向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

223向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義長沙市周南中學(xué)智慧教學(xué)云課堂·高一數(shù)學(xué)湖南省長沙市周南中學(xué)高一數(shù)學(xué)組知識(shí)回顧BAbaoOCa+bbaABba+ba1向量加法三角形法則:2向量加法平行四邊形法則:首尾相連首尾連起點(diǎn)相同連對(duì)角oBAa-bab3向量減法法則:共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)-a-a-aPQMNaaaABCOa已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)

當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a方向相反；

|λa|=|λ|·|a|

一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa。一、向量的數(shù)乘運(yùn)算定義它的長度和方向規(guī)定如下：(1)長度(2)方向特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0二、向量數(shù)乘的幾何意義a-3a3a幾何意義：將的長度擴(kuò)大（或縮?。┍?，改變（或不改變）的方向，就得到了λa

|λ|aa結(jié)論:2a+2b=2(a+b)結(jié)論:

3(2a)=6a(1)根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比較。2已知向量a,b，求作向量2ab和2a2b，并比較。=觀察總結(jié)①λ(μa)=

運(yùn)算律:設(shè)a、b為任意向量，λ、μ為任意實(shí)數(shù)，則有：②(λ+μ)a=

③λ(a+b)=(λμ)a

λa+μa

λa+λb（-λ）a=-(λa)=λ(-a)特別地，λ(a-b)=λa-λb結(jié)合律第一分配律第二分配律三、向量數(shù)乘運(yùn)算滿足的運(yùn)算律：（2）對(duì)于任意的向量a,b以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2恒有λ(μ1a±μ2b)=解:1原式=2原式=3原式=計(jì)算：口答1-3×4a23ab–2a-b-a32a3b-c–3a-2bc

(3-2-1)a+(3+2)b=5b

(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c

-12aλμ1a±λμ2b牛刀小試結(jié)論：（1）向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。例1：把下列各小題中的向量b表示為實(shí)數(shù)與向量a的積.1、如果b=λa,那么，向量a與b是否共線？

對(duì)于向量a(a≠0)、b，以及實(shí)數(shù)λ：2、如果a與b共線，那么是否有λ，使b=λa？？自主探究對(duì)于向量a(a≠0)、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa,那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量a與b共線。當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=μa;當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b=-μa，所以始終有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa。若向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是a的長度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且四、向量共線定理向量b與非零向量a共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.即：思考：C五、針對(duì)性練習(xí)解：作圖如右OABC依圖猜想:A、B、C三點(diǎn)共線∴A、B、C三點(diǎn)共線abbbba例2、已知任意兩非零向量a、b，試作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？∵AB=OB-OA∴

AC=2AB又

AC=OC-OA

=a+3b-(a+b)=2b

=a+2b-(a+b)=b又AB與AC有公共點(diǎn)A，AEDCB解：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC

=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC與AE共線如圖，已知AD=3AB、DE=3BC，試證明AC與AE共線。搖身一變例3：又AC與AE有公共點(diǎn)A，∴

A、C、E三點(diǎn)共線.定理應(yīng)用變式1：如圖，已知AD=3AB、AE=3AC，試證明BC和DE共線。變式：如圖，已知AD=3AB、DE=3BC，試判斷A、C、E三點(diǎn)位置關(guān)系?結(jié)論：向量共線定理可用來解決:向量共線和三點(diǎn)共線問題。