分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

計(jì)數(shù)原理水若長流能成河，山以積石方為高實(shí)際問題從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路，問：從甲地到丁地有多少種走法？要回答這個(gè)問題，就要用到計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理．導(dǎo)入新課甲地乙地丙地丁地問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班．那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5（種）分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理1、分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法。有60種取法。因此取法種數(shù)共有4060=100（種）例1：兩個(gè)袋子里分別裝有40個(gè)紅球，60個(gè)白球，從中任取一個(gè)球，有多少種取法？解：取一個(gè)球的方法可以分成兩類：一類是從裝白球的袋子里取一個(gè)白球有40種取法；另一類是從裝紅球的袋子里取一個(gè)紅球40個(gè)60個(gè)問題2：如圖,由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法A村B村C村北南中北南解：從A村經(jīng)B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3種方法,第二步,由B村去C村有3種方法,所以從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的方法。問題3：用前6個(gè)大寫英文字母和1~9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1,A2,,B1,B2的方式給教室的座位編號(hào)有多少不同的號(hào)碼A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99種B1234567899種6×9=542、分步計(jì)數(shù)原理做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。（乘法原理）例2：兩個(gè)袋子里分別裝有40個(gè)紅球與60個(gè)白球，從中取一個(gè)白球和一個(gè)紅球，有多少種取法？60個(gè)40個(gè)解：取一個(gè)白球和一個(gè)紅球可以分成兩步來完成：第一步從裝白球的袋子里取一個(gè)白球，有60種第二步從裝紅球的袋子里取一個(gè)紅球，有40種共60*40=2400一個(gè)三位密碼鎖,各位上數(shù)字由0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9十個(gè)數(shù)字組成,可以設(shè)置多少種三位數(shù)的密碼各位上的數(shù)字允許重復(fù)首位數(shù)字不為0的密碼數(shù)是多少首位數(shù)字是0的密碼數(shù)又是多少分析:按密碼位數(shù),從左到右

依次設(shè)置第一位、第二位、第三

位,需分為三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3=10根據(jù)乘法原理,共可以設(shè)置

N=10×10×10=103種三位數(shù)的密碼。練習(xí)

加法原理

乘法原理聯(lián)系區(qū)別一完成一件事情共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情,共分n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法都能獨(dú)立完成這件事情。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事情，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每個(gè)步驟完成了，才能完成這件事情。分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題。區(qū)別三各類辦法是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是相關(guān)聯(lián)的分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：……ABm1m2mn…...ABm1m2mn點(diǎn)評:乘法原理看成“串聯(lián)電路”加法原理看成“并聯(lián)電路”;1、從5名同學(xué)中選出正副班長各一名，則不同的任職方案有多少種？2、三層書架上，上層放著10本不同的語文書，中層放著9本不同的數(shù)學(xué)書，下層放著8本不同的英語書，（1）從書架上任取一本，有多少種取法？（2）從書架上任取語數(shù)外各一本，有多少種取法？3、在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？4．某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有3處樓梯，問從1樓到5樓共有多少種不同的走法？判斷下列用分類還是分步原理，并說出式子分步5×4分類1098分步10×9×8分類按十位分87654321分步3×3×3×3例3：某班級(jí)有男三好學(xué)生5人,女三好學(xué)生4人1從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng),有多少種不同的選法？2從中任選男、女三好學(xué)生各一人去參加座談會(huì),有多少種不同的選法？例4：某城市電話號(hào)碼由8位組成，其中從左邊算起的第1位只用6或8，其余7位可以從前10個(gè)自然數(shù)0，1，2，…,9中任意選取，允許數(shù)字重復(fù)。試問：該城市最多可裝電話多少？1、書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？練習(xí)1432=9（種）4×3×2=24（種）

2、由數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成多少個(gè)四位數(shù)？（各位上的數(shù)字不重復(fù)）6×5×4×3=360（個(gè)）3、一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共10個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼？10×10×10×10=104有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結(jié)合起來運(yùn)用．一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理．請看下面的例題：注意實(shí)際問題從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路，問：從甲地到丁地有多少種走法？

甲

乙

丙

丁如圖,一螞蟻沿著長方體的棱,從一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條A1B1C1D1ACDB練習(xí)解:如圖,從總體上看,如,螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)C1有三類方法,從局部上看每類又需兩