2022年中考數(shù)學幾何模型之動點最值之瓜豆模型(講+練)(解析版)

專題16動點最值之瓜豆模型模型一、運動軌跡為直線問題1:如圖，P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？A解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ，且ZPCQ為定值，當點P在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？CCBBQAPCCBBQAPC:)AP解析：當CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP^ACPP],則ZCPP]=CQQ],故可知Q點軌跡為一條直線.模型總結：條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；主動點、從動點到定點的距離之比是定量．結論：①主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；②主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角③當主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長；例1.如圖，在平面直角坐標系中，A（—3,0）,點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．3【答案】小―【解析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據(jù)△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置Pg（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2.連接P]P2，即為P點軌跡.根據(jù)ZABP=60°,可知：『八與y軸夾角為60°,作OP丄"「，所得OP長度即為最小值，3OP2=OA=3，所以門宀例2.如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2J3的一個定點，AC丄x軸于點M,交直線y=—x于點N,若點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,BA丄PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是答案答】扒包【分析】TZPAB=90°,ZAPB=30°,???可得：AP:AB=￡^：-,故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為叮日：I,P點軌跡長ON為離雖故B點軌跡長為仏.刁.【變式訓練1】如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為AB邊上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG,求CG的最小值是多少？【答案】7【解析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在G位置，最終G點在位置不一定在CD邊），。：企即為G點運動軌跡.CG最小值即當CG丄Gt的時候取到，作CH丄⑺⑺于點H,CH即為所求的最小值.根據(jù)模型可知:仁心“與AB夾角為60°,故^「'，丄上仁.過點E作EF丄CH于點F,1q5弓則HF=/：'〔；=1,，所以，因此CG的最小值為【變式訓練2】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E在AB上，點D為BC的中點,

△EDM為等邊三角形.若點E從點B運動到點A,則M點所經(jīng)歷的路徑長為6“D【解答】解：當點E在B時，M在AB的中點N處，當點E與A重合時，M的位置如圖所示，所以點E從點B運動到點A,則M點所經(jīng)歷的路徑為MN的長，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，□ADOBC,□BAD=30。，□AB=6,DAD=_詁Z=3，△△EDM是等邊三角形，□AM=AD=3l3，DDAM=60°，△NAM=30°+60°=90。，mAN=AB=3,在RtDNAM中，由勾股定理得：MN=速垃十側2=；護+（空3）2=6，則M點所經(jīng)歷的路徑長為6,故答案為：6.【變式訓練3】如圖，在矩形ABCD中，AB=4,^DCA=30°,點F是對角線AC上的一個動點，連接DF以DF為斜邊作△DFE=30。的直角三角形DEF,使點E和點A位于DF兩側，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長■—【解答】解：E的運動路徑是線段EE的長;△AB=4,^DCA=30°,OBC=",3當F與A點重合時，在Rt^ADE'中，AD=?,△DAE'=30°,△ADE'=60°,△DE=,△CDE'=30°,當F與C重合時，△EDC=60。，△△EDE'=90°,△DEE'=30°,在曲施中，吐竽；故答案為干.

【變式訓練4】如圖，已知線段AB=12，點C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊的右側作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB,則線段MBEMALDC的最小值為答案】6EMALDC的最小值為答案】6【解析】如圖所示，TZFCB=309,???F的路徑是定射線DF,又???點M是DF的中點，化DMDMVD點為定點，F(xiàn)點為主動點，M點為從動點，由瓜豆原理內(nèi)容可知M點的路徑亦是一條射取CD的中點N,連接NM并延長，則射線NM就是M點的路徑，且NM〃CF,作BG丄NM于點G,交CF于點H,貝BG丄CF,故BG=BH+HG=BH+CN=4+2=6,???線段BM的最小值即為BG,最小值為6.模型二、運動軌跡為圓

問題1.如圖，P是圓0上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點.當點P在圓0上運理由：Q點始終為AP中點，連接AO,取AO中點M,則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有口AMQ^QAOP,QM—Q=-.0oPAO解析：Q點軌跡是一個圓動時，0oPAO解析：Q點軌跡是一個圓動時，Q點軌跡是？———|——-fc——卜\M/POAP2問題2.如圖，△APQ是直角三角形，ZPAQ=90沮AP=2AQ,當P在圓0運動時，Q點軌跡是？理由：?.?APQAQ,???Q點軌跡圓圓心M滿足AMQAO；又???AP：AQ=2：1,?Q點軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1.即可確定圓M位置，任意時刻均有QAPOQQAQM,且相似比為2.模型總結：條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(ZPAQ是定值);主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值).結論：(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：ZPAQ=ZOAM；(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比．例1.如圖，點P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點M是圓P上的動點,點C是MB的中點，則AC的最小值是【答案】1.5【解析】由題意可知M點為主動點，C點為從動點，B點為定點.???C是BM中點，可知C點軌跡為取BP中點F,以F為圓心，F(xiàn)C為半徑作圓，即為點C軌跡，如圖所示：由題中數(shù)據(jù)可知OP=5，又??點A、F分別是OB、BP的中點，???AF是ABPO的中位線，二AF=2.5,當M運動到如圖位置時，AC的值最小，此時A、C、O三點共線，??AC=2.5—1=1.5.例2?如圖，A是回B上任意一點，點C在回B外，已知AB=2,BC=4,HACD是等邊三角形,則△BCD的面積的最大值為（）A.A.4^3+4C.4呂+8【答案】A【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM,連接DM,回ZDCA=ZMCB=60。,回ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM，即ZDCM=ZACB'DC=AC在△^旳和厶ACB中，＜ZDCM=ZACB,回aDCMACB（SAS）,回DM=AB=2,MC=BC國點D的運動軌跡是以點M為圓心，DM長為半徑的圓，要使△BCD面積最大，則求出點D到線段BC的最大距離，回aBCM是邊長為4的等邊三角形，回點M到BC的距離是2x3國點D到BC的最大距離是2畐+2,回△BCD的面積最大值是2x4+2）=+4?故

選：A.例3.如圖，正方形ABCD中，AB2忑,O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF,連接AE、CF.求線段OF長的最小值.【解析】E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓.考慮DEDDF且DE=DF,故作DMDDO且DM=DO,F點軌跡是以點M為圓心,2為半徑的圓.直接連接OM,與圓M交點即為F點，此時OF最小.可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM,減去MF即可得到OF的最小值.答案為5J2-2EFOC-EFOC-M【變式訓練1】如圖，在等腰RtAXBC中，AC=BC=2<2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為

【答案】n【解析】當點P位于弧AB的中點時，M為AB的中點，U=,■'；（'=》&.'一l.fU?,設分別為AC、BC的中點，連接交CP于點0,如圖所示:B.2+祐B.2+祐C.2+3萬D.2+計【詳解】如圖，連接0Q,作CH0AB于H.囹AQ=QP,0OQ0PA,亟AQO=90°,當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M的運動路徑是以0為圓心，1為半徑的半圓，如圖藍色半圓，?:點M的運動路徑長為n.【變式訓練2】如圖，AB為OO的直徑，C為OO上一點，其中AB=6，ZAOC=120。，P為OO上的動點，連AP，取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為（）A.3厲【答案】D囹點Q的運動軌跡為以A0為直徑的0K，連接CK,當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大啟ZAOC=120。亟COH=60°在RtEOCH中,囹囹COH=60°,OC=丄AB=3,2EOH=10C=3,CH=\；OC2+OH2=313222△ABC中,在Rt囹CKH中，CK==蕓70CQ的最大值為丄+—聽,22故選：△ABC中,在Rt囹CKH中，CK==蕓70CQ的最大值為丄+—聽,22故選：D.變式訓練3】如圖，AB=AC,BC=6,AD丄BC于點D,AD=4,P是半徑為2的OA上一動點,連結PC,若E是PC的中點，連結DE,則DE長的最大值為)(A.3C.4B.3.5D.4.5詳解】解：【答案】B如圖，可知P在BA延長線與OA的交點時此時DE長的最大，證明如下:詳解】解：連接BP,^AB=AC,BC=6,AD丄BC,^BD=DC,囹E是PC的中點,EDE//BP,DE=1BP,2所以當BP的長最大時，DE長的最大，由題意可知P在BA延長線與。A的交點時BP的長最大此時DE長的最大，EBC=6,AD=4,EBD=DC=3,BA=5,EG>A的半徑為2,即AP=2,EBP=5+2=7,EDE=—BP=3.5.2故選：B.課后訓練1.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側作等腰Rt^DCE,使ZCED=90°,連接BE,則線段BE的最小值為.

【解析】由題意可知C為定點，D點為主動點，路徑為線段AB,點E為從動點,?.?△DCE是等腰直角三角形，?：ZDCE=45°,結合瓜豆原理內(nèi)容可知從動點E的路徑為一條線段，可以看成是由線段AB先繞著定點C逆時針旋轉45°，再以定點C為位似中心，以為位似比縮小來的，如圖，將BE的最小距離轉化為點到線的最小距離（點B如圖，將BE的最小距離轉化為點到線的最小距離（點B到■的最短距離）,由旋轉相似可得川UWfm〕「亠廠3」=二門'門=仃廳，在川二”匕竹中，有K=v"2，則“卜'=?°?線段BE的最小值為丄廠.3.如圖，AB=6，點0在線段AB上,AO=2，OO的半徑為1點P是OO上一動點，以BP為一邊作等邊△BPQ，則AQ的最小值為.44Qoii&AOBBOi【答案】2釣-1【詳解】解：如圖，在AB上方以OB為一邊作等邊aOBC，連接OP,CQ,ACOBC和△BPQ都是等邊三角形，???OB=CBQoii&AOBBOi【答案】2釣-1【詳解】解：如圖，在AB上方以OB為一邊作等邊aOBC，連接OP,CQ,AC/.ZOBC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC，即ZOBP=ZCBQ5二CB在厶OBP和aCBQ中，\zOBP二ZCBQ，/.△OBP二'CBQ(SAS)，/.CQ=OP=1,、BP二BQ?點Q在以點C為圓心，CQ長為半徑的圓上，如圖，設AC與OC交于點D，過點C作CM丄AB于點M，則CD二1，則當點Q與點D重合時，AQ取得最小值，最小值為AD?.AO=2,AB=6，.?.OB=AB—AO=4，…OBC是等邊三角形，CM丄ABOC=OB=4,OM=2OB=2，CM=\；OC2-OM2=2.3,AM=AO+OM=4在RtAACM中，AC*AM2+CM2=2x7，貝VAD=AC—CD=2訐—1即AQ的最小值為2訐—1，故答案為：2訂—14?點A是雙曲線“在第一象限上的一個動點，連接AO4?點A是雙曲線“以AB為斜邊作等腰Rt^ABC以AB為斜邊作等腰Rt^ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但始終在某函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)的解析式為.【解析】連接0C，作CD丄了軸于點D，AE丄f軸于點E，如圖所示:設點A設點A的坐標為TA、B兩點是正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點，???點A與點B關于原點對稱，???OA=OB,?.?△ABC為等腰直角三角形，?OC=OA,0C丄0A,?ZDOC+ZAOE=90°,?.?ZDOC+ZDCO=90°,?ZDCO=ZAOE,{^CDO=ZOEAADCO=ZEOA‘.?.△COD^AOAE(AAS),CO=OA???點C在反比例函數(shù)的圖像上.X7.如圖，AB為囹???點C在反比例函數(shù)的圖像上.X7.如圖，AB為囹0的直徑，C為囹0上一點，其中AB=2,0AOC=12O°,P為囹0上的動點,連AP,取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為.【答案】字/\,0\V2在Rt?CKH中,CK=.+2在Rt?CKH中,CK=.+12囹CQ的最大值為今故答案為：中【詳解】解：如圖，連接0Q,作CH0AB于H.0AQ=QP,00Q0PA,亟AQ0=9O°囹點Q的運動軌跡為以A0為直