解析幾何專題含答案

橢圓專題練習(xí)1.【2017浙江，2】橢圓三+蘭=1的離心率是94A.亙B.叵C.2D.533392.【2017課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：x2 y2+=1，a2 b2(a〉b〉0)的左、右頂點(diǎn)分別為A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab二0相切，則C的離心率為A.也B.迢C.互D.133333.【2016高考浙江理數(shù)】已知橢圓C: x21+y2=1(m>1)與雙曲線C:2m2乂-y2=l(n〉0)的焦點(diǎn)重合，e,e分別為C,C的離心率，則()n2 12 12A.m〉n且ee>1 B.m〉n且ee<1C.m〈n且ee>1D.m<n121212且ee<112【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓c:蘭+21=i(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A,B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，a2b2且PF丄x軸?過點(diǎn)A的直線與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()TOC\o"1-5"\h\z(A)1 (B)丄(C)2 (D)33 2 3 4【2015高考新課標(biāo)1，理14】一個(gè)圓經(jīng)過橢圓蘭+蘭=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且16 4圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【2016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓乂+蘭二l（a〉b〉0）的右焦點(diǎn)，直線y二-與橢圓交于B,C兩點(diǎn)，且ZBFC二90,a2b2 2O則該橢圓的離心率是.【2017課標(biāo)1,理20】已知橢圓C：乂+22=1(a>b>0),四點(diǎn)P(1,1),a2b2 1P(0,1),PP(0,1),P(-1,23遇),P(1,亨）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線PA與直線PB222的斜率的和為-1,證明：l過定點(diǎn).【2017課標(biāo)II，理】設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：乂+y2二1上，過2M作x軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足NP=J2nM。（1） 求點(diǎn)P的軌跡方程；（2） 設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且OP-PQ=E證明：過點(diǎn)P且垂直于0Q的直線l過C的左焦點(diǎn)F?！?017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:蘭+蘭=1（a〉b〉o）a2b2的離心率為邁，焦距為.2（I） 求橢圓E的方程；（II） 如圖，動(dòng)直線：y二kx-旦交橢圓E于AB兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k，且kk二2，M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且\MC\:\AB\=2:3，2 12 4M的半徑為\MC\，OS,OT是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T?求ZSOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.【2017天津，理19】設(shè)橢圓乂+塁二1（a〉b〉0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，a2b2離心率為1.已知A是拋物線y2二2px（p〉0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離2為1.2（I） 求橢圓的方程和拋物線的方程；（II） 設(shè)上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B（B異于點(diǎn)A）,直線BQ與軸相交于點(diǎn)D.若AAPD的面積為半，求直線AP的方程.11.【2017江蘇，17】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:壬+芒=1（a〉b〉0）a2b2的左、右焦點(diǎn)分別為F,F，離心率為丄，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在122橢圓e上，且位于第一象限，過點(diǎn)f作直線PF的垂線，過點(diǎn)F作直線PF的1122垂線.（1）求橢圓（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓x2+y2+2x-15二0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與X軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I） 證明|EA|+|EB內(nèi)定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II） 設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C,直線l交C于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直11線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：蘭+蘭=1(a>b>0)?的離心率是衛(wèi)，拋物線a2b2 2E：X2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).求橢圓C的方程；設(shè)p是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M在定直線上；直線與y軸交于點(diǎn)G,記MFG的面積為S，△pdm的面積為S，求和1 2s2的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(I)x2+4y2=1;(II)(i)見解析；(ii)§的最大值為9，此時(shí)2點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2丄)24【解析】試題分析：(I)根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；(II)(i)由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；(ii)分別列出Si，S2面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：(II)(i)設(shè)P(m, )(m>0)，由x2=2y可得y/=x2所以直線的斜率為m因此直線的方程為y-牛=m(x-m)，即y=mx-牛m2設(shè)A(x,y),B(x,y),D(x,y)，聯(lián)立方程 mx2112200x2+4y2二1得(4m2m2設(shè)A(x,y),B(x,y),D(x,y)，聯(lián)立方程 mx2112200x2+4y2二1得(4m2+1)x2一4m3x+m4一1=0,由A>0得0<m<丫2+v'5且x+x124m3,4m2+1因此x=82=2m30 2 4m2+1將其代入y=mx-蘭得y2 0m22(4m2+1)因?yàn)槿?一丄x 4m0所以直線OD方程為1y=-x4m聯(lián)立方程14mx，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yMx=m即點(diǎn)m在定直線y=-4上-（⑴由⑴知直線方程為y=mx-等令x=0得y=-m，所以G(0,-竺)22又P(m,竽),F(0,2),D(尹鼻, 產(chǎn)1)2 2 4m2+12(4m2+1)所以S=—IGFIm=-m(m2+1)1 2 4I=m(2m2+1)28(4m2+1)S 2(4m2+1)(m2+1)—=S (2m2+1)22令t=2m2+1貝寸￡=⑵-l)令t=2m2+12當(dāng)1=1，即t=2時(shí)，仝取得最大值9，此時(shí)m=□，滿足A>0t2 S 4 22所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（^丄），因此2的最大值為9，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（蘭丄）24 S 4 242考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).【2015江蘇高考，18】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓乂+蘭=i（a>b>0）的離心率為遼，a2b2 2且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C,若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）三+y2=1（2）y=x-1或y=-x+12【解析】試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可:一是離心率為22二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得（2）因?yàn)橹本€AB過F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長(zhǎng)，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程（2）當(dāng)AB丄x軸時(shí)，AB=^，又CP二3，不合題意.當(dāng)AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x—1），A（x,y），B（x,y）1122將AB的方程代入橢圓方程，得（1+2k2）x2—4k2x+2（k2—1）=0則x=1,2'2k2 則x=1,2'2k2 —k'、1+2k2'1+2k2丿E+(y廠y)=&+kJg—珥)2=2巨(1+k2)22±J2+k2），C的坐標(biāo)為1+2k2，且1+2k2若k=0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.從而k豐0，故直線PC從而k豐0，故直線PC的方程為y+芯=—12(3k2+1X1+k2|k|(1+2k2)@2八嚇=朋C+k2)，解得k=±15k2+2、

kG+2k2)

丿20k2+1A/1+k2|k|G+2k2) 1+2k2此時(shí)直線AB方程為y=x—1或y=—x+1則點(diǎn)的坐標(biāo)為-2,因?yàn)镻C二2AB，所以，從而PC二( 2k2)x— 1+2k2丿考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓三+21=1（a>壽）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，已知a2 3

求直線的斜率的取值范圍.【答案】（I）巳+22=i（II）C][邁,+q4344【解析】試題分析：（I）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由1+丄=空，得IOFIIOAIIFAI-+—=3c 再利用a2-c2=b2=3,可解得c2=1,a2=4（II）先化簡(jiǎn)條件:caa（a一c）,ZMOA=ZMAOoIMA1=1MOI即M再OA中垂線上，x=1再利用直線與橢M，圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求B；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)BF丄HF列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍試題解析：（1）解：設(shè)F（c,0），由丄+丄=空，即—+—=」，可IOFIIOAIIFAIcaa（a-c）得a2-c2=3c2，又a2-c2=b2=3，所以c2=1，因此a2=4，所以橢圓的方程為x2y2+=14 3（2）（II）解：設(shè)直線的斜率為k（"0），則直線的方程為y=k（x-2）?設(shè)B(x,y)BBxB(x,y)BBx2 y2，由方程組+t=1y=k(x-2)消去y，整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0解得x=2或x=8k2-3由題意得x=竺三，從而yB4k2+3 B-12k4k2+3由（I）由（I）知,BF=(9^，丄L)?由4k2+34k2+3F(1,0)，設(shè)H(0,y)，有FH=(-1,y)HHBF丄H'得莎-HF=0'所以罟+黑=°'解得兒=詈?因此直線MH的方程為y=-—x+晉'__1 A4疋 盧設(shè)Mg沁，由方程組*"丘"+12k消去了p解得咖=疋:-在AMAO中設(shè)Mg沁，由方程組*￡MOA<lZMAO<^MA\^MO\,即(冷■對(duì)十瑋占迅扌此，化簡(jiǎn)得為21，即誰::嚴(yán)解所以，直線的斜率的取值范圍為C][蘭,+^)44考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程16.【2015高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C:乂+蘭=l(a>b>0)的a2b2離心率為迢，左、右焦點(diǎn)分別是F,F，以F為圓心以3為半徑的圓與以F為圓心以12 l2 l 2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.(I)求橢圓C的方程;(II)設(shè)橢圓E:工+蘭=1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y=kx+m4a24b2交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(i)求㈣的值；|OP(ii)求AABQ面積的最大值.【答案】(I)蘭+y2=1;(II)(i)2；(ii)6爲(wèi)4【解析】試題分析：(I)根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定a,b的值，從而得到橢圓的方程；(II)(i)設(shè)P(x,y)，㈣“，由題意知Q(-Xx+)，然ooOP o0后利用這兩點(diǎn)分別在兩上橢圓上確定九的值；（ii）設(shè)A（x,y）,B（x,y），利1122y=kx+m用方程組<x2y2結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)|AB|，選將AOAB的面積表示成關(guān)——+——=1〔16 4于k,m于k,m的表達(dá)式s=2m2^16k2+4-m2也-xJ二 市L4-1+4k2丿1+4k2m，然后,令丄二=t，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出AOAB的1+4k2面積的最大值，并結(jié)合（i）的結(jié)果求出△丄匸；面積的最大值.試題解析：⑴由題意知2a=4，則a=2，又c罟a2-c2=b2可得b=+4k2所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為于++4k2（H）由⑴知橢圓E的方程為話+普=1(i)設(shè)P(x,y)，―^--=x，由題意知Q(-九x，一九y)因?yàn)獒t(yī)+y2=1,(、x2于+y20(、x2于+y20丿_1,所以“2，即陽又(-九x0?+(-Xy0_1,所以“2，即陽16 4 4I4所以lx-x24j16k2+4因?yàn)橹本€y_kx+m與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,m）所以aoa所以aoab的面積s_2m2J16k2+4-m2m1+4k2令冷_t，將y_好+m代入橢圓C的方程可得G+4k2）x2+8kmx+4m2-4_0由A>0，可得m2<1+4k2 ②由①②可知0<t<1因此S=2j（4—t）t=2<-t2+4t，故S<2、打當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即m2=1+4k2吋取得最大值2運(yùn)由（i）知，AABQ面積為3S,所以AABQ面積的最大值為6朽【琴點(diǎn)是位】U牖圓時(shí)掠準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)i2>直線與補(bǔ)圜位割關(guān)系綜合問題$3>函數(shù)的最俏問遢.【名師點(diǎn)睛】本趣考查了橢圓的概念標(biāo)淮方程與幾何性質(zhì)以炭肓線與橢圓的位曙關(guān)系，意在考查學(xué)主理辭力、分析尹晰能力以及綜合剎用所學(xué)知識(shí)解決問題脅訪和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力、在簿到三角形的面積的表達(dá)式后，能習(xí)利用橫元的方法.觀舉出亙中的酬背曇成了堯全解決問題的關(guān)犍.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓E:蘭+蘭=1a2b2（a>b>0）的半焦距為，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)（c,0），（0,b）的直線的距離為-C?2（I） 求橢圓E的離心率；（II） 如圖，AE是圓M:（x+2）2+G—1）2=5的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B2兩點(diǎn)，求橢圓E的方程?【答案】（I） 3;（II）乂+蘭=12 12 3【解析】試題分析：（I）先寫過點(diǎn)（c,0），（0,b）的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)O到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓E的離心率；（II）先由（I）知橢圓E的方程，設(shè)AB的方程，聯(lián)立|y=k（X+2）+1，消去y，可得x+x和XX的值，進(jìn)而可得，再利[x2+4y2=4b2 12 12用|AB|=y10可得b2的值，進(jìn)而可得橢圓E的方程.試題解析：（I）過點(diǎn)（c,0），（0,b）的直線方程為bxcybc0+-=則原點(diǎn)O到直線的距離d則原點(diǎn)O到直線的距離d=bcbc\：b2+c2a由心卜，得“沁2R；，解得離心率c弓(II)解法一：由(I)知，橢圓E的方程為x24y24b2+依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且IABI<10易知，AB不與軸垂直，設(shè)其直線方程為yk(x1)1，代入(1)得++設(shè)A(x,y),B(x,y),貝U設(shè)A(x,y),B(x,y),貝Uxx 8f(2；】),xx11 22 1+2二_14k2 12二+4，得—8k(2k+D—解得k」24(2k1)24b21+4k亍+由xx12二從而xx82b212l+4k2于是IABI=1+(12IX-X1=12+x)2-4xx=<10(b2-2)212、由IABI<10，得J10(b22)①，解得b23故橢圓E的方程為包匸1解法二：由(I)知，橢圓E的方程為x24y24b2+=因此AB直線方程為丁二丄(兀+2)+1，代入(2)得x24x82b20.所以2++所以xx4，xx82b2.于是IAB1=1于是IAB1=1+(丄x-xI= ；(x+x)2-4xx=J10(b2-2)1221212由IABI<10，得10(b22)<;10，解得b23故橢圓E的方程為包匕1考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置【2016高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖，設(shè)橢圓蘭+y2=i(a〉l).a2求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a、k表示)；若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】(I) 上翫；(II)0<e攔1+a2k2 2【解析】試題分析：(I)先聯(lián)立y=kx+1和乂+y2=1，可得x，x，再利用弦長(zhǎng)公式可a2 1 2得直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)；(II)先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),再利用對(duì)稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)A(o,1)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公y=kx+y=kx+1x2 .得 +y2=1Ia2試題解析：(I)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP，由｛+a2k2)x2+2a2kx=02a2kx=-2 1+a2k2因此x-x|=乂：斤薜2121+a2k2(II)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩

個(gè)不同的點(diǎn)p,Q,滿足|AP|=|AQ|記直線ap，AQ的斜率分別為k，k，且k，k>0，k豐k121212由（I）知，|AP=22lkh；1飛，AQI=22 +k1+a2k2 1+a2k212故因此k21（a2-2k21因?yàn)棰偈疥P(guān)于k，k的方程有解的充要條件是121+a2（a2-2）>1 a>工?因此，任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1<a<2，由e二cJ。2—1得，所求離心率的取值范圍為0<e<2aa 2考點(diǎn)：1、弦長(zhǎng)；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率．19.【2015高考新課標(biāo)2，理20】（本題滿分12分）已知橢圓C:9x2+y2二m2（m>0）,直線不過原點(diǎn)O且不平仃于坐標(biāo)軸，與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M?（I）證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；（II）若過點(diǎn)（彳,m），延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．【答案】（I）詳見解析；（II）能，4-運(yùn)或4+J7【解析】(I)設(shè)直線l:y=kx+b(k豐0,b豐0)，A(x,y)，B(x,y)，M(x,y)1 1 2 2 MMy=kxy=kx+b代入(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0x+x kbx=T2=—M2 k2+9y=kx+b=MMk2+9于是直線OM的斜率k=注y=kx+b=MMk2+9OMx k OMM直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值.(II)四邊形OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€過點(diǎn)(m,m)，所以不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0k豐39由(I)得OM的方程為y=—9x.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x?由F=—產(chǎn) 得k P [9x2+y2=m2,x2=Jkm,即x=zkm.將點(diǎn)(m,m)的坐標(biāo)代入直線的方程得P9k2+81 P3jk2+9 3b=m(3一k)，因此x=mk(k—3).四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段ab3 M3(k2+9)與線段OP互相平分，即x=2x?干是—￥m=PM 3、[k2+92xmk(k—3)?解得k=4-0，k=4+打?因?yàn)閗>0,k豐3，i=1，，所以當(dāng)?shù)?(k2+9) i 2 ii斜率為4—戸或4+藥時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形.【考點(diǎn)定位】1、弦的中點(diǎn)問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】(I)題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問題，故可以采取“點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：設(shè)端點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦AB的中點(diǎn)和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時(shí)和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦AB的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（II）根據(jù)（I）中結(jié)論,設(shè)直線OM方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得M坐標(biāo)，利用X二2X以及直線過點(diǎn)PM（m,m）列方程求的值.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓e:X2+蘭=1的焦點(diǎn)在軸上，A是E的t3左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上,MA丄NA-（I）當(dāng)t=4,1AM1=1ANI時(shí)，求AAMN的面積；（II）當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍.【答案】（I）144；（II）（32,2）49【解析】試砸竹撲（i［先求直線伽餉萬程，再求點(diǎn)矗姓駄最后求的廚弟（11）設(shè)就（耳X）,,將直的方程與榊凰方趕組成方程組衷消去》用抵表示畫J從而表刑應(yīng)h同理用圧叢示|曲外再由2\.W\=\AN\i^k.試題解析：I）設(shè)M（x,y），則由題意知y>0，當(dāng)t=4時(shí)，E的方程為蘭+蘭=1，iJ 1 4 3A（-2,0）由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為1?因此直線AM的方程為y=X+2.將x=y-2代入寧+寧=1得7y2-12y=0?解得y=0或y=等，所以yi=1因此AAMN的面積=2x1x12x12=1442 7 7 49（II）由題意t>3，k>0，AC\F,0）將直線AM+2pttk2x+12k2一3t=0的方程y二k（x+再）代入蘭+22將直線AM+2pttk2x+12k2一3t=0一處），故|AM|=3+tk2x+■<11一處），故|AM|=3+tk2x+■<11y'1+k23+tk2由題設(shè)'直線AN的方程為y=-1C扁故同理可得|AN|6:t\2+k23k2+t由2|AM|=|AN|得23+tk2右，即4-2）t=3k（2k-1）（k—2）（（k—2）（k2+1）k3—2因此t=3k包-】）.t>3等價(jià)于k3-3k2+k-2k3—2 k3—2即三<。?由此得｛U，或｛二°0，解得邁<k<2因此k的取值范圍是02,2）考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：蘭+21=i（a>b>0）的離心率是空，a2b2 2過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與x軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2邁.⑴求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得|QA=巴\QB\ \PB恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】⑴手+與=1;（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（0,2）【解析】（1）由已知，點(diǎn)（<2,1）在橢圓E上.

AA+丄=i,a2 b2因此，解得a二2,b二邁所以橢圓的方程為乂+蘭_14 2所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0,2)下面證明：對(duì)任意的直線，均有LQA|_凹QBIIPBI當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為y_kx+1，A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)y2x2yy24*2 ,得(2k2+1)x2+4kx—2_0-y_kx+1其判別式A_16k2+8(2k2+1)>0所以，x1+x2_—盞峯 2k2+1因此丄+丄_二_2k?xxxx212易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為B\-x,y)22y—2 1 y—2 1 12—x2乂k_—_k——,k_i—_—k2—x2QAx x QB—x x1122所以k_k，即Q,A,B三點(diǎn)共線.QA QBf所以LQAI_空_身_IPAIIQBIIQB'IIxIIPBI2故存在與P故存在與P不同的定點(diǎn)Q(0,2)，使得歿A1_\￡A1恒成立.IQBIIPBI【2016年高考北京理數(shù)】(本小題14分)已知橢圓C:蘭+21=1(a>b>0)的離心率為空,A(a,O),B(0,b)，0(0,0)，a2b2 2AOAB的面積為1.求橢圓C的方程；設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|-|BM|為定值.【答案】(1)蘭+y2=1；(2)詳見解析.4【解析】試題分析：(1)根據(jù)離心率為3，即C二3，AOAB的面積為1，即-ab=1a2 2橢圓中a2=bi+c2列方程求解；(2)根據(jù)已知條件分別求出|AN|，IBMI的值,求其乘積為定值.所以橢圓C的方程為乂+y2=14(2)由(I)知，A(2,0),B(0,1)設(shè)P(x,y)，則x2+4y2=40000當(dāng)x豐0時(shí)，直線PA的方程為y=—V(x-2)0 x—20令x=0，得yM=——^^.從而\BM\=|1—yj=1+-2y^?直線PB的方程為y=人Jx+1x0yo-1令y=0，得x二-—?從而|AN|二yo-1x2+4y2+4xy—4x—8y+4n n nn n n4xy—4x—8y+8nn n n000000xy—x—2y+200000000xy—x—2y+20000=4所以|AN|-\BM\二2+當(dāng)x二0時(shí)，y°=-1，|BM|=2,|AN|=2,1丄2yx—20所以|an|-|bm|=4綜上，|AN|-|BM|為定值.考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分）已知橢圓E：蘭+22=i（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形a2b2的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.（I） 求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（II） 設(shè)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線L'平行于0T,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線L交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)九,使得|PT|2=屮外|PB|，并求九的值.【答案】（I）乂+蘭=1，點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（II）X=4.6 3 5【解析】試題分析：（I）由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可得a=y-2c，從而可得a=42b，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可減少一個(gè)參數(shù)，再利用直線和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，解出b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）首先設(shè)出直線l'方程為y顯x+m，由2兩直線方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)，得Ipt2,同時(shí)設(shè)交點(diǎn)A(x,y),B(x,y)，把l'方程與11122橢圓方程聯(lián)立后消去y得x的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，得x+x,xx1212再計(jì)算|PA|-\PB\，比較可得九值.試題解析：(I)由已知，a2+a2二(2c)2，即a=岳，所以a=42b，則橢圓E的方程為工+蘭=12b2b2x2y2由方程組<莎+厲=1，得3x2-12x+(18-2b2)二0.①y=—x+3,方程①的判別式為A=24(b2—3)，由A=0得b2=3，此方程①的解為x=2所以橢圓E的方程為乂+蘭=16 3點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1).x2y2+ —1，可得3x2+4mx+(4m2—12)—0②y—x+m，2方程②的判別式為A=16(9—2m2)，由A>0，解得-進(jìn)<m<￥由②得x+x=-也,xx-4m2—121 2 3 122—2m—x23 2同理|PB所以ipai十-卑-x1)2+(1+弓-y1)2同理|PB5z_2m、—2m 、(2— cx)(2x)431 3 29所以|PA|-|PB=m29故存在常數(shù)入=4，使得|PT|2=Z|PA|-|PB|考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓乂+=i（a>b>0）的左、a2b2右焦點(diǎn)分別為F,F,過F的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQ丄PFi2 2 i（1） 若|PF|=2+j2,|PF|=2-邁，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2） 若|P￡|=|PQ|,求橢圓的離心率e.【答案】（1）扌+y2=1；（2）.-6—爲(wèi)解析】試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即參數(shù)的值，而由PQ丄PF，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值,1因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于a,b,c的一個(gè)等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)|PF|=m，則|PF|=2a-m ， |QF|=|PQ-|PF|=m-（2a-m）=2m-2a，于是有22QF|=2a-|QF|=4a-2m，這樣在RtAPQF中求得m=2（2-邁）a，在RtAPFF中可建立關(guān)于a,c的等式，從而求得離心率.（1）由橢圓的定義，2aIPFIIPFI2<2 2<24，故a=2.12:設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF丄PF，因此122c|FF|IPF2c|FF|IPF|2|PF|22從而b二v'a2-C2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為非2=]由橢圓的定義，|PF||PF|2a,|QF|由橢圓的定義，|PF||PF|2a,|QF||QF|2a,從而由1+2二1*2二|PF|=|PQ|=|PFI+IQFI，有IQFI4a21PFI12211又由PF丄PF12IPFI=IPQI矢知IQFI：J2iPFI，因此2+邁i i iIPF1I=4aa+ 廠」<2+V2 丿4a.—1 =V6—y/3?解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義IPFI=IPQI=IPFI+IQFI，有IQFI4a1221IPFIIPFI2a,IQFIIQFI2a,從而由1212:2IPFI1又由PF丄PF，IPFI=IPQI矢知IQFt<2IPFI，因此4a-2IPF」2IPFI1211111IPFI=2(2^2)a,從而IPFI=2a-IPF\=2a_Q-、②a=2(j2-1)a121由PF丄PF，知IPFI2IPFI2IPFI2(2c)24c2，因此121+2二2【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)?，直線和橢圓相交問題，考查運(yùn)算求解能力．【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為乂+21=i(a>b>0)，點(diǎn)0為坐a2b2標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|=2網(wǎng)，直線0M的斜率為壽?(I)求E的離心率e；(II)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(o,—b)，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，求2E的方程.【答案】(I)空5；(II)乂+22=15 45 9【解析】(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2a,1b)，又k衛(wèi)，從而2=逅,33 om10 2a10進(jìn)而得a=\;5b,c=Qa2-b2=2b，故e=—=a5(II)由題設(shè)條件和(I)的計(jì)算結(jié)果可得，直線AB的方程為亠+上=1，點(diǎn)逛bbN的坐標(biāo)為(fb,-1b)，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線ab的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為(x,7)則線段NS的中點(diǎn)則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為+即-4b+4)?又點(diǎn)點(diǎn)在直線AB上，且5x- 7—b+—1——b+—廠2+4 4=1k-kk-k=—1,從而有vNSAB71 解得b=3，所以a=3遲，故橢圓7+1b45bx— 12e的方程為45+等=1【考點(diǎn)定位】1?橢圓的離心率；2?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3?點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的應(yīng)用.【2015高考福建，理18】已知橢圓E：乂211(ab0)過點(diǎn)(0,巨)，且a2+b2= >>離心率為邁.2求橢圓E的方程；設(shè)直線xmy1,(mR)父橢圓E于A,B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G(-9,o)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.4【答案】(I)乂221；(I)G(-9,o)在以AB為直徑的圓外.4+2二 4

【解析】解法一：（1）由已知得b42廠里解得＜a2a2^b2c2,a二2

b二＜2

c-\-'2(ma二2

b二＜2

c-\-'2(m2+1)[(y y)24yy]12 124 -(m2+1)(y02y1y2),|AB|2525 5m2 3(m2+1)2517m22故IGHb my(m2+1)yy 0_4 =2 。+ i2+i6=2(m22)_m22+16二16臨+2)＞+++所以IGH卜空，故G(-9,0)在以AB為直徑的圓外.24解法二：(1)同解法一.(II)設(shè)點(diǎn)A(xy),B(x,y),，則GA=(x9,y),GB二(x9,y).x=myVx2y24'2由11 2 2 14 1 242由-1得(m2+2)y2—2my-30,所以y+y=2m,yy=—3—,

二1 1Lm2+2 12m2+2從而GAGB