深圳博恒中英學校高中數(shù)學選修4-5第二章《重要的不等式》測試題(含答案解析)

一、選擇題22x2y2axby1，1，則的取值范圍是（）0,1D1．已知：0,2．a(chǎn)b．22,1,1ABC．．a(chǎn),b,cR．設，abc21，則下列選項中是假命題的是（）．A．a(chǎn)bbcca11Babc2．22331119C3D．．a(chǎn)3bc1333abcyx526x的最大值是．函數(shù)()A．3B5．C．3D．5abc1．已知三個正實數(shù)、、滿足，給出以下幾個結論：4abc①a2b2c21②abbcca1bca22；2abc1④3.；abc③；33()則正確的結論個數(shù)為A．1B．2C．3D．4c0，且a313b13c1的最大值為（）1，則5ab．已知，，abcA．3B．32C．18D．9x4y29z24，則的最大值（）xy+3z6．若2A．9B．3C1D．27．fx．若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點，，其坐標滿足條件：Ax,y1Bx,y7122xxyyx2y2x2yfx0的最大值為，則稱為柯西函數(shù)，“”221212112則下列函數(shù)：1①fxx(x0)；x②fxlnx(0x3)；③fxcosx；④fxx21．(其中為柯西函數(shù)的個數(shù)為)“”A．1B．2C．3D．411198A，，是CABC的三個()弧度數(shù)，則與的大小關系為．已知B內(nèi)角的πABC11191119ABCπAB．．ABCπ1119．9y=x．的最大值是（）1-x2A．1D．4B．2C．210．設a、b、c、x、y、z是正數(shù)，且a2bc10，x2yz，＋＋＝＋＋＝402222ax＋by＋cz＝20，＝()則A．B．C．D．．若a,b,cR11，則abc的最大值是（）abc1，且3．25．A．2BC．3D312．用反證法證明：“A．B．C．D．二、填空題”，應假設（）13xxxxxx2x3x4x5x．設，，，，是1，2，3，4，5的任一排列，則1234512345的最小值是．_____14．已知函數(shù)f（a，x）=4asinx+41acosx隨著，在定義域內(nèi)變化時，該函數(shù)的最大ax值為______15．已知實數(shù)a,b,,cd滿足條件abcd1，求8a23b22c2d2的最小值是_________．若2x3y4z11，則x2yz16_________．的最小值為2217．已知x、y、z∈R，且2x+3y+3z=1，則2的最小值為____．x+y2+z218．若正數(shù)a,b,c滿足ab4c1,的最大值為_________則ab2c19．設、、，_________.的最大值，試求20．已知a,b,cR,a2bc9，Ma2b3c，則M的最大值是．___22三、解答題21．已知函數(shù)fxkx3fx30.的解集為1,1kR，，且1k（）求的值；1ka2kb3kc111，求證：a2b3c9.2abc（）若，，是正實數(shù)，且11a,bR,ab1，求證：4.．（）已知ab221xyz（）已知x2y3z14，求2.的最小值222x1x1y1zy2z2的最小值2，求xyz12324xyz．設，，均為正實數(shù)，且.abc1.abc．已知正數(shù)，，滿足1（）求abc的最大值；149362（）求證：abcfxx1x2.25．已知函數(shù)Ⅰ（）求不等式fxx的解集；a4b9cM，求13Ⅱ（）記函數(shù)的最大值為fx.aM若正實數(shù)，cb，滿足19ca3cab.的最小值aca0，b0，c0.26．已知1若abcabc，求證：abbcac9；2bca2若abc3，求證：3.abc22***【參考答案】試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【分析】利用柯西不等式，可得1axby2,解不等式即可.【詳解】得ab1,:解利用柯西不等式，22，1abxyaxby22222解得1axby1.故選:B【點睛】.本題是一道求代數(shù)式取值范圍的題目，關鍵是掌握柯西不等式2．C解析：C【分析】1abcAB根據(jù)基本不等式，判斷選項正確；舉特殊值C，可判斷選項錯誤；根據(jù)3D.柯西不等式，可判斷選項正確【詳解】因為，abc121，即a2b2c22ab2ac2bc1，所以abc由基本不等式可得：a2bc2ab2ac2bc22b2c22ab2ac2bc3ab3ac3bc，2a22ac2b222所以abbcca1，當且僅當abc時，等A號成立；故正確；3又a2bc22ab2ac2bca2bc2abacbc22222222即a2b2c22ab2ac2bc3a23b23c2，，當且僅當abc時，等B號成立；故正確；所以a2bc1223，若abc1，則3因為a,b,cRabc1，a3b3c311111，所以abc31故C錯；不正確；3332727279311121a1b1c9，abc由柯西不等式得：abcabcabc111，即abc139；當且僅當abcD即時，等號成立，故正111abc.確C.故選：【點睛】本題主要考查不等式性質(zhì)的應用，靈活運用基本不等式以及柯西不等式即可，屬于常考題型.3．B解析：B【分析】利用柯西不等式求解.【詳解】因為yx526xx56x12522226x26，即時，取等號x.5當且僅當x52B故選：【點睛】本題主要考查柯西不等式的應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.4．BB解析：【分析】利用基本不等式及柯西不等式計算可得；【詳解】ab22ab2解：：a2c22acbc22bc，abc2abbcac22①2(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3(a2b2c2)．1a2b2c2①，故不正確．313②(abc)abc2(abbcac)3(abbcac)②，故：由，abbcca2222正確．b2a2bac2bca22，abcb2c2abc1③：ba2c2ccb2ca22abc1，故③正確．④：由柯西不等式得(abc)(111)(abc)2，abc3．則④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查利用基本不等式即柯西不等式證明不等式，屬于中檔題．5．BB解析：【分析】先利用柯西不等式求得3a13b13c1的最大值，由此求得23a13b13c1的最大值.【詳解】由柯西不等式得：3a13b13c12221113a13b13c123a13b13c132，當且僅當22233abc318，所以abc1時，等號成立，故選B.3【點睛】本小題主要考查利用柯西不等式求最大值，屬于基礎題.6．B解析：B【分析】1利用柯西不等式[(x)2（2y)2(3z)2][12()21](xy3z)2求解.22【詳解】1由題得[(x)2（2y)2(3z)2][12()21](xy3z)2，22所以49（xy3z)2,4所以-3≤x+y+3z≤3.所以xy+3z的最大值3.為故選B【點睛】本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7．C解析：C【分析】yfx的圖象有兩個不同的問題轉化為存在過原點的直線ykx與交點，利用方程思想與數(shù)形結合思想，逐一判斷即可.【詳解】由柯西不等式得：對任意實數(shù)x,y,x,y,xxyyxyx2y20恒成22112212121122xyxy取等號），若函數(shù)fx立(當且僅當在其圖象上存在不同的兩點1221，其坐標滿足條件：xxyy2x2y2的最大值為xyAx,y,Bx,y2211212121122fx在其圖象上存在不同的兩點Ax,y,Bx,y，使得OA,OB共線，即0，則函數(shù)1122yfx的圖象有兩個不同的交點：ykx與存在過原點的直線x0,k1x1，不可能有兩個正根，故不存在；即2ylnx0x3的圖象，過原點的直線與函數(shù)e,1在點處相切，由圖可知這樣的直線存在；③對于，由圖可知存在；④對于，,由圖可知存在“”2所以柯西函數(shù)的個數(shù)為，故選C.【點睛】,.本題考查了新定義以及轉化思想與數(shù)形結合思想的應用，屬于難題數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供“”1了形的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：、確定方程根的個數(shù)；23取值范圍；、求不等式的解4、研究函數(shù)性質(zhì)．、求參數(shù)的集；8．A解析：A【分析】直接利用柯西不【詳解】.等式即可果得結111得,等式ABCABC由柯西不11·BB12·C9,≥·AAC1119ABC,.ABCπABCπA.，時等號成立，故選當且僅當3【點睛】本題主要考查了一般形式的柯西不等式，屬于中檔題.解決問題的關鍵是利用柯西不等式求以保證出現(xiàn)常數(shù)結果.同時，最值時，關鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，要注意等號成立的條件,配湊過程采取如下方法：一是考慮題設條件；二是對原目標函數(shù)進行配湊后利用柯西不等式解答.9．C解析：C【解析】【分析】首先求得平方的最大值，然后確定y的最大值即可.【詳解】則1x0，即1x1，函數(shù)有意義，2x1x222且y212x21x122，22則y=x1x2的最大值是2.22當且僅當x1x2，即x2.時等號成立C本題選擇選項.【點睛】本題主要考查函數(shù)最值的求解，均值不等式的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10．C解析：C【解析】2由柯西不等式得abcx21y21zax1by12cz＋＋112,22244422abc當且僅當1121時等號成立xyz22∵＋＋＝，x2yz40，ax＋by＋cz＝20a2＋b2＋c2＝1022∴2a＋b＋cx21y21zax111by12cz中等號成立，222244422a一定有：1∴1222∴abc1xyz2abc1則xyz2C故選11．CC解析：【解析】1a1b1c111abc3，因此，2試題分析：2221abcab1cabc3，當且僅當，即時取等號，故選C．311考點：柯西不等式．12．BB解析：【解析】試題分析：反證法反設時要假設所要證明的結論反面成立，因此需假設考點：反證法二、填空題1335．【解析】【分析】利用反序排列推出結果即可【詳解】由題意可知：是1234535的反序排列時取得最小值即故答案為：【點睛】本題考查反序排列的性質(zhì)考查計算能力35解析：【解析】【分析】利用反序排列，推出結果即可．【詳解】xxxxx由題序排列時，意可知：，，，，是1，，，，的反234513425x2x3x4x5x152433425135．取得最小值，即5123435故答案為：．【點睛】本題考查反序排列的性質(zhì)，考查計算能力14和正弦函數(shù)的值域可得f（ax）≤再由柯．【解析】【分析】運用輔助角公式fax=sinx+cosx=sin（x+θ）西不等式計算可得所求最大值【詳解】解：函數(shù)（）解析：124【解析】【分析】fax≤公式和正弦函數(shù)的值域可得（，）1a，再由柯西不等式，計運用輔助角a算可得所求最大值．【詳解】解：函數(shù)f（a，x）=4asinx+41acosx=asinx+θθ（）（為輔助角），1afax≤即有（，）a1asinx+θ=1取得等號）（（），由柯西不等式可得（a1a）（）（）a+1-a=2，≤1+12當且僅當a=時，取得等號，即有a1a≤2，即（fa，x）的最大值為．124故答案為．124【點睛】本題考查函數(shù)的最值求法，注意運用輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，以及柯西不等式，考查運算能力，屬于中檔題．15．-24【分析】設z=由柯西不等式可求得z的最小值為【詳解】設z=所以由柯-241西不等式即化簡得而所以此時填【點睛】柯西不等式（）設為實數(shù)則當且2()若為實數(shù)則當且僅當()或存在一僅當時等號成立（）-24解析：【分析】設z=8a23b2c2d，由柯西不等式22111(8a23b22c2)()(abc)2，可求得832，z的最小值為23zd48d2421(d248d24)．min23【詳解】設z=8a23b22c2d2,所以8a23b22c2zd2，111(zd)(23)(1d)2，24由柯西不等式(8a23b22c2)()(abc)2，即2832化簡得23zd48d24，而(d248d24)242423，所以z，此時min2mind24,8a3b2c24，填-24.（1）設，，，d為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當abc（2）若，iNab(ii(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)2，當且僅當b0(12n12n1122i存在一個數(shù)k，使得akb()時，等號成立．i22時取等號，所以所求最小值為．（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z）2進行計算即可解：∵22+32+32=22∴22（x2+y2+z2解析：【解析】試題分析：利用題中條件：“2x+3y+3z=1”構造柯西不等式：（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z）2進行計算即可．解：∵22+32+32=22，∴22（x2+y2+z2）=（x2+y2+z2）×（22+32+32）≥（2x+3y+3z）2=1可得：x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值為．故答案為．考點：柯西不等式在函數(shù)極值中的應用．18．【分析】直接利用柯西不等式列式化簡后可求得最大值【詳解】由柯西不等式得即即【點睛】本小題主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法屬于基礎題10解析：2【分析】.直接利用柯西不等式列式，化簡后可求得最大值由柯西不等式得21a1b14c，即22222ab4c225ab4c10.2ab2c，即22cab2【點睛】本小題主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于基.礎題．【分析】利用柯西不等式對代數(shù)式進行配湊可求出x+2y+2z的最大值19159×25=1+4+4x2+y2+z2≥x+2y+2z2即【詳解】由柯西不等式得x+2y+2z2≤225∴x+2y+2z≤15當且.解析：【分析】.的最大值利用柯西不等式對代數(shù)式進行配湊，可求出【詳解】由柯西不等式得，即，，.的最大值為，故答案為當且僅當時，等號成立，因此，【點睛】本題考查利用柯西不等式求最值，解題的關鍵就是結合所求代數(shù)式對定值條件進行配湊，.考查計算能力，屬于中等題201．【解析】試題分析：由柯西不等式式易知所以即是故應填入考點：復數(shù)23的概念；虛數(shù)的定義；純虛數(shù)的定義解析：．【解析】a2b3c2222試題分析：由柯西不等式式易知abc2123，所以22a2b3c914即是a2b3c314，故應填入．314123考點：．復數(shù)的概念；．虛數(shù)的定義；．純虛數(shù)的定義．三、解答題1k121．（）；（2）證明見解析.【分析】（1）將x3fxkx3fx30xk可得，然后絕對值不等式的帶入，由解集確定k的值；111121（）結合（）可得.，然后利用柯西不等式進行證明即可a2b3c【詳解】fxkx3，解：（）1因為所以fx30等價于xk，xk解集為由xkk,k.有解，得k0，且為1,1.的解集因為fx30因此k1.1111中所得帶入可知知：a2b3ck1：將（）1，2（）證明ac因為，b，為正實數(shù)，所以由柯西不等式得：a2b3c2a2b3ca2b3ca12b1111+3c19a2b3ca2b3c時，等號成立.當且僅當因此a2b3c9成立..【點睛】2aaaa本題的難點在于（）的證明，證明時可利用柯西不等式，設，，，，，21n3bbbb為實數(shù)，則有：，，，，123na2a2a2a2b2b2b2b2abababab2，當且僅123n123n112233akbi1,2,3,,n時，等號成立.nn當b0i1,2,3,,n或存在一個數(shù)使得kiii22121．（）證明見解析（）【分析】1“1”（）利用的變形，由均值不等式求證即可；2.（）根據(jù)柯西不等式，直接求最值即可【詳解】（）a,bR1,ab11111baba(ab)2224，abababab1ab當且僅當baab，即時，等號成立.22（）由柯西不等式知，(x2y3z)2x2y2z2123222x2y2z21，xyz1當且僅當時取等號，12314即x2yz2的最小值為12【點睛】本題主要考查了均值不等式，柯西不等式的應用，屬于中檔題.1423．【分析】利用xyz1，構造符合柯西不等.標準形式，根據(jù)柯西不等式即得所求最值式條件的【詳解】由柯西不等式可得，x21x1y1zy2z21x1y1zxyz2xyz1，因為即xy2z22411x1y1zx2y2z21，1x1y1z4當xyz13時，等號成立，x21x1y1zy2z21的最小值為.故4【點睛】本題主要考查柯西不等式求最值，解題的關鍵是構造符合柯西不等式條件的標準形式，屬于中檔題.11824．（）；（2）證明見解析.【分析】abcaabc22（1）變換得到.，再利用均值不等式解得答案（2）直接利用柯西不等式得到證明.【詳解】abc116，aabc44a2bc4，abc22，（1）abc222444abc113，當且僅當bc18a1，即，bc11.a時取得最大值224248（2）由柯西不等式得：22249149abc1abcab222cabc2123236，ab4c19abc111149當