畢業(yè)設(shè)計(jì)一階倒立擺最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)

本科畢業(yè)設(shè)計(jì)闡明書本科畢業(yè)設(shè)計(jì)闡明書（題目：題目：一階倒立擺最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)學(xué)生姓名：xx學(xué)院：xx系別：xx專業(yè)：xx班級：xx指導(dǎo)教師：xx二○○七年六月

摘要倒立擺系統(tǒng)的控制研究長期以來被認(rèn)為是控制理論及其應(yīng)用領(lǐng)域里能引起人們極大愛好的問題。它是檢查多種新的控制理論和措施的有效性的著名試驗(yàn)裝置。作為一種高階、非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，倒立擺的穩(wěn)定控制相稱困難，對該領(lǐng)域的學(xué)者來說是一種極具挑戰(zhàn)性的難題。首先，本文論述倒立擺系統(tǒng)控制的研究發(fā)展過程，簡介了倒立擺系統(tǒng)的構(gòu)造，并詳細(xì)推導(dǎo)了一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，為更高層次的控制規(guī)律的研究提供了一種途徑。另一方面，研究倒立擺系統(tǒng)的多種控制措施。其中包括有經(jīng)典控制理論中的PID控制措施和最優(yōu)控制理論中的極點(diǎn)配置法、LQR法。在MATLAB/SIMULINK的環(huán)境下，作了大量的系統(tǒng)仿真研究工作，比較了多種控制措施。最終，發(fā)現(xiàn)通過最優(yōu)控制措施校正后的系統(tǒng)的性能優(yōu)于經(jīng)典控制措施校正后的系統(tǒng)的性能，并且最優(yōu)控制較易實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：倒立擺系統(tǒng)；經(jīng)典控制理論；最優(yōu)控制理論；系統(tǒng)仿真AbstractThecontrolofinvertedpendulumsystemhaslongbeenconsideredanintriguingproblemforcontroltheoryanditsapplications.Itiswellknownasatestbedfornewcontroltheoryandtechniques.Asahighlynonlinearandunstablesystem,thestabilizationcontrolofinvertedpendulumsystemisaprimarychallengeforresearchersinthisfieldbecauseofthedifficultyoftheproblem.Firstly,afterintroducingthedevelopmentandcurrentsituationofinvertedpendulumsystemresearch,themechanismofinvertedpendulumarepresented.Mathematicalmodelofthehigheronelevelinvertedpendulumisparticularlyeducedinthischapter.Secondly,thethesisdiscussesmainlythecontrolmethodsofinvertedpendulumsystembasedonthePIDofclassiccontroltheories,thePolearrangementandtheLQRofmoderncontroltheories.AndmanysystemsimulationresearchesonthestabilityofinvertedpendulumhavebeendoneintheenvironmentofMATLAB/SIMLTLINK.Finally,wewillfindthattheperformanceofsystemwhichwasadjustedbyoptimalcontroltheoryisbetterthantheperformanceofsystemwhichwasadjustedbyclassiccontroltheory,andtheoptimalcontroliseasiersuccessthanclassiccontrol.Keywords:Invertedpendulumsystem;Classiccontroltheory;Optimalcontroltheory;Systemsimulation目錄引言 1第一章 緒論 21.1 問題的提出及研究意義 21.1.1 問題的提出 21.1.2研究意義 21.2 本論文重要研究的內(nèi)容 2第二章 單級倒立擺數(shù)學(xué)模型 42.1單級倒立擺數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造 42.2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo) 52.2.1不考慮摩擦?xí)r的傳遞函數(shù)及狀態(tài)方程 52.2.2考慮摩擦?xí)r的傳遞函數(shù)及狀態(tài)方程 8第三章 單級倒立擺PID控制器設(shè)計(jì)與仿真 113.1理論分析 113.2PID控制器的設(shè)計(jì)與仿真 12第四章 現(xiàn)代控制理論在控制倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用 204.1狀態(tài)空間極點(diǎn)配置法 204.1.1理論分析 204.1.2狀態(tài)空間極點(diǎn)配置法的設(shè)計(jì)及仿真 204.2基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究 244.2.1理論分析 244.2.2LQR控制器的設(shè)計(jì)與仿真 24結(jié)論 24參照文獻(xiàn) 24謝辭 24引言雜技頂桿演出之所認(rèn)為人們熟悉，不僅是其技藝的精湛，更重要的是其物理與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性親密有關(guān)。它深刻提醒了自然界一種基本規(guī)律，即一種自然不穩(wěn)定的被控對象，通過控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。這一規(guī)律已成為當(dāng)今航空航天器設(shè)計(jì)的基本思想。不難看出雜技演員頂桿的物理機(jī)制可簡化為一種簡樸的倒立擺。倒立擺是一種自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能有效地反應(yīng)控制中的許多關(guān)鍵問題，如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動問題、鎮(zhèn)靜問題及跟蹤問題等。倒立擺系統(tǒng)作為一種試驗(yàn)裝置，形象直觀，構(gòu)造簡樸，構(gòu)件構(gòu)成參數(shù)和形狀易于變化，成本低廉；作為一種被控對象，它又相稱復(fù)雜，就其自身而言，是一種高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性系統(tǒng)，只有采用行之有效的控制措施方能使之穩(wěn)定。倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定效果非常明了，可以通過擺動角度，位移和穩(wěn)定期間直接度量，控制好壞一目了然。理論是工程的先導(dǎo)，倒立擺的研究具有重要的工程背景。機(jī)器人行走類似倒立擺系統(tǒng)，盡管第一臺機(jī)器人在美國問世以來已經(jīng)有三十?dāng)?shù)年的歷史，但機(jī)器人的關(guān)鍵技術(shù)至今仍未很好處理。由于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定與空間飛行器控制的穩(wěn)定有很大相似性，也是平常生活中所見到的任何重心在上，支點(diǎn)在下的控制問題的抽象。因此，倒立擺機(jī)理的研究又具有重要的應(yīng)用價(jià)值，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。倒立擺系統(tǒng)最終的控制目的是使倒立擺這樣一種不穩(wěn)定的被控對象，通過引入合適的控制措施使之成為一種穩(wěn)定的系統(tǒng)。對倒立擺系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)倒立擺控制的基礎(chǔ)。常見的倒立擺的控制措施有如下幾種:1.經(jīng)典控制理論中的PID控制。通過對倒立擺系統(tǒng)的機(jī)理分析，建立倒立擺的動力學(xué)模型，使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)其非線性模型，并在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化得到倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，從而設(shè)計(jì)出PID控制器實(shí)現(xiàn)其控制。2.最優(yōu)控制理論中的極點(diǎn)配置法以及LQR法。該系統(tǒng)是一種單輸入多輸出的系統(tǒng)，且可證明此系統(tǒng)是能控的，因此可以通過全狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的措施以及LQR措施使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。緒論問題的提出及研究意義問題的提出作為控制領(lǐng)域的一種經(jīng)典裝置，倒立擺的最初研究開始于二十世紀(jì)五十年代，麻省理工大學(xué)電機(jī)工程系設(shè)計(jì)出了單級倒立擺這一試驗(yàn)設(shè)備，物理特性與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性親密有關(guān)，可以說它揭示了自然界的一種基本規(guī)律，就是一種自然不穩(wěn)定的被控對象，通過控制手段可使其具有良好的穩(wěn)定性。到目前為止，以單級平面倒立擺為雛形，倒立擺裝置已經(jīng)演繹出了許多種形式，包括懸掛式倒立擺、平行式倒立擺和球平衡式倒立擺。倒立擺的級數(shù)可以是一級、二級、三級、乃至多級。倒立擺的運(yùn)動軌道也由最初的水平軌道擴(kuò)展到了傾斜軌道，而控制電機(jī)可以是單電機(jī)，也可以是多電機(jī)控制。1.1.2研究意義課題的意義重要包括:1．倒立擺系統(tǒng)作為試驗(yàn)平臺，具有直觀性和趣味性的特點(diǎn)。倒立擺系統(tǒng)構(gòu)造簡樸，構(gòu)件構(gòu)成參數(shù)和形狀易于變化，控制效果形象直觀，一目了然。開發(fā)倒立擺系統(tǒng)試驗(yàn)裝置對控制理論的深入理解具有重要意義。2.倒立擺系統(tǒng)是從控制理論到實(shí)際應(yīng)用的橋梁。通過對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以對控制理論和控制措施的對的性以及實(shí)用性加以物理驗(yàn)證，對多種措施進(jìn)行快捷、有效、生動的比較，是一種有效的物理證明措施。從倒立擺試驗(yàn)中可以總結(jié)有效的控制經(jīng)驗(yàn)，具有實(shí)踐的意義。3.倒立擺系統(tǒng)的研究，具有重要的工程背景。無論空間飛行器控制，機(jī)器人直立行走控制還是各類伺服系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，都可以應(yīng)用對倒立擺系統(tǒng)的研究成果，具有實(shí)際應(yīng)用的意義。本論文重要研究的內(nèi)容論文關(guān)鍵包括“倒立擺系統(tǒng)”和“控制”兩個(gè)方面，圍繞這一關(guān)鍵，將論文中控制方案的完畢提成3個(gè)階段：建模階段、設(shè)計(jì)階段和仿真階段。1.建模階段：初步理解倒立擺的工作原理，建立倒立擺系統(tǒng)的近似線性模型。給定一套參數(shù)，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，包括傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型。2.設(shè)計(jì)階段：提出閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的參數(shù)，完畢3種控制器的設(shè)計(jì)：PID控制器、極點(diǎn)配置控制器和LQR控制器。3.仿真階段：此階段在上一階段研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用理論模型和理論參數(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行仿真測試，檢查系統(tǒng)響應(yīng)與否滿足規(guī)定。單級倒立擺數(shù)學(xué)模型2.1單級倒立擺數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造倒立擺小車系統(tǒng)如圖2.1所示。在忽視了空氣流動，多種摩擦之后，一階倒立擺系統(tǒng)可抽象成小車和勻質(zhì)桿構(gòu)成的系統(tǒng)，假設(shè):為小車質(zhì)量;為擺桿質(zhì)量;為小車摩擦系數(shù);為擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度;為擺桿慣量;為加在小車上的力;為小車位置;為擺桿與垂直向上方向的夾角。假定各項(xiàng)參數(shù)為。假定系統(tǒng)的期望性能指標(biāo)為，。FFLLPNmMxI圖2.1倒立擺系統(tǒng)受力分析圖2.2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)2.2.1不考慮摩擦?xí)r的傳遞函數(shù)及狀態(tài)方程在外力F的作用下，小車及擺桿均產(chǎn)生加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線運(yùn)動的慣性力應(yīng)當(dāng)與F平衡，于是有：(2.1)(2.1)即：(2.2)(2.2)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動方程，我們對倒立擺垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面的方程：(2.3)(2.3)即：(2.4)(2.4)力矩平衡方程如下：(2.5)(2.5)其中(2.6)(2.6)由可知：有(2.7)(2.7)代入中可得：(2.8)(2.8)因此通過整頓后的方程組為：(2.10)(2.9)(2.10)(2.9)考慮到擺桿在設(shè)定點(diǎn)附近做微小的振動，對上式進(jìn)行局部線性化，即用做近似處理后可得：(2.11)(2.11)(2.12)(2.12)由可知：(2.13)(2.13)(2.14)(2.14)代入原式有：(2.15)(2.15)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：由（2.9）式可知，代入（2.10）式中有：(2.16)(2.16)(2.17)(2.17)代入假定的參數(shù)有：模型的狀態(tài)方程為：2.2.2考慮摩擦?xí)r的傳遞函數(shù)及狀態(tài)方程考慮小車與地面之間的摩擦?xí)r有如下的方程組：推導(dǎo)過程同上，可得：(2.19)(2.18)(2.19)(2.18)通過局部線性化，近似處理之后有：(2.21)(2.20)(2.21)(2.20)由上式可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2.22)(2.22)(2.23)(2.23)由（2.22）可知，代入（2.23）式中有：(2.24)(2.24)(2.25)(2.25)代入假定的參數(shù)有：狀態(tài)方程為：(2.26)(2.26)(2.28)(2.28)將上式代回到（2.26）式中有：單級倒立擺PID控制器設(shè)計(jì)與仿真3.1理論分析常規(guī)PID控制是最早發(fā)展起來的一種控制措施，由于其算法簡樸、魯棒性好、可靠性高，因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。該措施的重要思想是:根據(jù)給定值與系統(tǒng)的實(shí)際輸出值構(gòu)成控制偏差。然后將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)三項(xiàng)通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進(jìn)行控制，故稱為PID控制。為了使研究更具一般性，分析倒立擺時(shí)以有摩擦的系統(tǒng)為主。我們已經(jīng)得到了倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，輸入為小車的推力。開環(huán)傳遞函數(shù)為：（3.1）給系統(tǒng)施加脈沖擾動，輸出量為擺桿的角度時(shí)，系統(tǒng)框圖如圖3.1所示:控制器KD（s）控制器KD（s）對象G（s）r(s)=0e(s)+_++f(s)=Fu(s)y(s)圖3.1系統(tǒng)控制構(gòu)造框圖考慮到輸入r(s)=0,構(gòu)造圖可以很輕易的變換成圖3.2所示的構(gòu)造：對象G對象G（s）控制器KD（s）f(s)=Fu(s)y(s)+_圖3.2系統(tǒng)控制構(gòu)造簡圖該系統(tǒng)的輸出為：3.2PID控制器的設(shè)計(jì)與仿真由式（3.1）可得推出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：（3.2）首先，為了觀測系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡，可以運(yùn)用Matlab對開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行仿真，仿真程序如下：>>K=3;>>n=[100];>>d=conv(conv(conv([10],[1-2.9028]),[12.7141]),[10.0911]);>>s=tf(K*n,d);>>margin(s)通過仿真后，我們可以看到系統(tǒng)的Bode圖如圖3.3所示:圖3.3未校正系統(tǒng)的Bode圖由圖可知，幅頻曲線并沒有穿越0dB軸，在0dB軸如下，并且相頻曲線也沒有穿越，可知閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。我們運(yùn)用根軌跡法來設(shè)計(jì)控制器。該措施的目的是運(yùn)用根軌跡措施給系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種超前—滯后裝置，即PID控制器，以到達(dá)控制效果。該設(shè)計(jì)生動地反應(yīng)了根據(jù)根軌跡鑒定系統(tǒng)性能，零極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響，漸近線的多種特性等等波及到根軌跡的理論點(diǎn)。并且反應(yīng)了怎樣設(shè)計(jì)系統(tǒng)的校正裝置。做出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡:仿真程序:>>clear>>K=3;>>n=[100];>>d=conv(conv(conv([10],[1-2.9028]),[12.7141]),[10.0911]);>>s=tf(K*n,d);>>rlocus(s)根軌跡如圖3.4所示：圖3.4未校正系統(tǒng)的根軌跡圖可以看到閉環(huán)傳遞函數(shù)的一種極點(diǎn)位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點(diǎn)，并沿著實(shí)軸向左直到位于原點(diǎn)的零點(diǎn)處，這意味著無論增益怎樣變化，這條根軌跡總是位于右半平面，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。為了處理這個(gè)問題，在原點(diǎn)處增長一種極點(diǎn)s=0,使得原點(diǎn)處的零極點(diǎn)對消掉，運(yùn)用Matlab進(jìn)行仿真，仿真程序如下：>>clear>>K=3;>>n=[10];>>d=conv(conv(conv([10],[1-2.9028]),[12.7141]),[10.0911]);>>s=tf(K*n,d);>>rlocus(s)可以得到新的根軌跡如圖3.5所示：圖3.5加入s=0極點(diǎn)后系統(tǒng)的根軌跡圖系統(tǒng)新的傳遞函數(shù)為：（3.3）這時(shí)可以清晰地發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)有三根漸近線，一根在負(fù)實(shí)軸上，漸近線與實(shí)軸正方向的夾角可以根據(jù)公式計(jì)算出此外兩根與第一根的夾角為120度。這樣兩根根軌跡永遠(yuǎn)不會到達(dá)左半平面，必須通過在控制器中增長一種零點(diǎn)來把漸近線的數(shù)目減少到二，這時(shí)我們可以根據(jù)漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算出漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為，這意味著兩根漸近線離開實(shí)軸的位置是（），若稍大，則零點(diǎn)位于右半平面，系統(tǒng)又不穩(wěn)定，但雖然獲得夠小，這時(shí)漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)也很靠近虛軸，根軌跡很快進(jìn)入右半平面，不能滿足設(shè)計(jì)規(guī)定。時(shí)進(jìn)行Matlab仿真系統(tǒng)根軌跡如圖3.6所示：圖3.6加入零點(diǎn)后系統(tǒng)的根軌跡圖處理這個(gè)問題的措施是在左半平面再增長一種遠(yuǎn)離其他零極點(diǎn)的極點(diǎn)，讓漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)更靠左，不過為了讓漸近線保持在兩條，且維持系統(tǒng)穩(wěn)定，必須在左半平面再增長一種絕對值較小的零點(diǎn)。這樣一組零極點(diǎn)可以運(yùn)用修改Matlab中的參數(shù)來試探得到。校正裝置的零點(diǎn)選為，極點(diǎn)選為。程序中使用了rlocfind函數(shù)，可以用鼠標(biāo)在該圖的根軌跡上選擇一對位于左半平面共軛復(fù)根和負(fù)實(shí)根，即用鼠標(biāo)在根軌跡上選擇一點(diǎn)，可求得系統(tǒng)的增益。仿真程序如下：>>clear>>K=3;>>n=[1690];>>d=conv(conv(conv(conv([10],[1-2.9028]),[12.7141]),[10.0911]),[155]);>>s=tf(K*n,d);>>rlocus(s)>>[k,poles]=rlocfind(s)Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-8.9929+0.3882ik=489.6894poles=0-34.2172-8.9573+0.3836i-8.9573-0.3836i-2.7705仿真后的根軌跡圖如圖3.7所示：圖3.7校正后系統(tǒng)的根軌跡圖由圖可知，選用增益k為500時(shí)，根軌跡都在左半平面，此時(shí)對應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，可求出PID函數(shù)為：（3.4）將根軌跡法設(shè)計(jì)的PID控制器代入本來系統(tǒng)后，可以得到校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖3.8所示：圖3.8校正后系統(tǒng)的Bode圖可知此時(shí)相頻曲線正穿越的線一次，即R=1，未校正系統(tǒng)有一種位于右半平面的極點(diǎn)，即P=1，因此閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)Z=P-R=0，也可知校正后的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。將式(3.4)代入本來系統(tǒng)中，在Simulink環(huán)境下作出系統(tǒng)的構(gòu)造圖如圖3.9所示：圖3.9系統(tǒng)模擬仿真圖給系統(tǒng)加入一種階躍擾動，通過示波器顯示可得到系統(tǒng)輸出波形如圖3.10所示：圖3.10加入階躍擾動時(shí)輸出的波形由圖可知，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間，超調(diào)量，可知校正后的系統(tǒng)滿足了設(shè)計(jì)指標(biāo)。現(xiàn)代控制理論在控制倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用4.1狀態(tài)空間極點(diǎn)配置法4.1.1理論分析1.概述由之前的分析得出，該倒立擺系統(tǒng)是一種單輸入多輸出的控制系統(tǒng)，需要設(shè)計(jì)一種對倒立擺本體和小車位移同步進(jìn)行控制的控制器。根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的特性方程可知未校正系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為:2.9028、-2.7141、-0.0911。系統(tǒng)有一種極點(diǎn)2.9028位于S平面右半平面，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件知該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程和極點(diǎn)配置法，設(shè)計(jì)出狀態(tài)反饋矩陣K以實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的控制。2.極點(diǎn)配置的原理闡明所謂極點(diǎn)配置就是運(yùn)用狀態(tài)反饋或輸出反饋使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于所但愿的極點(diǎn)位置。由于系統(tǒng)的性能和它的極點(diǎn)位置親密有關(guān)，因而極點(diǎn)配置問題在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是很重要的。要注意配置的條件：運(yùn)用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充足必要條件是被控系統(tǒng)可控。期望極點(diǎn)的配置重要是根據(jù)零極點(diǎn)對系統(tǒng)的影響來進(jìn)行選用的，再根據(jù)設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)（參照網(wǎng)上的資料）相結(jié)合進(jìn)行選用的。4.1.2狀態(tài)空間極點(diǎn)配置法的設(shè)計(jì)及仿真首先對被控對象進(jìn)行可控性、穩(wěn)定性檢查。已知有：運(yùn)用Matlab判斷系統(tǒng)的可控性：仿真程序如下：>>clear>>A=[0100;0-0.0945-0.71780;0001;00.073177.89580];>>B=[0;1;0;-0.7317];>>s=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];>>rank(s)ans=4可知系統(tǒng)是可控的。由之前的分析可知倒立擺系統(tǒng)是一種不穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)有一種極點(diǎn)2.9028位于S平面右半平面，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件知該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。采用狀態(tài)反饋措施可使系統(tǒng)穩(wěn)定并配置極點(diǎn)。狀態(tài)反饋控制規(guī)律為：，（其中分別為反饋至的增益）引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)椋喝珷顟B(tài)反饋系統(tǒng)為穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)參照輸入為零時(shí)，狀態(tài)向量在初始擾動下的響應(yīng)將漸進(jìn)的衰減至零，這時(shí)擺桿和小車都會回到它的初始位置，即。假設(shè)期望極點(diǎn)為，運(yùn)用Matlab求出系統(tǒng)的反饋矩陣k。仿真程序如下：>>clear>>A=[0100;0-0.0945-0.71780;0001;00.073177.89580];>>B=[0;1;0;-0.7317];>>p=[-2-3-2+1i-2-1i];>>k=place(A,B,p)k=-4.0702-6.7743-58.8387-21.4292求出狀態(tài)反饋增益，將反饋增益代入本來系統(tǒng)中并運(yùn)用Matlab來進(jìn)行仿真。仿真程序如下：>>clear>>A=[0100;0-0.0945-0.71780;0001;00.073177.89580];>>B=[0;1;0;-0.7317];>>C=[1000;0010];>>D=[0;0];>>k=[-4.0702-6.7743-58.8387-21.4292];>>AA=A-B*k;>>BB=B;>>CC=C;>>DD=D;>>t=0:0.1:10;>>[y,x]=initial(AA,BB,CC,DD,[0.100.10],t);>>plot(t,y);>>grid仿真圖如圖3.9所示：圖4.1經(jīng)極點(diǎn)配置后系統(tǒng)的響應(yīng)曲線由圖4.1可知，經(jīng)極點(diǎn)配置后的系統(tǒng)輸出已基本滿足設(shè)計(jì)的規(guī)定，狀態(tài)反饋可以使處在任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即可將狀態(tài)變量及穩(wěn)定在零狀態(tài)。這就意味著在初始狀態(tài)或因存在外界干擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置導(dǎo)軌中心，依托該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立，并使小車保持在基準(zhǔn)位置。相對平衡狀態(tài)的偏移，得到迅速修正的程度要依賴于指定的特性根的位置。一般來說，將指定的特性根配置在原點(diǎn)的左側(cè)，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，雖然需要更大的控制力，不過系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間越短，即控制動作就越迅速，敏捷度高。根據(jù)期望極點(diǎn)設(shè)計(jì)的倒立擺系統(tǒng)的動靜態(tài)性能很好，系統(tǒng)大概在4s內(nèi)即可到達(dá)穩(wěn)定，過度過程時(shí)間較短，超調(diào)量也不大，各控制量的大小都比較合理。4.2基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究4.2.1理論分析1.概述倒立擺系統(tǒng)是一種經(jīng)典的非線性、不穩(wěn)定的被控對象，它作為現(xiàn)代控制理論或教學(xué)的試驗(yàn)裝置是非常經(jīng)典的。倒立擺系統(tǒng)的控制問題被公認(rèn)為控制理論中的一種經(jīng)典問題，許多新的實(shí)時(shí)控制理論都通過倒立擺控制試驗(yàn)來加以驗(yàn)證。線性二次型調(diào)整器（LinearQuadraticRegulator—LQR）問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重視。線性二次型（LQR）性能指標(biāo)易于分析、處理和計(jì)算，并且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)措施得到的倒立擺系統(tǒng)具有很好的魯棒性與動態(tài)特性以及可以獲得線性反饋構(gòu)造等長處，因而在實(shí)際的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。不過在使用該措施時(shí)，最優(yōu)控制的效果取決于加權(quán)陣和的選用，假如和選用不妥，則也許使求得的解不能滿足實(shí)際系統(tǒng)的性能規(guī)定，就更談不上“最優(yōu)”了。通過倒立擺LQR最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究，并從實(shí)際控制效果出發(fā)，找出系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)與加權(quán)陣和之間的變化規(guī)律，并應(yīng)用于實(shí)際的系統(tǒng)當(dāng)中。2.LQR措施的原理設(shè)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(4.1)(4.1)(4.2)(4.2)二次型性能指標(biāo)函數(shù)：(4.3)(4.3)其中：為維狀態(tài)向量，為維輸入向量，為維輸出向量,,,,分別是,,,維常數(shù)矩陣。加權(quán)陣和是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重，是半正定陣即：,陣是正定陣即：。假如該系統(tǒng)受到外界干擾而偏離零狀態(tài)，應(yīng)施加怎樣的控制，才能使得系統(tǒng)回到零狀態(tài)附近二同步滿足到達(dá)最小，那么這時(shí)的就稱之為最優(yōu)控制。由最優(yōu)控制理論可知，使式(4.3)獲得最小值的最優(yōu)控制律為:(4.4)(4.4)式中就是Riccati方程的解，是線性最優(yōu)反饋增益知陣。這時(shí)只需簡樸的求解代數(shù)Riccati方程:(4.5)(4.5)就可獲得值以及最優(yōu)反饋增益矩陣值。(4.6)(4.6)4.2.2LQR控制器的設(shè)計(jì)與仿真一般來說，和都取為對角陣。目前確定加權(quán)知陣和的普遍措施是仿真試湊法，該措施的基本原理是:首先進(jìn)行分析初步選用和，通過計(jì)算機(jī)仿真判斷其與否符合設(shè)計(jì)規(guī)定，假如符合規(guī)定則停止仿真，目前的和值就是實(shí)際控制系統(tǒng)所需要的，然后運(yùn)用計(jì)算機(jī)可非常以便地求出最優(yōu)增益矩陣，并把代入到實(shí)際系統(tǒng)的控制器參數(shù)中，這樣就完畢了控制器的設(shè)計(jì)。假如不符合規(guī)定，則須重新選用和值并反復(fù)進(jìn)行，直至符合實(shí)際系統(tǒng)的性能指標(biāo)規(guī)定為止。通過反復(fù)選用和后，決定取，。先運(yùn)用Matlab來求取系統(tǒng)的反饋矩陣K。仿真程序如下：>>clear>>A=[0100;0-0.0945-0.71780;0001;00.073177.89580];>>B=[0;1;0;-0.7317];>>Q=[1000000;0000;00700;0000];>>R=1;>>[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)K=-31.6228-31.5189-167.4966-61.3534P=1.0e+003*0.99080.49191.94020.71550.49190.29541.20970.44681.94021.20975.11381.88210.71550.44681.88210.6945E=-4.0481+3.9542i-4.0481-3.9542i-2.6858+0.2546i-2.6858-0.2546i可知求出的，將求得的反饋增益矩陣代入本來的系統(tǒng)中并運(yùn)用Matlab進(jìn)行仿真，仿真程序如下：>>clear>>A=[0100;0-0.0945-0.71780;0001;00.073177.89580];>>B=[0;1;0;-0.7317];>>C=[1000;0010];>>D=[0;0];>>k=[-31.6228-31.5189-167.4966-61.3534];>>AA=A-B*k;>>BB=B;>>CC=C;>>DD=D;>>t=0:0.1:10;>>[y,x]=initial(AA,BB,CC,DD,[0.100.10],t);>>plot(t,y);>>grid仿真后如圖4.2所示：圖4.2LQR控制的響應(yīng)曲線由圖4.2可以看出，系統(tǒng)擁有很好的抗擾能力，受到擾動后可以很快的恢復(fù)穩(wěn)定，調(diào)整時(shí)間，小車的超調(diào)量與擺角的超調(diào)量都很小，因此可知LQR措施設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)滿足了性能指標(biāo)。由以上的分析可知，在3種控制措施中，常規(guī)PID控制的效果比較差，并且只能控制擺角。究其原因，重要是由于常規(guī)PID控制器實(shí)質(zhì)上是一種線性控制器，因此對于像倒立擺這樣的非線性、絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，這種措施在控制效果上顯得明顯局限性。同步，由于PID控制器的3個(gè)參數(shù)(比例、積分、微分系數(shù))較難選用，且較多依托經(jīng)驗(yàn)，并且，雖然選擇好一組參數(shù)可以控制住倒立擺，但當(dāng)系統(tǒng)性能發(fā)生變化或者碰到干擾后，預(yù)先整定好的參數(shù)又顯得無能為力。而最優(yōu)控制可以比很好地控制住倒立擺，且響應(yīng)速度較快，超調(diào)量較小，還可以保持穩(wěn)態(tài)誤差為零。結(jié)論倒立擺系統(tǒng)就其自身而言，是一種多變量、迅速、嚴(yán)重非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng)，必需采用有效的控制法使之穩(wěn)定，對倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上有著深遠(yuǎn)的意義。數(shù)年來，人們對倒立擺的研究越來越感愛好，倒立擺的種類也由簡樸的單級倒立擺發(fā)展為多種形式的倒立擺系統(tǒng)，這其中的原因不僅在于倒立擺系統(tǒng)在高科技領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，并且新的控制措施不停出現(xiàn)，人們試圖通過倒立擺這樣一種嚴(yán)格的控制對象，檢查新的控制措施與否有較強(qiáng)的處理多變量、非線性和不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力。因此，倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種較為理想的試驗(yàn)手段一般用來檢查控制方略的效果。本文以一級倒立擺試驗(yàn)裝置為平臺，首先概述了倒立擺研究的現(xiàn)實(shí)狀況，并用分析力學(xué)措施推導(dǎo)了單級倒立擺的動力學(xué)模型，給出其狀態(tài)空間方程，運(yùn)用經(jīng)典控制理論及現(xiàn)代控制理論措施分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得出倒立擺系統(tǒng)是一種不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且可控可觀。另一方面，研究了倒立擺系統(tǒng)的三種控制方略，即:PID控制措施、極點(diǎn)控制措施、LQR控制措施，并分別設(shè)計(jì)了對應(yīng)的控制器，以Matlab/Simulink為基礎(chǔ)，做了大量的仿真研究，看到了多種控制措施的效果:1.PID控制器控制構(gòu)造簡樸，但效果稍差，振蕩比較厲害，究其原因，重要由于常規(guī)PID控制器實(shí)質(zhì)上是一種線性控制器，只合用于單輸入單輸出的系統(tǒng)。同步，由于PID控制器的三個(gè)參數(shù)較難選用，且較多依托經(jīng)驗(yàn)，并且，雖然選擇好一組參數(shù)可以控制住倒立擺，但當(dāng)系統(tǒng)性能發(fā)生變化或者碰到很大干擾后，預(yù)先整定好的參數(shù)又顯得無能為力。2.最優(yōu)控制措施響應(yīng)速度較快，超調(diào)量小，還可以保持穩(wěn)態(tài)誤差為零，控制效果很好，而它的局限性在于其控制器的反饋控制矩陣在開始前已經(jīng)確定，控制中無法進(jìn)行調(diào)整，不具有自適應(yīng)能力。最終，借助MATLAB實(shí)時(shí)控制軟件試驗(yàn)平臺，運(yùn)用設(shè)計(jì)的控制措施(PID和最優(yōu)控制)對單級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)時(shí)仿真試驗(yàn)，通過對系統(tǒng)產(chǎn)生一定的擾動或在初始狀態(tài)不為零的狀況下，整個(gè)系統(tǒng)均能在很短的時(shí)間里恢復(fù)平衡，獲得了很好的實(shí)時(shí)控制效果。倒立擺系統(tǒng)是驗(yàn)證多種控制算法的工具，同步倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的控制研究與計(jì)算機(jī)控制技術(shù)又密不可分。由于時(shí)間關(guān)系，論文只是對倒立擺系統(tǒng)控制措施進(jìn)行了很小范圍的探索，本文在如下幾方面內(nèi)容有待近一步深入和完善。首先，鑒于倒立擺系統(tǒng)屬于嚴(yán)重非線性系統(tǒng)，研究非線性控制措施在倒立擺控制中深入的應(yīng)用。此外考慮到微分幾何措施在計(jì)算量方面的規(guī)定，對于計(jì)算機(jī)算法上要作深入的改善。另一方面，進(jìn)行平面一級倒立擺的實(shí)物試驗(yàn)，驗(yàn)證經(jīng)典控制以及最優(yōu)控制與否可以實(shí)現(xiàn)平面一級倒立擺的穩(wěn)定控制，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來深入驗(yàn)證控制措施的對的性以及可行性。最終，對非線性觀測器存在性、適應(yīng)性及對某類型系統(tǒng)針對性的改善,都是通過將這些觀測器