第5章非正弦周期信號(hào)的傅立葉分析

第5章非正弦周期信號(hào)的傅立葉分析

1．實(shí)訓(xùn)目的（1）進(jìn)一步熟悉諧振回路的選頻特性。（2）學(xué)會(huì)用掃頻儀測(cè)量頻率特性的方法。（3）定性認(rèn)識(shí)方波信號(hào)中含有多種頻率成分的正弦波。2．實(shí)訓(xùn)設(shè)備與實(shí)訓(xùn)電路（1）實(shí)訓(xùn)設(shè)備：方波信號(hào)發(fā)生器一臺(tái)，中波掃頻儀一臺(tái)，雙通道示波器一臺(tái)，3個(gè)由電容、電感組成的選頻器，選頻器的諧振頻率與對(duì)應(yīng)的元件數(shù)值見表5-1。電容150pF47PpF18pF電感1.88mH0.67mH0.62mH諧振頻率300kHz900kHz1500kHz（2）實(shí)訓(xùn)電路與說明：實(shí)訓(xùn)電路如圖5-1所示。圖中T1、T2、T3是3個(gè)用調(diào)幅收音機(jī)中周改制的選頻器，可以通過調(diào)節(jié)電感磁心改變諧振頻率，它們可以將信號(hào)源中與其諧振頻率相等的頻率成分選取出來。3個(gè)選頻器與一電阻串連后接方波信號(hào)發(fā)生器。

3．實(shí)訓(xùn)步驟1）調(diào)試選頻器的諧振頻率（1）在沒有接入方波信號(hào)源的情況下，將中波掃頻儀的輸出探頭接在圖5-1電路中1，0兩端，掃頻儀的檢波輸入探頭接在電路中的2，0兩端。（2）調(diào)節(jié)掃頻儀的中心頻率，使屏幕上顯示3個(gè)選頻回路的諧振曲線。（3）依次調(diào)節(jié)3個(gè)選頻器的磁心，使屏幕上顯示的諧振曲線中心頻率分別為300kHz、900kHz、1500kHz。2）觀測(cè)方波信號(hào)包含的正弦頻率成分（1）按圖5-1將信號(hào)發(fā)生器接入電路輸入端，即1，0兩端。打開信號(hào)源，將信號(hào)選擇為方波輸出。用示波器的輸入探頭1接在信號(hào)源的輸出端，觀察信號(hào)源輸出波形。調(diào)節(jié)輸出頻率并用示波器進(jìn)行測(cè)量，使其頻率為300kHz，波形圖如圖5-2所示。（2）用另外一組示波器探頭，依次通過u1、u2和u3觀察并聯(lián)回路兩端的波形。調(diào)節(jié)選頻器磁心，觀測(cè)波形的變化，使之成為如圖5-3所示的正弦波。我要放大（3）用示波器測(cè)量每一個(gè)并聯(lián)回路兩端輸出波形的幅值及頻率?？梢园l(fā)現(xiàn)：①正弦波的幅值按照一定規(guī)律越來越小；②正弦波的頻率分別為：等于方波頻率、3倍方波頻率和5倍方波頻率。NEXT

4.實(shí)訓(xùn)結(jié)果的分析與討論（1）通過第2章的討論我們知道，電感與電容并聯(lián)可以發(fā)生諧振。而在我們所做的實(shí)訓(xùn)項(xiàng)目中，輸入信號(hào)是方波，但在每個(gè)并聯(lián)電路上得到的卻是不同頻率的正弦波，說明方波中含有正弦波的成分，而且在方波頻率點(diǎn)、3倍方波頻率點(diǎn)以及5倍方波頻率點(diǎn)上分別與3個(gè)LC并聯(lián)回路發(fā)生諧振。（2）通過測(cè)試并聯(lián)回路我們可以發(fā)現(xiàn)：每個(gè)正弦波的頻率與所加方波的頻率有關(guān)，回路1上所得到的正弦波頻率與方波的頻率相同，我們稱其為基波；回路2上所得到的正弦波頻率是方波頻率的3倍，稱為3次諧波，而回路3上所得到的正弦波頻率是方波頻率的5倍，稱為5次諧波。顯然，方波中還含有更多的正弦頻率成分，或者說，可以將方波分解成許多不同頻率的正弦波。5.1非正弦周期信號(hào)的產(chǎn)生及其傅立葉分解

5.1.1電路中產(chǎn)生非正弦信號(hào)的原因（1）當(dāng)電路中所加激勵(lì)為非正弦周期信號(hào)時(shí)，則電路中的響應(yīng)一般為非正弦的。例如，實(shí)驗(yàn)室中經(jīng)常使用的信號(hào)發(fā)生器，除產(chǎn)生正弦波信號(hào)以外，還可以產(chǎn)生周期性方波、鋸齒波等非正弦信號(hào)，如圖5-4所示。這些非正弦周期信號(hào)加到電路中以后，在電路中產(chǎn)生的電流一般也不是正弦波。我要放大NEXT（2）當(dāng)一個(gè)電路有幾個(gè)不同頻率的正弦（包括直流）激勵(lì)同時(shí)作用時(shí)，電路中的電流一般不會(huì)是正弦的。例如晶體管交流放大電路就屬于這種情形，其中直流電源提供的是直流電壓，設(shè)輸入信號(hào)為正弦電壓，則電路中的電流既不是直流，也不是正弦交流，而是非正弦周期電流。（3）如果電路中含有非線性元件，即使激勵(lì)是正弦的，其響應(yīng)也可能是非正弦周期函數(shù)。例如圖5-5所示整流電路中，加在輸入端的電壓是正弦波，但是由于二極管具有單向?qū)щ姷奶匦?，所以輸出電壓為非正弦的，如圖5-6所示，稱為半波整流電壓。圖5-5半波整流電路圖5-6半波整流電路的輸入輸出波形繼續(xù)5.1.2非正弦周期量的分解工程上遇到的各種周期函數(shù)f（t）總可以分解為如下的傅立葉級(jí)數(shù)：式中，第一項(xiàng)A0是不隨時(shí)間變化的常數(shù)，稱為f（t）的恒定分量或直流分量；傅立葉級(jí)數(shù)的第二項(xiàng)是一個(gè)正弦函數(shù)：A1msin（ωt+φ1），其幅值為A1m，初相位為φ1，角頻率為ω，Ｔ＝2π/ω是ｆ（ｔ）的周期，即該正弦函數(shù)的周期與被分解的周期函數(shù)相同，ω的系數(shù)為1，所以A1msin(ωt+φ1）被稱為一次諧波，也叫做基波；傅立葉級(jí)數(shù)的第三項(xiàng)A2ｍsin（2ωt+φ2）的頻率為基波頻率的二倍，故稱為二次諧波。以此類推，有三次諧波、四次諧波等等。除恒定分量和基波外，其余各項(xiàng)都可統(tǒng)稱為高次諧波。因此周期函數(shù)分解為傅立葉級(jí)數(shù)的方法也稱為諧波分析。電工中我們經(jīng)常遇到的各種非正弦周期信號(hào)，如方波、鋸齒波，三角波，以及二極管半波整流波形、二極管全波整流波形等等，均可以分解為傅立葉級(jí)數(shù)，表5-2中給出了一些典型周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式，可供進(jìn)行諧波分析時(shí)引用。序號(hào)的波形圖的傅立葉級(jí)數(shù)1序號(hào)的波形圖的傅立葉級(jí)數(shù)23序號(hào)的波形圖的傅立葉級(jí)數(shù)45點(diǎn)擊放大點(diǎn)擊放大序號(hào)的波形圖的傅立葉級(jí)數(shù)6點(diǎn)擊放大5.2非正弦周期信號(hào)的有效值、平均功率5.2.1非正弦周期信號(hào)的有效值

在2.1.1中我們?cè)赋觯喝魏沃芷诹康挠行е刀伎梢园凑辗骄颠M(jìn)行計(jì)算，即

(5.2)當(dāng)知道函數(shù)f（t）在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式，便可以直接代入上式來計(jì)算有效值。如果已知非正弦周期量的傅立葉級(jí)數(shù)分解結(jié)果，即已知周期量的恒定分量與各次諧波分量，則其有效值也可以根據(jù)各分量的量值求出。設(shè)非正弦周期函數(shù)f（t）的分解結(jié)果為式（5.1），將其代入（5.2）式，得(5.3)根據(jù)三角函數(shù)的正交性可以求得(5.4)式中二次諧波、…、ｋ次諧波的有效值，這是因?yàn)楦髦C波都是正弦量，其有效值等于振幅的。分別為基波、式（5.4）表明：任意周期函數(shù)的有效值等于它的恒定分量與各個(gè)諧波分量有效值的平方和的平方根。例5.1已知非正弦周期電流i=［1+0.707sin（ωt-20°）+0.42sin（2ωt+50°）］A，試求其有效值。

解給定電流中包括恒定分量和不同頻率的正弦量，并且已知各正弦量的振幅，所以周期電流的有效值應(yīng)為例5.2求圖5-7所示電壓的有效值和平均值。點(diǎn)擊放大解因?yàn)樗杂行е禐槠骄禐?.2.2非正弦周期量的平均功率由2.3.2已知，如果任意一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓為u，電流為i，則其瞬時(shí)功率為p=ui

如果u與i是同頻率的非正弦周期量，其平均功率就是瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，即

已知電壓u和電流i的函數(shù)表達(dá)式，就可以把它們直接代入（5.5）式計(jì)算平均功率。如果電壓u與電流i已被分解成傅立葉級(jí)數(shù)，即將（5.6）、（5.7）代入（5.5）式，可以求得這就是說，非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量和各次諧波分別產(chǎn)生的平均功率之和。只有同頻率的電壓與電流才能形成平均功率。例5.3已知某無源二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓及電流分別為求二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率。解根據(jù)式(5.8)可得為便于分析和計(jì)算,通?？梢愿鶕?jù)保持平均功率不變的原則,將非正弦周期電壓和電流用等效正弦電壓和電流來替代。等效的條件是:（1）等效正弦量的有效值應(yīng)等于已知非正弦周期量的有效值；（2）等效正弦量的頻率應(yīng)等于非正弦周期量的頻率；（3）等效正弦量代替非正弦周期電壓和電流后，其功率必須等于電路的實(shí)際功率。根據(jù)條件（1）及（2）首先確定各等效正弦量的頻率和振幅（或有效值），再根據(jù)條件（3）即可確定等效正弦量的第三個(gè)要素——初相位，其表達(dá)式如下：式中P是非正弦周期電流電路的平均功率，U和I是非正弦周期電壓和電流的有效值。例5.4鐵心線圈是一種非線性元件，因此將其接在正弦電壓上，它所取電流是非正弦周期電流。設(shè)加在鐵心線圈上的正弦電壓為u=311sin314tV，其中電流為i=0.8sin(314t-85°)+0.25sin(942t-105°)A，不是正弦量。試求等效正弦電流。

解等效正弦電流的有效值等于非正弦周期電流的有效值，即平均功率為等效正弦電流與正弦電壓之間的相位差為則等效正弦電流為

5.3非正弦周期電流的線性電路計(jì)算

在5.1.2中已經(jīng)介紹過，非正弦周期電壓u（或電流i）可以分解成傅立葉級(jí)數(shù)當(dāng)一個(gè)非正弦周期信號(hào)作用在如圖5-8（a）所示的電路中，那么它的作用就和一個(gè)直流電壓及一系列不同頻率的正弦電壓串聯(lián)起來共同作用在電路中的情況一樣，如圖5-8（b）所示。點(diǎn)擊放大…這樣的電源接在線性電路中所引起的電流，可以用疊加定理來計(jì)算，即分別計(jì)算電壓的恒定分量U0和各次諧波分量u1,u2,…單獨(dú)存在時(shí)，在某支路中產(chǎn)生的電流分量I0,i1,i2,…，而后把它們加起來，其和就是該支路的電流，即(5.10)式中I0=0（因?yàn)橛须娙荩?因此，非正弦周期電流的線性電路的計(jì)算可歸結(jié)為下列3個(gè)步驟：（1）非正弦周期電源電壓（或電流）分解成傅立葉級(jí)數(shù)，其結(jié)果可看作由恒定分量和各次正弦諧波分量串聯(lián)的結(jié)果。（2）分別計(jì)算電路在上述恒定分量及各次諧波分量單獨(dú)作用下的響應(yīng)。求恒定分量的響應(yīng)與計(jì)算直流電路的方法一樣，同時(shí)電容應(yīng)視為開路，電感應(yīng)視為短路；求各次諧波分量的響應(yīng)，則要計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)的電抗值。電感L對(duì)基波（角頻率為ω）的電感電抗為XL1=ωL，而對(duì)k次諧波的電感電抗則為就是說，同一電感L對(duì)k次諧波所表現(xiàn)出的感抗，是對(duì)基波所表現(xiàn)出的感抗的k倍。因此電流頻率越高，越不容易通過電感電路。電容C對(duì)基波的電容電抗為XC1=1/ωC，而對(duì)k次諧波的電容電抗則為(5.12)就是說，同一電容對(duì)k次諧波所表現(xiàn)出的容抗，僅為對(duì)基波所表現(xiàn)出的容抗的1/k，因此諧波電流的頻率越高，越容易通過電容電路。（3）根據(jù)疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應(yīng)進(jìn)行疊加。在第二步通常利用相量法計(jì)算各諧波分量的響應(yīng)。疊加時(shí)應(yīng)將相量化為瞬時(shí)值，然后再將瞬時(shí)值疊加起來。因?yàn)閷儆诟髦C波分量的相量是代表不同頻率的正弦量，切不可將所求出的相量直接疊加。如電路中存在電感、電容等動(dòng)態(tài)元件，它們對(duì)不同次的諧波呈現(xiàn)的電抗不同，各元件上電壓電流中各諧波分量的比例并不相同，合成的波形一般是不相同的。

例5.5設(shè)圖5-9（a）所示電路中（1）求電流源的端電壓及有效值；（2）求電流源發(fā)出的平均功率。點(diǎn)擊放大解首先考慮直流成分的作用。將電感短路，電容開路，作直流電路模型如圖（b）所示。電流源端電壓中直流分量為 U0=（10+2×2）=14V再令頻率為ω的正弦電源作用，電路的相量模型如圖（c）所示。用節(jié)點(diǎn)法求電流源端電壓相量：化簡(jiǎn)得解得電流源的端電壓極其有效值分別為電流源發(fā)出的平均功率為

例5.6圖5-10（a）中的LC構(gòu)成了濾波電路，其中L=5H，C=10μF，設(shè)其輸入為如圖（b）所示的正弦全波整流電壓，電壓振幅Um=150V，整流前的工頻正弦電壓角頻率為100πrad/s，負(fù)載電阻R=2000Ω。求電感電流i和負(fù)載端電壓uCD。解（1）從表5-1查出正弦全波整流電壓的傅立葉級(jí)數(shù)為代入數(shù)據(jù)，且將各正弦量前方負(fù)號(hào)變?yōu)檎?hào)得（2）分別計(jì)算電源電壓的恒定分量和各次諧波引起的響應(yīng)。(ａ)恒定電壓作用時(shí)電感相當(dāng)于短路,電容相當(dāng)于開路,故(ｂ)計(jì)算基波電壓的作用。全波整流的波形與正弦波相比，周期減半，頻率加倍，故整流波形的基波角頻率應(yīng)為ω＝2×100πrad/s。RC并聯(lián)電路的阻抗為AB端口的輸入阻抗(ｃ)計(jì)算二次諧波電壓的作用。計(jì)算方法同上，而角頻率加倍?？梢娯?fù)載電壓中二次諧波有效值僅占恒定電壓的0.113/95.5=0.12%，二次以上各諧波所占的百分比更小，所以不必計(jì)算更高次諧波的影響。（3）把向量變換為瞬時(shí)表達(dá)式，再將恒定分量與各諧波分量相疊加。負(fù)載電壓的有效值為負(fù)載電壓uCD中最大的諧波，即基波有效值僅占恒定分量的2.5%，表明這個(gè)LC電路具有濾除各諧波分量的作用，故稱為濾波電路或?yàn)V波器。其中電感L起抑止高頻交流的作用，常稱為扼流圈,并聯(lián)電容C起減小負(fù)載電阻上交流電壓的作用，常稱為旁路電容。習(xí)題與思考題51.試求題圖5-1所示波形的平均值及有效值。2.一電容元件，C=100μF，在其兩端加一如題圖5-2所示的周期三角波，（1）求電流i；（2）作出i的波形；（3）計(jì)算i的平均值及有效值。3.求題圖5-3所示波形在兩種情況下的的平均值和有效值：（1）θ=30°；（2）θ=150°。4.求下列非正弦周期電壓的有效值：（1）

u1（t）是振幅為10V的鋸齒波；（2）5.把題５.４中的u1（t）和u2（t）分別加在兩個(gè)5Ω的