2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　排列、排列數(shù)與排列數(shù)公式 學(xué)案

§2排列問(wèn)題2.1排列與排列數(shù)2.2排列數(shù)公式第一課時(shí)排列、排列數(shù)與排列數(shù)公式課標(biāo)要求1.通過(guò)實(shí)例理解排列的概念，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法.2.能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.素養(yǎng)要求通過(guò)學(xué)習(xí)排列的概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).一、排列與排列數(shù)1.思考從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？提示2.填空排列及排列問(wèn)題(1)排列：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.(2)排列數(shù)：我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作Aeq\o\al(m,n).(3)排列問(wèn)題：把有關(guān)求排列的個(gè)數(shù)的問(wèn)題叫作排列問(wèn)題.溫馨提醒(1)要求m≤n.(2)按照一定順序排列，順序不同，排列不同.(3)m＝n時(shí)叫全排列.3.做一做(1)判斷正誤①在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化.(×)提示在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列與原來(lái)的排列不同.②在一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).(√)③從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列.(×)提示從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，才能組成一個(gè)排列.④從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽的所有不同的選法是一個(gè)排列問(wèn)題.(√)(2)從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙答案C解析選出兩人，兩人的不同順序都要考慮.二、排列數(shù)公式1.思考北京、廣州、南京、武漢4個(gè)城市相互通航，請(qǐng)用列舉法和排列數(shù)分別寫出所有機(jī)票的種數(shù)？你能得到什么結(jié)論？提示列舉法共4×3＝12種，排列數(shù)為Aeq\o\al(2,4)；結(jié)論Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12.2.思考類比上述計(jì)算方法，如何計(jì)算Aeq\o\al(2,n)呢？提示Aeq\o\al(2,n)是指從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，相當(dāng)于從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素放入eq\x(1)eq\x(2)方格中，第1個(gè)方格中有從n個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有n種方法；第2個(gè)方格中從余下的n－1個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有n－1種方法，所以Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1).3.思考類比上述方法怎樣推導(dǎo)從n個(gè)不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)個(gè)元素的排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)？提示我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素的排列，看成從n個(gè)不同的球中取出m個(gè)球，放入排好的m個(gè)盒子中，每個(gè)盒子里放一個(gè)球，我們根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理排列這些球：第1步，從全體n個(gè)球中任選一個(gè)放入第1個(gè)盒子，有n種方法；第2步，從剩下的(n－1)個(gè)球中任選一個(gè)放入第2個(gè)盒子，有(n－1)種方法；第3步，從剩下的(n－2)個(gè)球中任選一個(gè)放入第3個(gè)盒子，有(n－2)種方法；……第m步，從剩下的[n－(m－1)]個(gè)球中任選一個(gè)放入第m個(gè)盒子，有[n－(m－1)]種方法，如表所示.盒子123…m方法數(shù)nn－1n－2…n－(m－1)因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從n個(gè)不同的球中取出m個(gè)球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]種方法.4.填空排列數(shù)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]；(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)；(3)Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫作n的階乘)；Aeq\o\al(0,n)＝1；0?。?.溫馨提醒(1)乘積是m個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積；(2)第一個(gè)數(shù)最大，是A的下標(biāo)n；(3)第m個(gè)數(shù)最小，是n－m＋1.5.做一做(1)Aeq\o\al(3,9)等于()A.9×3 B.93C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3答案C解析根據(jù)排列數(shù)公式可知Aeq\o\al(3,9)＝9×8×7，故選C.(2)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了__________條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答).答案1560解析根據(jù)題意，得Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560，故全班共寫了1560條畢業(yè)留言.題型一排列的概念例1判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題.(1)北京南站、上海虹橋站、天津南站三個(gè)高鐵站之間的的高鐵票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹(shù)和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話.解(1)中票價(jià)只有三種，雖然高鐵票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)題，所以不是排列問(wèn)題.(2)植樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.(3)，(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題.(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)與當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題.所以(2)，(5)，(6)屬于排列問(wèn)題.思維升華判斷一個(gè)問(wèn)題是否為排列問(wèn)題，主要從“取”與“排”兩方面考慮(1)“取”指檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否重復(fù)；(2)“排”指檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否有順序，其判斷標(biāo)準(zhǔn)是，交換兩個(gè)位置看其結(jié)果是否有變化，有變化就是有順序，無(wú)變化就是無(wú)順序.訓(xùn)練1下列問(wèn)題是排列問(wèn)題嗎？(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能？(2)從1，2，3，5四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其結(jié)果有多少種不同的可能？(3)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排3位客人入座，又有多少種方法？解(1)不是；(2)是；(3)第一問(wèn)不是，第二問(wèn)是.理由：由于加法運(yùn)算滿足交換律，所以選出的兩個(gè)元素做加法求結(jié)果時(shí)，與兩個(gè)元素的位置無(wú)關(guān)，但列除法算式時(shí)，兩個(gè)元素誰(shuí)作除數(shù)，誰(shuí)作被除數(shù)不一樣，此時(shí)與位置有關(guān).選出3個(gè)座位與順序無(wú)關(guān)，“入座”問(wèn)題同“排隊(duì)”，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排3位客人入座是排列問(wèn)題.題型二樹(shù)狀圖法寫排列例2四個(gè)人A，B，C，D坐成一排照相有多少種坐法？將它們一一列出來(lái).解先安排A有4種坐法，安排B有3種坐法，安排C有2種坐法，安排D有1種坐法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，有4×3×2×1＝24(種).畫出樹(shù)狀圖.由“樹(shù)狀圖”可知，所有坐法為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.遷移對(duì)本例，若加上限制條件：D不能在“排頭”(即每個(gè)排列的最左端不是D)，這樣的排列有幾個(gè)？解由例2的樹(shù)狀圖可知這樣的排列共有24－6＝18(個(gè)).思維升華利用“樹(shù)狀圖”法解決簡(jiǎn)單排列問(wèn)題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹(shù)狀圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問(wèn)題時(shí)，是一種比較有效直觀的表示方式.(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹(shù)狀圖寫出所有排列.訓(xùn)練2(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？(2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列.解(1)由題意作“樹(shù)狀圖”，如下.故組成的所有兩位數(shù)為12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12個(gè).(2)由題意作“樹(shù)狀圖”，如下.故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.題型三排列數(shù)公式例3(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且，n<55)；(2)計(jì)算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9)).(3)證明：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).(1)解因?yàn)?5－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個(gè))元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)解eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)證明因?yàn)锳eq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).思維升華排列數(shù)公式的形式及選用依據(jù)排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計(jì)算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進(jìn)行計(jì)算，而要對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證時(shí)，一般用階乘式.訓(xùn)練3不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A.[2，8] B.[2，6]C.(7，12) D.{8}答案D解析由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化簡(jiǎn)得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N＋，得x＝8.題型四排列數(shù)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”.現(xiàn)從2，3，4，5，6，9這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有()A.120個(gè) B.80個(gè)C.40個(gè) D.20個(gè)答案C解析由題意知可按十位數(shù)字的取值進(jìn)行分類：第一類，十位數(shù)字取9，有Aeq\o\al(2,5)個(gè)；第二類，十位數(shù)字取6，有Aeq\o\al(2,4)個(gè)；第三類，十位數(shù)字取5，有Aeq\o\al(2,3)個(gè)；第四類，十位數(shù)字取4，有Aeq\o\al(2,2)個(gè).故“傘數(shù)”的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝40.思維升華對(duì)于簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題可直接代入排列數(shù)公式，也可以用樹(shù)形圖法.情況較多的情形，可以分類后進(jìn)行.訓(xùn)練4(1)要從a，b，c，d，e5個(gè)人中選出1名組長(zhǎng)和1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，則不同的選法種數(shù)是()A.20 B.16C.10 D.6答案B解析不考慮限制條件有Aeq\o\al(2,5)種選法，若a當(dāng)副組長(zhǎng)，有Aeq\o\al(1,4)種選法，故a不當(dāng)副組長(zhǎng)，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16(種)選法.(2)北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)是一座跨地域、超大型的國(guó)際航空綜合交通樞紐，目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東跑道、北跑道，如圖.若有2架飛往不同目的地的飛機(jī)要從以上不同的兩條跑道同時(shí)起飛，有________種不同的安排方法.答案12解析若有2架飛往不同目的地的飛機(jī)要從西一跑道、西二跑道、東跑道、北跑道中的兩條跑道同時(shí)起飛，則有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)不同的安排方法.[課堂小結(jié)]1.牢記兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：(1)排列與排列數(shù)；(2)排列數(shù)公式及其應(yīng)用.2.掌握兩種方法：樹(shù)狀圖列舉法，間接法.3.辨清兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)忽視排列與順序有關(guān)；(2)忽視Aeq\o\al(m,n)中，m，n∈N＋且m≤n這個(gè)條件.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(多選)從1，5，7，9四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做以下數(shù)學(xué)運(yùn)算，并分別計(jì)算它們的結(jié)果.在這些問(wèn)題中，相應(yīng)運(yùn)算可以看作排列問(wèn)題的有()A.加法 B.減法C.乘法 D.除法答案BD解析因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無(wú)關(guān)，故不是排列問(wèn)題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問(wèn)題，故選BD.2.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為()A.6 B.4C.8 D.10答案B解析列樹(shù)狀圖如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4種排列方法.3.有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，每天安排一名同學(xué)，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有()A.12種 B.24種C.48種 D.120種答案B解析因?yàn)橥瑢W(xué)甲只能在周一值日，所以除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，所以5名同學(xué)值日順序的編排方案共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種).故選B.4.(多選)下列各式中，等于n！的是()A.Aeq\o\al(n－1,n) B.Aeq\o\al(n,n＋1)C.nAeq\o\al(n－1,n－1) D.nAeq\o\al(n－1,n)答案AC解析Aeq\o\al(n－1,n)＝eq\f(n！,（n－n＋1）！)＝＝n！，A正確；Aeq\o\al(n,n＋1)＝(n＋1)！，B錯(cuò)誤；nAeq\o\al(n－1,n－1)＝n·(n－1)！＝n！，C正確；nAeq\o\al(n－1,n)＝n·n·(n－1)…2≠n！，D錯(cuò)誤；故選AC.5.六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A.192種 B.216種C.240種 D.288種答案B解析根據(jù)甲、乙的位置要求分為兩類，第一類：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)方法；第二類：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)方法.所以共有120＋96＝216(種)方法.6.滿足不等式eq\f(Aeq\o\al(7,n),Aeq\o\al(5,n))>12的n的最小值為_(kāi)_______.答案10解析由排列數(shù)公式得eq\f(n?。╪－5）！,（n－7）！n！)>12.即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，且n∈N＋，所以nmin＝10.7.現(xiàn)從8名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全?！百Y源”“生態(tài)”和“環(huán)保”三個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，則不同的選派方案的種數(shù)是 ________.答案336解析從8名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)排列的種數(shù)為Aeq\o\al(3,8)＝8×7×6＝336，故共有336種不同的選派方案.8.某中學(xué)高二年級(jí)共16個(gè)班級(jí)，教室均分在1號(hào)樓的一至四層，學(xué)生自管會(huì)現(xiàn)將來(lái)自不同樓層的4個(gè)學(xué)生分配到各樓層執(zhí)行管理工作，要求每個(gè)學(xué)生均不管理自己班級(jí)所在的樓層，則共有________種不同的安排方法.答案9解析由題意，第一層的同學(xué)不能管理第一層，有3種安排方法，假設(shè)第一層的同學(xué)管理第二層，則第二層的同學(xué)此時(shí)有3種安排方法，剩下的兩名同學(xué)只有1種安排方法，所以每個(gè)學(xué)生均不管理自己班級(jí)所在樓層的安排方法有3×3×1＝9種.9.京滬高速鐵路由北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長(zhǎng)1318公里，途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市，設(shè)立包括北京南、天津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站，計(jì)算鐵路部門要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備多少種不同的火車票？解對(duì)于兩個(gè)火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因?yàn)槊繌埰睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站，因此，結(jié)果應(yīng)為從21個(gè)不同元素中，每次取出2個(gè)不同元素的排列的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(2,21)＝21×20＝420.所以一共需要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備420種不同的火車票.10.從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù).(1)能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù).(2)若組成的這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)，并寫出這些三位數(shù).解(1)組成三位數(shù)分三個(gè)步驟：第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個(gè)位上的數(shù)字，有2種不同的排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有3×3×2＝18(個(gè))不同的三位數(shù).畫出樹(shù)形圖：由樹(shù)形圖知，所有的三位數(shù)為：102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.(2)直接畫出樹(shù)形圖：由樹(shù)形圖知，符合條件的三位數(shù)有8個(gè)：201，210，230，231，301，302，310，312.二、能力提升11.(多選)下列問(wèn)題中是排列問(wèn)題的是()A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)C.從a，b，c，d中選出3個(gè)字母D.從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)答案AD解析由排列的定義知AD是排列問(wèn)題.12.一條鐵路有n個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要，新增了m個(gè)車站，且知m＞1，客運(yùn)車票增加了62種，則m＝________，n＝________.答案215解析由題意可知，原有車票的種數(shù)是Aeq\o\al(