞬時功率在一個周期內的平均值，即

已知電壓u和電流i的函數(shù)表達式，就可以把它們直接代入（5.5）式計算平均功率。如果電壓u與電流i已被分解成傅立葉級數(shù)，即將（5.6）、（5.7）代入（5.5）式，可以求得這就是說，非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量和各次諧波分別產生的平均功率之和。只有同頻率的電壓與電流才能形成平均功率。例5.3已知某無源二端網(wǎng)絡的端電壓及電流分別為求二端網(wǎng)絡吸收的平均功率。解根據(jù)式(5.8)可得為便于分析和計算,通?？梢愿鶕?jù)保持平均功率不變的原則,將非正弦周期電壓和電流用等效正弦電壓和電流來替代。等效的條件是:（1）等效正弦量的有效值應等于已知非正弦周期量的有效值；（2）等效正弦量的頻率應等于非正弦周期量的頻率；（3）等效正弦量代替非正弦周期電壓和電流后，其功率必須等于電路的實際功率。根據(jù)條件（1）及（2）首先確定各等效正弦量的頻率和振幅（或有效值），再根據(jù)條件（3）即可確定等效正弦量的第三個要素——初相位，其表達式如下：式中P是非正弦周期電流電路的平均功率，U和I是非正弦周期電壓和電流的有效值。例5.4鐵心線圈是一種非線性元件，因此將其接在正弦電壓上，它所取電流是非正弦周期電流。設加在鐵心線圈上的正弦電壓為u=311sin314tV，其中電流為i=0.8sin(314t-85°)+0.25sin(942t-105°)A，不是正弦量。試求等效正弦電流。

解等效正弦電流的有效值等于非正弦周期電流的有效值，即平均功率為等效正弦電流與正弦電壓之間的相位差為則等效正弦電流為

5.3非正弦周期電流的線性電路計算

在5.1.2中已經(jīng)介紹過，非正弦周期電壓u（或電流i）可以分解成傅立葉級數(shù)當一個非正弦周期信號作用在如圖5-8（a）所示的電路中，那么它的作用就和一個直流電壓及一系列不同頻率的正弦電壓串聯(lián)起來共同作用在電路中的情況一樣，如圖5-8（b）所示。點擊放大…這樣的電源接在線性電路中所引起的電流，可以用疊加定理來計算，即分別計算電壓的恒定分量U0和各次諧波分量u1,u2,…單獨存在時，在某支路中產生的電流分量I0,i1,i2,…，而后把它們加起來，其和就是該支路的電流，即(5.10)式中I0=0（因為有電容）,因此，非正弦周期電流的線性電路的計算可歸結為下列3個步驟：（1）非正弦周期電源電壓（或電流）分解成傅立葉級數(shù)，其結果可看作由恒定分量和各次正弦諧波分量串聯(lián)的結果。（2）分別計算電路在上述恒定分量及各次諧波分量單獨作用下的響應。求恒定分量的響應與計算直流電路的方法一樣，同時電容應視為開路，電感應視為短路；求各次諧波分量的響應，則要計算正弦穩(wěn)態(tài)的電抗值。電感L對基波（角頻率為ω）的電感電抗為XL1=ωL，而對k次諧波的電感電抗則為就是說，同一電感L對k次諧波所表現(xiàn)出的感抗，是對基波所表現(xiàn)出的感抗的k倍。因此電流頻率越高，越不容易通過電感電路。電容C對基波的電容電抗為XC1=1/ωC，而對k次諧波的電容電抗則為(5.12)就是說，同一電容對k次諧波所表現(xiàn)出的容抗，僅為對基波所表現(xiàn)出的容抗的1/k，因此諧波電流的頻率越高，越容易通過電容電路。（3）根據(jù)疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應進行疊加。在第二步通常利用相量法計算各諧波分量的響應。疊加時應將相量化為瞬時值，然后再將瞬時值疊加起來。因為屬于各諧波分量的相量是代表不同頻率的正弦量，切不可將所求出的相量直接疊加。如電路中存在電感、電容等動態(tài)元件，它們對不同次的諧波呈現(xiàn)的電抗不同，各元件上電壓電流中各諧波分量的比例并不相同，合成的波形一般是不相同的。

例5.5設圖5-9（a）所示電路中（1）求電流源的端電壓及有效值；（2）求電流源發(fā)出的平均功率。點擊放大解首先考慮直流成分的作用。將電感短路，電容開路，作直流電路模型如圖（b）所示。電流源端電壓中直流分量為 U0=（10+2×2）=14V再令頻率為ω的正弦電源作用，電路的相量模型如圖（c）所示。用節(jié)點法求電流源端電壓相量：化簡得解得電流源的端電壓極其有效值分別為電流源發(fā)出的平均功率為

例5.6圖5-10（a）中的LC構成了濾波電路，其中L=5H，C=10μF，設其輸入為如圖（b）所示的正弦全波整流電壓，電壓振幅Um=150V，整流前的工頻正弦電壓角頻率為100πrad/s，負載電阻R=2000Ω。求電感電流i和負載端電壓uCD。解（1）從表5-1查出正弦全波整流電壓的傅立葉級數(shù)為代入數(shù)據(jù)，且將各正弦量前方負號變?yōu)檎柕茫?）分別計算電源電壓的恒定分量和各次諧波引起的響應。(ａ)恒定電壓作用時電感相當于短路,電容相當于開路,故(ｂ)計算基波電壓的作用。全波整流的波形與正弦波相比，周期減半，頻率加倍，故整流波形的基波角頻率應為ω＝2×100πrad/s。RC并聯(lián)電路的阻抗為AB端口的輸入阻抗(ｃ)計算二次諧波電壓的作用。計算方法同上，而角頻率加倍?？梢娯撦d電壓中二次諧波有效值僅占恒定電壓的0.113/95.5=0.12%，二次以上各諧波所占的百分比更小，所以不必計算更高次諧波的影響。（3）把向量變換為瞬時表達式，再將恒定分量與各諧波分量相疊加。負載電壓的有效值為負載電壓uCD中最大的諧波，即基波有效值僅占恒定分量的2.5%，表明這個LC電路具有濾除各諧波分量的作用，故稱為濾波電路或濾波器。其中電感L起抑止高頻交流的作用，常稱為扼流圈,并聯(lián)電容C起減小負載電阻上交流電壓的作用，常稱為旁路電容。習題與思考題51.試求題圖5-1所示波形的平均值及有效值。2.一電容元件，C=100μF，在其兩端加一如題圖5-2所示的周期三角波，（1）求電流i；（2）作出i的波形；（3）計算i的平均值及有效值。3.求題圖5-3所示波形在兩種情況下的的平均值和有效值：（1）θ=30°；（2）θ=150°。4.求下列非正弦周期電壓的有效值：（1）

u1（t）是振幅為10V的鋸齒波；（2）5.把題５.４中的u1（t）和u2（t）分別加在兩個5Ω的