等比數(shù)列的通項及性質(zhì)5大題型總結(jié)（原卷版）

等比數(shù)列的通項及性質(zhì)5大題型總結(jié)【考點預(yù)測】【考點預(yù)測】一．等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．二．等比數(shù)列的通項公式（1）等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式： 三．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項的推廣．若時，則，特別地，當時，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．當或時，為遞增數(shù)列；當或時，為遞減數(shù)列．（4）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（5）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（6）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．【題型目錄】題型一：等比數(shù)列的通項公式基本運算題型二：等比中項問題題型三：等比數(shù)列通項下標的性質(zhì)及應(yīng)用題型四：等比數(shù)列的單調(diào)性題型五：等比數(shù)列通項新文化試題【典型例題】題型一：等比數(shù)列的通項公式基本運算【例1】（2023·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高三階段練習）等比數(shù)列中，，．則的公比q為（

）A．2 B．2或 C． D．3【例2】（2023·陜西·安康市教學研究室二模（理））在數(shù)列中，，且，則（

）A． B． C． D．【例3】（2023·廣東汕頭·高三階段練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【例4】（2023·甘肅·永昌縣第一高級中學高三階段練習（理））若數(shù)列滿足，則稱為“對奇數(shù)列”．已知正項數(shù)列為“對奇數(shù)列”，且，則（

）A． B． C． D．【例5】（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，數(shù)列滿足，，，則數(shù)列前n項和的最大值等于（

）A．126 B．130 C．132 D．134【例6】（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【例7】（2022·北京西城·高二期末）在等比數(shù)列{}中，．記，則數(shù)列{}（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【例8】（2022·福建省龍巖第一中學高二階段練習）在正項等比數(shù)列中，若存在兩項，使得，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例9】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．【例10】（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則______．【題型專練】1．（2022·安徽省皖西中學高二期末）已知等比數(shù)列的公比，則（

）A． B． C． D．32．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．32 D．483．（2022·福建省寧德第一中學高二階段練習）在等比數(shù)列中，若，，則（

）A．6 B． C． D．4．（2022·四川·射洪中學高二開學考試）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．18 B．24 C．30 D．425．（2022·山東泰安·三模）已知數(shù)列滿足：對任意的m，，都有，且，則（

）A． B． C． D．6．（2022·安徽省宣城市第二中學高二期末）已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，存在兩項，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．7.（2022·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)等比數(shù)列滿足.則通項公式________．9．（2022·福建省寧德第一中學高二階段練習）在正項等比數(shù)列中，，，則通項公式________．10．（2022·河南省葉縣高級中學模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______.11．（2022·浙江省淳安中學高三開學考試）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.則數(shù)列___________.12．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比，則__________．13．（2021·四川成都·高一期末）已知數(shù)列滿足則___.14．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列滿足，則___________.15．（2022·全國·高二課時練習）在等比數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若、分別為等差數(shù)列的第3項和第5項，問是不是數(shù)列中的項？若是，求出是第幾項；若不是，說明理由，題型二：等比中項問題【例1】（2022·上海·華師大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中項”的（

）條件A．既不充分也不必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．充要【例2】（2022·海南·高二期末）和的等差中項與等比中項分別為（

）A．， B．2， C．， D．1，【例3】（2021·寧夏六盤山高級中學高二階段練習（理））若四個正數(shù)成等差數(shù)列，是和的等差中項，是和的等比中項，則和的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【例4】（2022·全國·高二課時練習）若不為1的正數(shù)a，b，c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當時，，，（

）．A．依次成等差數(shù)列 B．依次成等比數(shù)列C．各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列 D．各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列中，，則和的等比中項為________．2．（2022·全國·高二課時練習）方程兩根的等比中項是______．3．（2022·全國·高二課時練習）若依次成等差數(shù)列的三個實數(shù)a，b，c之和為12，而a，b，又依次成等比數(shù)列，則a＝______．4.（2022·全國·高三專題練習）在3和9之間插入兩個正數(shù)后，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個正數(shù)之和為（

）A． B． C． D．10題型三：等比數(shù)列通項下標的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（2022·廣東·汕頭市達濠華僑中學高三階段練習）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則等于（

）A． B．1011C． D．1012【例2】（2022·陜西西安·三模（文））已知為等比數(shù)列，，，則（

）A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8【例3】（2022·全國·高二課時練習）設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．【例4】（2022·山東菏澤·一模）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)n為（

）A．36 B．35 C．34 D．33【例5】（2022·湖北·天門市教育科學研究院高二期末）已知等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整數(shù)的值為4042【例6】（2021·江蘇·高二專題練習）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列滿足，且，則（

）A．16 B．32 C．64 D．128【例7】（2022·全國·高二課時練習）兩個公比均不為的等比數(shù)列，其前項的乘積分別為，若，則()A．512 B．32 C．8 D．2【例8】（2022陜西省商丹高新學校高二期中（文））已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是（

）A． B． C． D．【例9】（2023·全國·高三專題練習多選題）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當時，最小C．當時，最小 D．存在，使得【例10】（2022·湖南懷化·一模多選題）設(shè)是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項的積，且，則下列選項中成立的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值【題型專練】1．（2022·安徽省蚌埠第三中學高二開學考試）已知為等比數(shù)列，，則（

）A．1或8 B．或8C．1或 D．或

2．（2021·江蘇·高二專題練習）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．163．（2022·四川省廣漢中學高一階段練習（理））已知遞增等比數(shù)列，，，，則（

）A．8 B．16 C．32 D．644．（2021·貴州師大附中高一階段練習）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．5 B．7 C．－5 D．－75．（2022·全國·高二課時練習）在正項等比數(shù)列中，若，，則公比（

）A． B．或 C． D．或6．（2022·全國·高二課時練習）正項等比數(shù)列中，，且與的等差中項為，則的公比是（

）A．B．C．D．7．（2018·江西省信豐中學高二階段練習）等比數(shù)列滿足且，則當時，（

）A． B． C． D．8．（2021·江西·模擬預(yù)測（理））在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．25 B． C．5 D．9．（2022·全國·高二課時練習多選題）在等比數(shù)列中，，，則可能為（

）A． B． C． D．10．（2022·遼寧·沈陽二中高二階段練習多選題）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項和為，若，，則（

）A．B．C．D．11．（2022·湖北襄陽·高三階段練習多選題）在正項等比數(shù)列中，，則（

）A． B．的最小值為1C． D．的最大值為412．（2022·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列中，，，則______．13．（2022·四川省通江中學高二期中（文））若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則___________.14．（2022·全國·高二課時練習）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是__．15．（2021·福建省福州格致中學高三階段練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且______．16．（2021·遼寧沈陽·高三階段練習）在正項等比數(shù)列中，若，則___________.17．（2021·福建·莆田華僑中學高三階段練習）等比數(shù)列中，且，則_______18．（2021·全國·高二）已知數(shù)列滿足，且，則________.題型四：等比數(shù)列的單調(diào)性【例1】（2022·上海·華師大二附中高三開學考試）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【例2】（2022·遼寧·東北育才學校高二期中）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則為遞增數(shù)列的充要條件是（

）A．， B．，C． D．【例3】（2022·全國·高二課時練習多選題）關(guān)于遞增等比數(shù)列，下列說法正確的是（

）．A．當時， B．當時，C．當時， D．【例4】（2022·全國·高二課時練習多選題）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，數(shù)列的前n項積為，則（）A．數(shù)列單調(diào)遞增 B．數(shù)列單調(diào)遞減C．的最大值為 D．的最小值為【例5】（2022·天津·一模）在等比數(shù)列中，公比是，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型專練】1．（2022·全國·高二課時練習）等比數(shù)列中，首項，則數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列的條件是公比滿足（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列，下列選項能判斷為遞增數(shù)列的是(

)A．， B．，C．， D．，3．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（理））已知等比數(shù)列的公比為q．若為遞增數(shù)列且，則（

）A． B． C． D．4．（2021·江蘇·高二專題練習）等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．（2021·江蘇·高二課時練習）等比數(shù)列滿足如下條件：①；②數(shù)列單調(diào)遞增，試寫出滿足上述所有條件的一個數(shù)列的通項公式________.題型五：等比數(shù)列通項新文化試題【例1】（2022·全國·高三專題練習）已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只【例2】（2022·湖南岳陽·高二期末）十九世紀下半葉，集合論的創(chuàng)立奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間［0，1］平均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別平均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…；如此這樣．每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別平均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，若去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【題型專練】1.（2022·北京八十中模擬預(yù)測）數(shù)學源于生活，數(shù)學在生活中無處不在!學習數(shù)學就是要學會用數(shù)學的眼光看現(xiàn)實世界!1906年瑞典數(shù)學家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個邊長為2的正三角形開始，把每條邊