第6章 相關(guān)與回歸分析習(xí)題解答

第六章相關(guān)與回歸分析思考與練習(xí)一、判斷題產(chǎn)品的單位成本隨著產(chǎn)量增加而下降，這種現(xiàn)象屬于函數(shù)關(guān)系。答：錯。應(yīng)是相關(guān)關(guān)系。單位成本與產(chǎn)量間不存在確定的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)為0表明兩個變量之間不存在任何關(guān)系。答：.錯。相關(guān)系數(shù)為零，只表明兩個變量之間不存在線性關(guān)系，并不意味著兩者間不存在其他類型的關(guān)系。單純依靠相關(guān)與回歸分析，無法判斷事物之間存在的因果關(guān)系。答：對，因果關(guān)系的判斷還有賴于實質(zhì)性科學(xué)的理論分析。圓的直徑越大，其周長也越大，兩者之間的關(guān)系屬于正相關(guān)關(guān)系。答：錯。兩者是精確的函數(shù)關(guān)系?？傮w回歸函數(shù)中的回歸系數(shù)是常數(shù)，樣本回歸函數(shù)中的回歸系數(shù)的估計量是隨機變量。答：對。當(dāng)抽取的樣本不同時，對同一總體回歸模型估計的結(jié)果也有所不同。答：對。因為，估計量屬于隨機變量，抽取的樣本不同，具體的觀察值也不同，盡管使用的公式相同，估計的結(jié)果仍然不一樣。二、選擇題變量之間的關(guān)系按相關(guān)程度分可分為：b、c、da.正相關(guān)；b.不相關(guān)；c.完全相關(guān)；d.不完全相關(guān)；復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間為：aa.0WRW1；b.—1WRW1；c.—aWRW1；d.—1WRWw3?修正自由度的決定系數(shù)a、b、da.R2WR2；b.有時小于0;c.0WR2W1；d.比R2更適合作為衡量回歸方程擬合程度的指標(biāo)4.回歸預(yù)測誤差的大小與下列因素有關(guān)：a、b、c、da樣本容量;b自變量預(yù)測值與自變量樣本平均數(shù)的離差c自變量預(yù)測誤差；d隨機誤差項的方差三、問答題1．請舉一實例說明什么是單相關(guān)和偏相關(guān)？以及它們之間的差別。答：例如夏季冷飲店冰激凌與汽水的消費量，簡單地就兩者之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行考察，就是一種單相關(guān)，考察的結(jié)果很可能存在正相關(guān)關(guān)系，即冰激凌消費越多，汽水消費也越多。然而，如果我們仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)一般來說，消費者會在兩者中選擇一種消費，也就是兩者之間事實上應(yīng)該是負(fù)相關(guān)。兩者之間的單相關(guān)關(guān)系出現(xiàn)正相關(guān)是因為背后還有天氣等因素的影響，天氣越熱，兩種冷飲的消費量都越多。如果設(shè)法將天氣等因素固定不變，單純考察冰激凌與汽水的消費量，則可能出現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系。像這種假定其他影響因素不變專門考察其中兩個因素之間的關(guān)系就成為偏相關(guān)。2.討論以下幾種場合，回歸方程Y二B+BX+pX+u中回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)t122t33tt取的符號。Yt為商業(yè)利潤率；X2t為人均銷售額；X3t為流通費用率。Yt為糧食銷售量；X2t為人口數(shù)；X3t為人均收入。

Yt為工業(yè)總產(chǎn)值；X2t為占用的固定資產(chǎn)；X3t為職工人數(shù)。Yt為國內(nèi)生產(chǎn)總值；X2t為工業(yè)總產(chǎn)值；X3t為農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值。答：(1)P>0,0<023人均銷售額越大，企業(yè)利潤越高，故此商業(yè)利潤率越高，從而商業(yè)利潤率與人均銷售額呈正相關(guān)關(guān)系；而流通費用率越高，反映商業(yè)企業(yè)的經(jīng)營成本越高，其商業(yè)利潤率就越低(2)0>0，0>023人口數(shù)量越多，對糧食的消費量就越大；人均收入越多，對糧食的購買力就越強，故此這兩個變量皆與糧食銷售量呈正相關(guān)關(guān)系。(3)0>0，0>023固定資產(chǎn)和職工人數(shù)是兩大生產(chǎn)要素，數(shù)量越多，說明生產(chǎn)要素越密集，工業(yè)總產(chǎn)值就越高，所以它們與工業(yè)總產(chǎn)值的關(guān)系為正相關(guān)。(4)0>0，0>0，0>0123因為國內(nèi)生產(chǎn)總值包括三次產(chǎn)業(yè)，所以工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值和全部的國內(nèi)生產(chǎn)總值為正相關(guān)關(guān)系，同時即便某些特殊地區(qū)沒有工業(yè)和農(nóng)業(yè)，仍然有國內(nèi)生產(chǎn)總值，所以，01>0。四、計算題1.設(shè)銷售收入X為自變量，銷售成本丫為因變量?，F(xiàn)根據(jù)某百貨公司12個月的有關(guān)資料計算出以下數(shù)據(jù)：(單位：萬元)Z(X—X)2=425053.73；X=647.88;Z(Y—Y)2=262855.25；Y=549.8;Z(Y—Y)(X—X)二334229.09擬合簡單線性回歸方程，并對方程中回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義做出解釋。計算決定系數(shù)和回歸估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差。對02進(jìn)行顯著水平為5%的顯著性檢驗。假定明年1月銷售收入為800萬元，利用擬合的回歸方程預(yù)測相應(yīng)的銷售成本，并給出置信度為95%的預(yù)測區(qū)間。解：(1)解：(1)Q2工(Y—Y)(X—X)=tt乙(X—X)2t334229.09425053.73二0.7863AA0二Y—0X二549.8—0.7863*647.88二40.3720122)—Y)(X—2)—Y)(X—X)]2r2=X)2(Y—Y)2=0.999834334229.09=0.999834425053.73*262855.25工e2二(1—r2)Z(Y—Y)2二43.6340t11）S=e二2.0889n一2(3)H:p二0,H:p豐00212,,2.0889S=e二2.0889n一2(3)H:p二0,H:p豐00212,,2.0889=0.003204鴿(X—X)2<425053.73t0.7863=245.4120S0.003204P2ta/2(n-2)二t(10)二2.2280.05t值遠(yuǎn)大于臨界值2.228,故拒絕零假設(shè)，說明卩2在5%的顯著性水平下通過了顯著性檢驗。(4)Y=40.3720+0.7863*800二669.41(萬元)S=S,?1+丄+y丿efnZ(Xf-X)2(X一X)2II(800一64788)2―=儷眇訃+三+425053.73=皿9所以，Yf的置信度為95％的預(yù)測區(qū)間為：Y土t,(n—2)S=669.41土2.228*1.0667=669.41土2.3767fa/2ef所以，區(qū)間預(yù)測為：664.64<Y<674.182.對9位青少年的身高Y與體重X進(jìn)行觀測，并已得出以下數(shù)據(jù)：工Y=13.54,工y2=22.9788,工X=472,工X2=28158,iii工XY=803.02ii以身高為因變量，體重為自變量，建立線性回歸方程;計算殘差平方和決定系數(shù);計算身高與體重的相關(guān)系數(shù)并進(jìn)行顯著性檢驗;（自由度為7，顯著水平為0.05的t分布雙側(cè)檢驗臨界值為2.365。）要求：（1）（2）（3）4）對回歸系數(shù)B2進(jìn)行顯著性檢驗。解：工(Y―Y)(X―X)N工XY―工X工Y)St=1~tt1-(X一X)2t(X—X)2N乙X2―(X一X)2ttt二0.02739*803.02-二0.02739*28158-472*4720二Y-0X二13.54/9-0.0273*472/9二0.072712(2)決定系數(shù)：=0.9723(Y-Y)(X-X)]2Z(X-X)2S(Y-Y)2=0.9723殘差平方和工e2=(1—r2)工(Y—Y)2=0.0722t（3）身高與體重的相關(guān)系數(shù)：r=4R2=、0.9723=0.9861H:0=0=0,H:0和0不同時為零012112憶e2S=」=0.1016en—202S（X-X）2檢驗統(tǒng)計量F=—t=245.9134S2eF=t（N-2）1,N-2F值遠(yuǎn)大于臨界值2.365，故拒絕零假設(shè)，說明回歸方程在5％的顯著性水平下通過了顯著性檢驗。（4）H:0=0,H:0豐00212S02Se詳(X-X)2S02Se詳(X-X)2It0.027313404.222=0.00050.027302020.0005=54.6a/20.05(7)=2.365t值遠(yuǎn)大于臨界值2.365，故拒絕零假設(shè)，說明02在5％的顯著性水平下通過了顯著性檢驗。3.我國2004年部分副省級大中城市的有關(guān)資料如下表。城市人均消費支出Y（元/人）人均可支配收入X（元/人）人均儲蓄X（元/人）沈陽721318924222470.93

大連

大連

哈爾濱南京

武漢

濟(jì)南

青島

杭州

寧波

武漢

廣^州

廈門86721037826185.596896894013402.7683501160224994.587793956419175.4684711079815298.7790021108916495.77112131456529083.99112831588223257.837793956419175.46131211688459786.52107391444338261.19資料來源：廈門市統(tǒng)計局網(wǎng)站，其中人均儲蓄根據(jù)儲蓄額與人口數(shù)推算。試根據(jù)該表的資料，⑴擬合以下形式的消費函數(shù)：Yt=0i+02X.t+03X2t+Ut(2)計算隨機誤差項的標(biāo)準(zhǔn)差估計值、修正自由度的決定系數(shù)，并對整個回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗。(3)假設(shè)某一居民家庭人均可支配收入為i2，000元，人均儲蓄為40000元，試預(yù)測其人均消費支出，并給出置信度為95%的預(yù)測區(qū)間。解：(1)回歸分析的EXCEL操作步驟為：步驟一：首先將數(shù)據(jù)粘貼導(dǎo)入EXCEL數(shù)據(jù)表中。步驟二：進(jìn)行回歸分析選擇“工具”一“數(shù)據(jù)分析”一“回歸”，在該窗口中選定自變量和因變量的數(shù)據(jù)區(qū)域，最后點擊“確定”完成操作：選擇“工具”一“數(shù)據(jù)分析”一“回歸”，在該窗口中選定自變量和因變量的數(shù)據(jù)區(qū)域，最后點擊“確定”完成操作：得到回歸分析的輸出結(jié)果見下圖。因此回歸方程為：Y二1596.0116+0.5879X-0.0245Xt1t2t

回歸統(tǒng)計MultipleRRSqi_i；areAdjustedRSc標(biāo)準(zhǔn)誤差踮則值0.984881770.969992110.96332369369.37162412方差分析dfSSMSFmific：；anc：eF回歸分析23969193719845969145.46061.4E-071F91227919136435.41140919856Coefficient標(biāo)準(zhǔn)誤差tStatP-valueLower95%Upper95%下限95.0%±限95.0%InterceptX\Wiable1X\Wiable21596.01156520.91993.0638330.013488417.60882774.4143417.608822774.41430.587926420.0600959.7832824.29E-060.4519820.72387080.45198210.72387080.024500730.0133011.8420420.098591-0.005590.0545894-0.0055880.054589^(2)隨機誤差項的標(biāo)準(zhǔn)差估計值為：S=369.3716,修正的決定系數(shù)為：R2=0.9633。h:二o,h:隊p和B不同時為零01231123F=145.4606遠(yuǎn)大于F統(tǒng)計量的臨界值4.10，說明回歸方程在5%的顯著性水平下通過檢驗。(3)預(yù)測點估計值為：C二1596.0116+0.5879*12000-0.0245*40000二9631.158f使用EXCEL進(jìn)行區(qū)間估計步驟如下：步驟一：構(gòu)造工作表步驟二：為方便后續(xù)步驟書寫公式，定義某些單元格區(qū)域的名稱首先，定義F6、F7、F8的名稱：選定E6：F8區(qū)域，然后執(zhí)行菜單命令“插入”一“名稱”一“指定”，

在調(diào)出的對話框中選中“最左列”，單擊“確定”：其次，定義B2：D13的名稱：先選定該區(qū)域，然后執(zhí)行然后執(zhí)行菜單命令“插入”一“名稱”一“定義”:

調(diào)出“定義名稱”對話框，輸入名稱“X”,單擊“確定”。最后，采用同樣方法，將B15：D15定義為“Xf”，將F2：F4定義為“B”。步驟三：計算點預(yù)測值Cf在F6中輸入公式“=MMULT(Xf,B)”，按回車鍵即可。步驟四：計算t臨界值在F7中輸入公式“=TINV(1-0.95,12-3)”，按回車鍵即可。步驟五：計算預(yù)測估計誤差的估計值Sef在F5中輸入公式：“=MMULT(MMULT(Xf,MINVERSE(MMULT(TRANSPOSE(X),X))),TRANSPOSE(Xf))然后按“Ctrl+Shift+Enter”組合鍵即可。再計算S，在F8中輸入公式“=369.3716*SQRT(1+F5)”。369.3716為回歸估計標(biāo)準(zhǔn)差。e

步驟六：計算置信區(qū)間上下限在F9、F10中分別輸入公式“=Cf-t臨界值*Sef”和“=Cf+t臨界值*Sef”。結(jié)果為:FG區(qū)間預(yù)測P11596.0116B20.5879264卩30.02450070.2802868Cf9631.157834Sef2.262157158t臨界值417.943076置信區(qū)間下限8685.704963置信區(qū)間上限10576.61081最終得出C的區(qū)間預(yù)測結(jié)果：f8685.7050<C<10576.6108f4.設(shè)有以下資料試擬合以下總成本函數(shù)Y=p+PX+PX2+PX3+ut12t3t4tt根據(jù)總成本函數(shù)推導(dǎo)出平均成本函數(shù)，并描出平均成本函數(shù)的圖形。試根據(jù)以上結(jié)果推算總產(chǎn)量為1550時的單位產(chǎn)品平均成本。某企業(yè)近年來總成本與產(chǎn)量年份總成本Y產(chǎn)量X年份總成本Y產(chǎn)量X199732900400200386300900199852400600200413900012001999424005002005115700110020006290070020061548001300200174100800200717870014002002100000100020082031001500解：構(gòu)造EXCEL數(shù)據(jù)表，并與前面所述的同樣步驟進(jìn)行回歸分析，得到相應(yīng)的回歸分析結(jié)果(見下頁)。得到的回歸方程為：Y=480.8525+83.7399X-0.0177X2+0.0000348X3ttttttIicrosoftExcel-統(tǒng)計學(xué)第六章習(xí)題囲文件込編輯⑥視閤②插入①格式迫）工具⑴數(shù)據(jù)?窗口⑩幫」SLUiIM^YOUTPUT回歸統(tǒng)計MultipleR0.999717649RSqu：SLUiIM^YOUTPUT回歸統(tǒng)計MultipleR0.999717649RSqu：are0.999435378Adjust已dRS(0.999223644標(biāo)準(zhǔn)誤差1543.729057觀狽値12dfSSMSFSisnific：；anc：eF方差分析r

一回殘總一333746497705112488325684720.r

一回殘總一333746497705112488325684720.2532.50055E-138190兩95.2亦3099.40111血窕500Intereept480.852480810052.948450.0478319850.963023-22701.3032123663.01-22701.323663.0082XV；ariable183.7298812336.699701382.2814867180.051951-0.89983663168.3596-0.899837168.359599XVariable2-0.0177355980.041097295-0.431551460.677462-0.1125061910.077035-0.1125060.077035XV：3riable33.47708E-051.43437E-052.4241190370.0415821.69418E-066.78E-051.694E-066.7847E-05Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差tStatPmlueLower95%Upper95%下卩艮95.0%上卩艮95.0%（2）求平均成本函數(shù)：因為平均成本y與總成本Y的關(guān)系為：y=仃，所以tttXt480.8525X+480.8525X+83.7399-0.0177Xt+0.0000348X2t□QDigd=ABCDE1年份總成本產(chǎn)量產(chǎn)量的平方產(chǎn)量的立方213290040016000064000000325240060036000021600000043424005002500001250000005462900700490000343000000657410080064000051200000076100000100010000001000000000878630090081000072900000098139000120014400001728000000109115700110012100001331000000111015480013001690000219700000012111787001400196000027440000001312203100150022500003375000000

將產(chǎn)量從1到2，000取值，代入上式，獲得2000個平均成本的數(shù)據(jù)點，描出平均成本函數(shù)的圖形，見圖7-15。平均成本曲線000000654本成均平0000000321101201301401501601701801產(chǎn)量901100111011201嚴(yán)000000654本成均平0000000321101201301401501601701801產(chǎn)量901100111011201嚴(yán)14011501]601170118011901平均成本圖7-15由圖可知，平均成本隨著產(chǎn)量的增加顯示下降，達(dá)到一最低值之后，又會隨著產(chǎn)量的增加而提高。（3）預(yù)測：當(dāng)X二1550時，f480.8525y=+83.7399-0.0177X+0.0000348X2fXfff=140.0867五、證明題1．試證明斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)是前面介紹的樣本相關(guān)系數(shù)的特例。證明:X和Y序列排列后的等級記為R和R，斯皮爾曼等級r表示為:xyscov(R,R)工(R-R)(R-R)cov(R,R)xixyiy顯然，Rx2顯然，Rx2(R-R)2xixi=1i=1n+1，記：等級差d2i工(R-R)2yiy=R—R，貝y：xiyi-R)2二工(R-R)2xyiyi=1:工(R--R)2二工(R-R)2xyiyi=1'xixyiyxi”i=1i=1i=1=12+22+32+(n^)2=n(n2-D212

工(R-R)(R-R)工RR-n(n^1)2xixyi工(R-R)(R-R)工RR-n(n^1)2xixyiyxiyi2r=-i=i=i-1sn(n2-1)n(n2-1)1212工R2-工dR-n(n+1)2yiyi2—-i-4i-1-n(n2-1)工R2+工dR-￡2-n(n+1)2yiixii2—-t—1i—1i—n(n2-1)1212對r進(jìn)行以上類似分解，容易得出HdR-工dR，上式可轉(zhuǎn)化為:sixiiyii—1i—1》R2+￡r-Yd2-n(n+1)2yiiyii2r—-i—ii—ii—^-sn(n2