七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題1.4 有理數(shù)的乘除【九大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版）

/專題1.4有理數(shù)的乘除【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有理數(shù)乘除法則概念辨析】 1【題型2倒數(shù)的概念及運(yùn)用】 2【題型3有理數(shù)乘除法的簡(jiǎn)單混合運(yùn)算】 3【題型4有理數(shù)乘除法運(yùn)算律的運(yùn)用】 4【題型5有理數(shù)乘除法的運(yùn)算步驟問(wèn)題】 5【題型6有理數(shù)乘除法與絕對(duì)值的綜合】 7【題型7有理數(shù)乘除法中的規(guī)律計(jì)算】 9【題型8有理數(shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用】 10【題型9有理數(shù)乘除法中的新定義問(wèn)題】 13【知識(shí)點(diǎn)1有理數(shù)乘法的法則】①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．②任何數(shù)同零相乘，都得0．

③多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．【知識(shí)點(diǎn)2有理數(shù)除法的法則】①有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).②兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．【題型1有理數(shù)乘除法則概念辨析】【例1】（2022?金堂縣月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．5個(gè)有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)為3個(gè)時(shí)，積為負(fù) B．﹣1乘以任何有理數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù) C．3個(gè)有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，則這3個(gè)有理數(shù)都為負(fù)數(shù) D．絕對(duì)值大于1的兩個(gè)數(shù)相乘，積比這兩個(gè)數(shù)都大【變式1-1】（2022春?埇橋區(qū)校級(jí)期中）在下列各題中，結(jié)論正確的是（）A．若a＞0，b＜0，則ba＞0 B．若a＞b，則a﹣bC．若a＜0，b＜0，則ab＜0 D．若a＞b，a＜0，則ba【變式1-2】（2022?廣東一模）已知a+b＞0且a（b﹣1）＜0，則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞1 B．a(chǎn)＜﹣1，b＞1 C．﹣1≤a＜0，b＞1 D．a(chǎn)＜0，b＞0【變式1-3】（2022?武昌區(qū)校級(jí)期中）下列說(shuō)法：①若a、b互為相反數(shù)，則ab=?1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，則|a+b|＝﹣|a|+|b|；③幾個(gè)有理數(shù)相乘，如果負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則積為負(fù)；④當(dāng)x＝1時(shí)，|x﹣4|+|x+2|有最小值為5；⑤若abA．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【知識(shí)點(diǎn)3倒數(shù)的概念】乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．①“互為倒數(shù)”的兩個(gè)數(shù)是互相依存的；②0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒(méi)有倒數(shù)；③倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)；④互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(hào)(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))．【題型2倒數(shù)的概念及運(yùn)用】【例2】（2022秋?溫江區(qū)月考）若3a﹣12沒(méi)有倒數(shù)，則a＝；已知m﹣11的倒數(shù)為?17，則m+1的相反數(shù)是【變式2-1】（2022?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如果a+3的相反數(shù)是﹣513，那么a的倒數(shù)是【變式2-2】（2022秋?貴港期末）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為2．（1）直接寫出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+a+b【變式2-3】（2022?大邑縣期末）已知a與2互為相反數(shù)，x與3互為倒數(shù)，則代數(shù)式a+2+|﹣6x|的值為（）A．0 B．﹣2 C．2 D．無(wú)法確定【題型3有理數(shù)乘除法的簡(jiǎn)單混合運(yùn)算】【例3】（2022?鄂托克旗期末）下列計(jì)算正確的是（）A．﹣30×37?20×（?B．（?23+4C．（12?13）÷（13D．?45÷（+【變式3-1】（2022?東昌府區(qū)校級(jí)月考）（1）（?35）×（﹣312（2）[（+17）﹣（?13）﹣（【變式3-2】（2022?安圖縣期末）計(jì)算：（1）619÷（﹣112（2）﹣125×0.42÷（﹣7）【變式3-3】（2022?沙市區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（?35）×（﹣312（2）（﹣8）÷23×【題型4有理數(shù)乘除法運(yùn)算律的運(yùn)用】【例4】（2022?諸城市期中）寫出下列運(yùn)算中每一步所依據(jù)的運(yùn)算律或法則：（﹣0.4）×（﹣0.8）×（﹣1.25）×2.5＝﹣（0.4×0.8×1.25×2.5）（第一步）＝﹣（0.4×2.5×0.8×1.25）（第二步）＝﹣[（0.4×2.5）×（0.8×1.25）]（第三步）＝﹣（1×1）＝﹣1．第一步：；第二步：；第三步：．【變式4-1】（2022?平谷區(qū)期末）計(jì)算：（12【變式4-2】（2022?紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算（1）991718（2）（﹣5）×（﹣367）+（﹣7）×（﹣367）+12×（﹣3【變式4-3】（2022?紅河州校級(jí)期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：（1）﹣13×23?0.34×（2）（?1【題型5有理數(shù)乘除法的運(yùn)算步驟問(wèn)題】【例5】（2022?利辛縣月考）下面是小明同學(xué)的運(yùn)算過(guò)程．計(jì)算：﹣5÷2×1解：﹣5÷2×12=?＝﹣5÷1…第2步＝﹣5…第3步請(qǐng)問(wèn)：（1）小明從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程．【變式5-1】（2022?海陵區(qū)期中）計(jì)算：（?109）×（解：（?109）×（=?10=?2（1）找錯(cuò)：第步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）糾錯(cuò)：【變式5-2】（2022?德州校級(jí)月考）閱讀下面解題過(guò)程：計(jì)算：5÷（13?2解：5÷（13?2＝5÷（?25＝5÷（﹣25）…②=?1回答：（1）上面解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第步，錯(cuò)因是，第二處是，錯(cuò)因是．（2）正確結(jié)果應(yīng)是．【變式5-3】（2022秋?無(wú)為縣月考）閱讀下列材料：計(jì)算：124÷（解法一：原式=124÷13?1解法二：原式=124÷（412?解法三：原式的倒數(shù)＝（13?14+112）÷124所以，原式=1（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法是錯(cuò)誤的；（2）請(qǐng)你選擇合適的解法計(jì)算：（?142）÷（【題型6有理數(shù)乘除法與絕對(duì)值的綜合】【例6】（2022?余姚市校級(jí)期中）（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc＞0，求|a|a（2）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc＜0，求|a|a（3）若a，b，c為三個(gè)不為0的有理數(shù)，且|a|a+|b|【變式6-1】（2022?雁峰區(qū)校級(jí)期末）已知非零有理數(shù)a，b，c滿足ab＞0，bc＞0．（1）求|ab|ab（2）若a+b+c＜0，求|a|a【變式6-2】（2022?河西區(qū)期中）已知|x|＝3，|y|＝7（1）若x＜y，求x﹣y的值；（2）若xy＞0，求x+y的值；（3）求x2y﹣xy2+21的值．【變式6-3】（2022?雨花區(qū)月考）若a+b+c＜0，abc＞0，則ab|ab|+2?|?bc|bc?3?A．6 B．8 C．10 D．7【題型7有理數(shù)乘除法中的規(guī)律計(jì)算】【例7】（2022?上蔡縣期中）考察下列每一道算式，回答問(wèn)題：算式：63×67＝422172×78＝5616561×569＝31920091814×1816＝3294224（1）兩個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)字之和是多少？其余各位上的數(shù)字有何特征？（2）根據(jù)四個(gè)式子的計(jì)算，請(qǐng)你猜想符合上述特征的兩個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)律．（3）再舉兩道符合上述特征的計(jì)算題，并用你猜想的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．【變式7-1】已知C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=【變式7-2】（2022?夏邑縣期中）有一列數(shù)a1，a2，a3，…an，若a1=1（1）試計(jì)算a2，a3，a4；（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，試猜測(cè)a2016、a2017的值．【變式7-3】（2022?廈門期末）已知一些兩位數(shù)相乘的算式：62×11，78×69，34×11，63×67，18×22，15×55，12×34，54×11利用這些算式探究?jī)晌粩?shù)乘法中可以簡(jiǎn)化運(yùn)算的特殊情形：（1）觀察已知算式，選出具有共同特征的3個(gè)算式，并用文字描述它們的共同特征；（2）分別計(jì)算你選出的算式．觀察計(jì)算的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)不經(jīng)過(guò)乘法運(yùn)算就可以快速、直接地寫出積的規(guī)律嗎？請(qǐng)用文字描述這個(gè)規(guī)律；（3）證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（4）在已知算式中，找出所有可以應(yīng)用（或經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化可以應(yīng)用）上述規(guī)律的算式，并將它們寫在橫線上：．【題型8有理數(shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2022?江寧區(qū)校級(jí)月考）天龍頂國(guó)家山地公園，位于岑溪市南渡鎮(zhèn)吉太附近，距岑溪市35公里，天龍頂是桂東最高峰，史上早已成名，被譽(yù)為“土主龍樓”天龍頂形成于遠(yuǎn)古冰川，由整塊紅色砂巖劈鑿而成，拔地而起，是極限攀巖、野外露營(yíng)及登山愛(ài)好者的天堂．某年寒假，小昌與小勇一起去游天龍頂，他們想知道山的高度．小昌說(shuō)可以利用溫度計(jì)測(cè)量山峰的高度，小昌在山頂測(cè)得溫度約是﹣1℃，小勇此時(shí)在山腳測(cè)得溫度約是8.6℃，已知該地區(qū)每年增加100米，氣溫大約下降0.8℃，小昌很快算出了答案，你知道天龍頂?shù)母叨燃s是多少米嗎？【變式8-1】（2021秋?北京期中）媽媽身高多少厘米？【變式8-2】（2022?常州期中）某原料倉(cāng)庫(kù)一天的原料進(jìn)出記錄如下表（運(yùn)進(jìn)用正數(shù)表示，運(yùn)出用負(fù)數(shù)表示）：進(jìn)出數(shù)量（單位：噸）﹣34﹣12﹣5進(jìn)出次數(shù)21332（1）這天倉(cāng)庫(kù)的原料比原來(lái)增加或減少了多少噸？（2）根據(jù)實(shí)際情況，現(xiàn)有兩種方案：方案一：運(yùn)進(jìn)每噸原料費(fèi)用5元，運(yùn)出每噸原料費(fèi)用8元；方案二：不管運(yùn)進(jìn)還是運(yùn)出費(fèi)用都是每噸原料6元；從節(jié)約運(yùn)費(fèi)的角度考慮，選用哪一種方案較合適？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-3】（2022?臺(tái)灣）碳足跡標(biāo)簽是一種碳排放量的標(biāo)示方式，讓大眾了解某一產(chǎn)品或服務(wù)所產(chǎn)生的碳排放量多寡，如圖所示．碳足跡標(biāo)簽的數(shù)據(jù)標(biāo)示有其規(guī)定，以碳排放量大于20公克且不超過(guò)40公克為例，此范圍內(nèi)的碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示只有20、22、24、…、38、40公克等11個(gè)偶數(shù)；碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示決定于碳排放量與這11個(gè)偶數(shù)之中的哪一個(gè)差距最小，兩者對(duì)應(yīng)標(biāo)示的范例如下表所示．碳排放量碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示20.2公克20公克20.8公克20公克21.0公克20公克或22公克皆可23.1公克24公克請(qǐng)根據(jù)上述資訊，回答下列問(wèn)題，并詳細(xì)解釋或完整寫出你的解題過(guò)程．（1）若有一個(gè)產(chǎn)品的碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示為38公克，則它可能的碳排放量之最小值與最大值分別為多少公克？（2）承（1），當(dāng)此產(chǎn)品的碳排放量減少為原本的90%時(shí)，請(qǐng)求出此產(chǎn)品碳足跡數(shù)據(jù)標(biāo)示的所有可能情形．【題型9有理數(shù)乘除法中的新定義問(wèn)題】【例9】（2022?大安市期末）若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定有理數(shù)a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【變式9-1】（2022?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）定義：對(duì)于一個(gè)兩位自然數(shù)，如果它的個(gè)位和十位上的數(shù)字均不為零，且它正好等于其個(gè)位和十位上的數(shù)字的和的n倍（n為正整數(shù)），我們就說(shuō)這個(gè)自然數(shù)是一個(gè)“n喜數(shù)”．例如：24就是一個(gè)“4喜數(shù)”，因?yàn)?4＝4×（2+4）；25就不是一個(gè)“n喜數(shù)”，因?yàn)?5≠n（2+5）．（1）判斷44和72是否是“n喜數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)求出所有的“7喜數(shù)”之和．【變式9-2】（2022?豐臺(tái)區(qū)期末）“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的一種計(jì)算方法，最早在15世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計(jì)算46×71，將乘數(shù)46寫在方格上邊，乘數(shù)71寫在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字乘以乘數(shù)71的每位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)的方格中，最后沿斜線方向相加得3266．（1）如圖2，用“格子乘法”計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則x＝，y＝；（2）如圖3，用“格子乘法”計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相乘，得2176，則m＝，n＝；（3）如圖4，用“格子乘法”計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則k＝．【變式9-3】（2022?靖江市期中）小聰是一個(gè)聰明而又富有想象力的孩子．學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方”后，他就琢磨著使用“乘方”這一數(shù)學(xué)知識(shí)，腦洞大開(kāi)地定義出“有理數(shù)的除方”概念．于是規(guī)定：若干個(gè)相同有理數(shù)（均不能為0）的除法運(yùn)算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，類比有理數(shù)的乘方．小聰把5÷5÷5記作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）記作f（4，﹣2）．（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果，f（4，12）＝，f（5