二面角平面角分析的論文

Word第第頁二面角平面角分析的論文α、β是由動身的兩個半平面,O是l上任意一點，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如以下特征：

〔１〕過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

〔２〕其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，若在OC上任取上一點A，作AB⊥OD于B,則由特征〔２〕知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關(guān)系，便得到另一特征；

〔３〕：表達(dá)出三垂線定理〔或逆定理〕的環(huán)境背景。

2二面角的平面角的特征剖析

由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點”或“定線〔面〕”的問題。

特征〔１〕說明：其平面角的定位可先在棱上取一“點”，但這點必需與問題背景互相溝通，給計算供應(yīng)便利。

特征〔２〕指出：假如二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ與α、β的交線，則交線所成的角即為α-l-β的平面角，：

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。

特征〔３〕顯示：假如二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，由Ｂ作OB⊥l于Ｏ，連OA，由三垂線定理可知OA⊥l；或由Ａ作OA⊥l于Ｏ，連OB。由三垂線逆定理可知OB⊥l。此時，∠AOB即為二面角α-l-β的.平面角。

由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

以上三個特征供應(yīng)的思路在解決詳細(xì)問題時各具特色，其目標(biāo)是分別找“點”、“垂面”、“垂線段”。事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而至．把握這種關(guān)系對提高解題技能和培育空間想象力特別重要。

3二面角的平面角的定位分析

［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD邊CD的中點，且，CD=２，BC=１，現(xiàn)沿AE將△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C兩點的距離相等，求二面角D′-BC-A的大小。

解析：取AE中點P，BC中點Q．則可得PQ⊥BC，又由D′B=D′C，得D′Q⊥BC，

∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。

經(jīng)計算得：∠D′QP＝23

找“點”，由定義確定二面角的平面角。

［例２］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線AC把△ABC折起，使點B在平面ADC內(nèi)的射影B′恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。

解析：這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后“變”與“不變”。

在平面圖形中過Ｂ作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，則折疊后OB、OE與AC的垂直關(guān)系不變．但OB與OE此時變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱AC垂直。由特征〔２〕知，面BOE與面BAC、面DAC的交線OB與OE所成的角∠BOE，即為所求二面角的平面角。

另外，點B在面DAC上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在AD上,所以E點就是B′點，這樣的定位給下面的定量供應(yīng)了便捷條件。

經(jīng)計算：OB=AB·BCAC=3×45=125，AO=AB2AC=95，OE=AO·CDAD=2720，

在Rt△BEO中，設(shè)∠BOE＝θ，則cosθ=OEOB=916，

∵0°＜θ＜180°，∴θ=arccos916，

即所求二面角B-AC-D為arccos916，

通過對［例2］的定性分析、定位作圖和定量計算，由特征〔２〕從另一角度告知我們：要確定二面角的平面角，可以把構(gòu)成二面角的兩個半平面“擺平”，依題目條件，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角?！捌矫鎴D形”與“立體圖形”相呼映，不僅便于定性、定位，更利于定量。

由“垂線段”定位二面角的平面角。

［例3］：已知二面角α-a-β為，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ點到a的距離。

解析：過PA、PB作平面γ，分別與α、β交于AO、BO，

由PA⊥α，a雞粒知PA⊥a，又由PB⊥β，a雞攏知PB⊥a，因此，a⊥平面γ，

∵AO跡珺O跡∴a⊥AO，a⊥BO，

∴∠AOB為二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，

連PO，由PO跡得a⊥PO．∴PO的長為P點到a的距離。

經(jīng)計算：AO＝43〔cm〕，PO＝PA2+AO2=82+〔43〕2=47〔cm〕．

由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

［例４］：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為2，E為BC的中點．求面B′D′E與面BB′C′C所成的二面角的大小。

解析：面B′D′E與面BB′C′C構(gòu)成兩個二面角，由特征〔２〕知，這兩個二面角的大小必定互補(bǔ)．通過特征〔３〕,我們只須由C′(或D′)作B′E的垂線交B′E于H，然后連結(jié)HD′(或HC′),即得面B′D′E與面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂線定理)。

經(jīng)計算可得：Ｈ′C′＝455，在Rt△D′C′Ｈ中，∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′=52，

故所求的二面角角為arctan52或π-arctan52．

二面角的三個特征，雖然客觀存在，相互聯(lián)系，但在很多問題中卻很難通過直觀圖反映出來，這就需要我們培育良好的空間思維想象力量，正確定位。

［例５］：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，Ｅ是CC1的中點，求截面AD1E與底面ABCD所成角的正切值。

解析：圖中截面AD1E與底面ABCD只給出一個公共點，沒有直接反映出二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個公共點．通過補(bǔ)形作出棱，進(jìn)而再求二面角的大小。

延長DC、D1E交于F，連AF，得截面AD1E與底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，過C作CH⊥AF于H，連EH，

∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF〔三垂線定理〕

∴∠EHC即為所求截面AD1E與底面ABCD所成二面角的平面角．

可設(shè)正方體棱長為a，經(jīng)計算得：EC＝CG＝a2，CF＝a，GF＝52a，CH＝，55a

∴tan∠EHC＝ECCH=52，

即所求二面角的正切值為52．

［另］：△D1FＡ在底面ABCD的射影是△DＦA，

S△DFA=12DF×DA=a2，又D1A＝2，S△D1FA=12D1A×322a=32a2，

由射影面積法，所求角〔記為θ〕的余弦值為cosθ=S△DFAS△D1FA=23，

則所求二面角的正切值為52。

［另］：還可用向量法求二面角的平面角。

定位是為了定量，二面角的計算是通過其平面角所在的三角形計算而得．而作平面角也是由其基本定義動身，在棱上找一點，在半平