2023年高考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷全國乙卷理科含解析

2023年高考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（全國乙卷理科）一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知集合，.若.則實(shí)數(shù)（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【詳解】因?yàn)榧希?，且，所?故選：B2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．5【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?所以.故選:B.3．已知向量，的夾角為，，，則向量在向量方向上的投影為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【詳解】向量在向量方向上的投影為，，，則向量在向量方向上的投影為，故選：D.4．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為，則（

）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【詳解】已知表示第n行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的一白一黑兩個(gè)圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈2個(gè)黑圈，∴，又∵;;;;;,故選：A.5．橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且直線斜率取值范圍是，那么直線斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，，，于是，故.∵∴.故選：B.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，，當(dāng)時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，，當(dāng)時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，，，當(dāng)時(shí)，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出結(jié)果為：，故選：C．7．河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺．已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為，高為2，體積為，則該“方斗”的側(cè)面積為（

）A．24 B．12 C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，記正四棱臺為，其底面為正方形，側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，把該四棱臺補(bǔ)成正四棱錐如圖，設(shè)是底面上與的交點(diǎn)，是底面上與的交點(diǎn)則是正四棱錐的高，為正四棱臺的高，設(shè)，，則上、下底面的面積分別為、，由題意，所以，在中，，所以為PA的中點(diǎn)，在中，，所以，所以，又，解得，，所以，所以側(cè)棱長是，由勾股定理可得側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.故選：D8．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，因?yàn)?，所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即.因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于或，所以，解不等式得或，所以，的取值范圍是.故選：D9．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長為3的正三角形，SC為球O的直徑，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)的中心為，連接，的延長線交球面于點(diǎn)D，連SD，顯然CD是外接圓的直徑，則，而平面ABC，則平面ABC，因正邊長為3，則，，又，而，解得，在中，球O的直徑，球O的半徑，所以三棱錐的外接球的體積為.故選：D10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，記事件為“從數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩項(xiàng)，兩項(xiàng)均為負(fù)數(shù)”，為事件發(fā)生的概率，現(xiàn)有如下說法：①；②；③．則正確說法的個(gè)數(shù)為（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得，化簡得，故，，故，則，故①正確；，，可知，要證，即證，即證，這顯然成立，故②正確；，故，則，要證，即證，即證，這顯然錯(cuò)誤，故③錯(cuò)誤．故選：C．11．如圖，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，若對于線段上的任意點(diǎn)，都有成立，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】取中點(diǎn)，連接，，，，則，恒成立，，又，，設(shè)，由得：，根據(jù)雙曲線定義可知：，，，即，，，，又，，，則離心率.故選：D.12．已知函數(shù)，，的定義域均為，為的導(dǎo)函數(shù).若為偶函數(shù)，且，.則以下四個(gè)命題：①；②的圖象關(guān)于直線對稱；③；④中一定成立的是（

）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】D【詳解】對②：由，可得，則（與為常數(shù)），令，則，所以，則，故的圖象關(guān)于直線對稱，②正確；對①：∵為偶函數(shù)，則，∴，則為奇函數(shù)，故，即，則是以4為周期的周期函數(shù)，由，令，則，可得，故，①正確；由，令，則，即，令，則，即，故，則，對③：由，即，則，由于無法得出的值，③錯(cuò)誤；對④：，④正確.故選：D.二、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知隨機(jī)事件A、互相獨(dú)立，且，，則_______．【答案】0.42##【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：0.4214．若直線截取圓所得弦長為2，則______.【答案】0或4【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由弦長公式可得，解得0或4，故答案為：0或415．定義在上的函數(shù)有零點(diǎn)，且值域，則的取值范圍是__________．【答案】【詳解】，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橹涤?，所以，解得，綜上，.故答案為：.16．關(guān)于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍是______．【答案】【詳解】，即，設(shè)，恒成立，故單調(diào)遞增.原不等式轉(zhuǎn)化為，即，即在上恒成立.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，即，解得.故答案為：.三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．其中第17—21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必做題（共60分，每題12分．）17．a(chǎn)，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中項(xiàng)，且的周長為6，求外接圓的半徑．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，由，因?yàn)?，所以，于是由，因?yàn)椋?；?）因?yàn)閏是a，b的等比中項(xiàng)，所以，因?yàn)榈闹荛L為6，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以外接圓的半徑為.18．如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點(diǎn)，且滿足.將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐.(1)設(shè)平面平面，證明：⊥平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）平面平面，平面.平面，平面平面，.由圖①，得，.平面，平面；（2）由題意，得.又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，令，得，故.設(shè)與平面所成角為.直線與平面所成角的正弦值為.19．為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積劃分為200個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取20個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…經(jīng)計(jì)算得：．(1)利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數(shù)量y一致，（?。┍容^前者與后者的斜率大小，并證明；（ⅱ）求這兩條直線的公共點(diǎn)坐標(biāo)．附：y關(guān)于x的回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：．【答案】(1)(2)（?。┣罢咝甭市∮诤笳?，證明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）解：,，故回歸方程為；（2）解：（ⅰ）設(shè)前者和后者的斜率分別為，x關(guān)于y的線性回歸方程為，則，為與的相關(guān)系數(shù)，又，故，即，下證：，若，則，即恒成立，代入表格中的一組數(shù)據(jù)得：，矛盾，故，即前者斜率小于后者；（ⅱ）注意到，兩直線都過，且，故公共點(diǎn)僅有．20．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在短軸上，且．(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，求（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)在短軸上，且，所以，，解得，因?yàn)?，所以，，所以，的方程為；?）解：設(shè)聯(lián)立方程得，所以，即，所以，所以，，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值為.21．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，或；【詳解】（1）由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，則；由，故，所以是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，故.（2）由（1）知：，要使，即恒成立，令且，則，若，即，則，在上，遞增，上，遞減，所以在有最大值，又，對于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，故存在或使恒成立.（二）選考題（共10分，請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．）22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)，若直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)C：，直線l：(2)【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），所以，所以即曲線C的普通方程為．直線l的極坐標(biāo)方程為