應用數理統(tǒng)計Chapter2

1第二章抽樣分布及若干準備知識§2.1引言§2.2正態(tài)總體樣本均值和樣本方差的分布§2.3次序統(tǒng)計量的分布§2.4§2.5統(tǒng)計量的極限分布§2.7充分統(tǒng)計量2極限分布:精確分布:

在研究數理統(tǒng)計的問題時，往往需要知道所討論的統(tǒng)計量的分布.

從理論上而言,只要知道了總體X的分布,統(tǒng)計量的分布即可求出,但實際操作起來并不容易.

何謂抽樣分布?統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.§2.1引言抽樣分布正態(tài)總體樣本均值和樣本方差的分布，樣本容量足夠大時,作為精確分布的近似3§2.2正態(tài)總體均值和樣本方差的分布

性質：樣本均值與樣本方差的無偏性證明:(ii)4§2.2.1正態(tài)變量線性函數的分布定理2.2.1正態(tài)分布5推論1推論26定理2.2.2i.i.d.N(0,σ2)r.v.經過正交變換仍為i.i.d.N(0,σ2)r.v.7證明:8§2.2.2正態(tài)變量樣本均值和樣本方差的分布設X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理2.2.3★9證明:1011注：12§2.3次序統(tǒng)計量的分布§2.3.1單個次序統(tǒng)計量的分布證明:定理13

14練習

設總體密度函數為

p(x)=3x2,0

x1.

從該總體抽得一個容量為5的樣本，試計算

P(x(2)1/2)。15

大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設的，以標準正態(tài)變量為基石而構造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數有明顯表達式，它們被稱為統(tǒng)計中的“三大抽樣分布”。16定義:

設，則隨機變量

服從自由度為

n

的分布，記為§2.4三大抽樣分布：§2.4.1分布分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.定理2.4.1(證明略)17其中伽瑪函數為

隨著n的增大,密度曲線逐漸趨于平緩,對稱.18當隨機變量

2

2(n)時，對給定

(0

1)，稱滿足P(

2

2(n)=

的

2(n)是自由度為n的卡方分布的下側

分位數.分位數

2(n)可以從附表中查到。19

證明:分布的可加性證明:2021定義:

設X～N(0,1),Y～，且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布，記為t~tn.§2.4.2t分布定理2.4.2Gosset1908年以筆名student提出22-3-2-11230.10.20.30.4n=1n=20厚尾分布

23分位數設t～t(n)，若對0<

<1,存在t

(n)>0，滿足

P{t

t

(n)}=

則稱t

(n)為

t(n)的下側

分位數.24

25服從自由度為m和n

的F分布，記作注:§2.4.3F分布定義:定理2.4.326m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1027

上側分位數3.9;3.2228

F—分布的分位數

對于

0<

<1，若存在F

(m,n)>0滿足

P{F

F

(m,n)}=

，則稱F

(m,n)為F(m,n)的下側

分位數29即它的數學期望并不依賴于第一自由度m.

30§2.4.4幾個重要結論推論1推論2推論331

例題例1解32例2解3334課堂練習35解136解2373.

設r.v.X與Y相互獨立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

與Y1,Y2,…,Y16

分別是取自X與Y的簡單隨機樣本,求統(tǒng)計量所服從的分布.解38從而394

設總體

的樣本,為總體

X

試確定常數c,

使cY服從分布.解故因此4041證明：故，且

與獨立,所以426、設X1,X2,…,X2n

是來