2023屆高考數(shù)學重難點專題訓練專題16數(shù)列求和-分組求和并項求和

專題16數(shù)列求和—分組求和（并項求和）已知公差不為的等差數(shù)列中，，是和的等比中項．

求數(shù)列的通項公式：

保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前項和為，求的值．2.記為數(shù)列的前項和，已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列．證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式設(shè)，求數(shù)列的前項和．3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，記為的前項和，是等比數(shù)列，．求記，求數(shù)列的前項和．已知等比數(shù)列的公比為，前項和，，，．

求；

記數(shù)列中不超過正整數(shù)的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前項和．已知數(shù)列中，且

求證：數(shù)列為等比數(shù)列

求數(shù)列的前項和．已知等差數(shù)列滿足．

Ⅰ求數(shù)列的通項公式；

Ⅱ若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項和．7.數(shù)列的前項和為，且若數(shù)列不是等比數(shù)列，求若，在和中插入個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，求的前項和．8.已知數(shù)列滿足，，．

令，求數(shù)列和的通項公式；

設(shè)，若對一切都有，求的值；

在的條件下，求數(shù)列的前項和．

答案和解析1.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由是和的等比中項，得，即，

解得．

；

保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入，

則新數(shù)列的前項為：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．

則

．

【解析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前項和，以及分組法求和，是較易題．

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意列關(guān)于的方程，求解，再由等差數(shù)列的通項公式求解；

由題意得新數(shù)列的前項，分組后由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式求解．

2.【答案】解：，，，，設(shè)，則，，又數(shù)列為等差數(shù)列，，，．當時，，，又，，即：，又，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，即：．，且，

．

【解析】本題主要考查等比數(shù)列的判定與證明，考查分組求和，屬于中檔題．

3.【答案】解：由題意得，，又是等比數(shù)列，，，，又，故，又是等差數(shù)列，故為等比數(shù)列，首項，公比，的通項公式為．，，令，則，記的前項和為，，數(shù)列的前項和為．

【解析】本題考查分組求和法，屬于中檔題．

4.【答案】解：由得：，

即，

因為，所以，所以，

又因為，所以，

所以，

所以．

由題設(shè)及得，

且當時，，

即，，

，，，

所以．

【解析】本題考查等比數(shù)列、求和，考查學生的邏輯思維能力和運算能力，屬中檔題．

根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式，列出方程組，解出和公比，則可求出其通項公式；

由可求得，且當時，，可依次求出的值，再求和即可．

5.【答案】解：證明：，，

，

，

當時，也符合上式，

是首項為，公比為的等比數(shù)列；

由得，，

，，

【解析】本題主要考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項以及分組求和的應(yīng)用，屬于中檔題．

把已知的遞推關(guān)系式整理即可證明結(jié)論；

先利用的結(jié)論求出通項公式，再直接利用分組求和即可求解．

6.【答案】解：Ⅰ設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由，

可得，

即有，，

解得，，

則；

Ⅱ若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，

，

則，

由Ⅰ可得，

所以

．

【解析】Ⅰ設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式和恒等式的性質(zhì)，解方程可得首項和公差，進而得到所求；

Ⅱ由等比數(shù)列的通項公式可得，進而得到，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的分組求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．

7.【答案】解：由，得，則，所以．當時，不是等比數(shù)列，符合題意當時，，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，與已知矛盾．綜上，，從而，即．因為，則，由知是首項為，公比為的等比數(shù)列，，所以．設(shè)插入的所有數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則，因為，，，，所以，，，，中包含的前項及的前項，所以．

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等比數(shù)列的判定，等比數(shù)列的通項公式和求和公式，等差數(shù)列的求和公式，屬于較難題．

化簡和變形關(guān)系式，可得，討論是否為即可求解；

由可得，通過等差數(shù)列的求和公式以及比較大小，得出，，，中包含的前項及的前項，分組求和即可．

8.【答案】解：，

即

，

即

，

是以為首項，為公比的等比數(shù)列，

；

由已知

，

；

由知，

，

，

令，

，