函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

1如何正確理解極值剖析:極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值在定義中,取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值關(guān)于極值請(qǐng)注意以下幾點(diǎn):1極值是一個(gè)局部概念由定義知,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小2函數(shù)的極值不是唯一的,即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)4函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)5若函數(shù)在極值點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù),則這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)可能不是函數(shù)的極值點(diǎn)也就是說(shuō),若f'c存在,則“f'c=0”是“f在=c處取到極值”的必要條件,但不是充分條件3極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一點(diǎn)的極大值,即極大值不一定比極小值大,極小值也不一定比極大值小如圖所示6若f在區(qū)間a,b內(nèi)有極值,則f在a,b內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值7如果函數(shù)f在上有極值,那么它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣,相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)一般地,當(dāng)函數(shù)f在上的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的的極值剖析:歸納總結(jié)極值點(diǎn)可以看成是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間的分界點(diǎn)極大值是極大值點(diǎn)附近曲線由上升到下降的過(guò)渡點(diǎn)的函數(shù)值極小值則是極小值點(diǎn)附近曲線由下降到上升的過(guò)渡點(diǎn)的函數(shù)值題型一題型二題型三題型四求函數(shù)的極值【例1】求下列函數(shù)的極值:1f=3-12;分析:求f的定義域→求f'→解方程f'=0→列表分析→結(jié)論題型一題型二題型三題型四解:1函數(shù)f的定義域?yàn)镽;f'=32-12=32-2令f'=0,得=-2或=2當(dāng)變化時(shí),f',f的變化情況如下表:從表中可以看出,當(dāng)=-2時(shí),函數(shù)有極大值,且f-2=-23-12×-2=16當(dāng)=2時(shí),函數(shù)有極小值,且f2=23-12×2=-16題型一題型二題型三題型四反思求函數(shù)的極值應(yīng)注意以下幾點(diǎn):1在討論可導(dǎo)函數(shù)f在定義域內(nèi)的極值時(shí),若方程f'=0的實(shí)根較多時(shí),應(yīng)注意使用表格,使極值點(diǎn)一目了然2討論函數(shù)的性質(zhì)要遵循定義域優(yōu)先的原則題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四已知極值求參數(shù)【例2】已知f=33a2ba2在=-1處取極值0,求常數(shù)a,b的值分析:求f'→建立關(guān)于a,b的方程組→求解a,b→將a,b代入原函數(shù)驗(yàn)證極值情況→根的取舍題型一題型二題型三題型四解:因?yàn)閒在=-1時(shí)有極值0,

當(dāng)a=1,b=3時(shí),f'=3263=312≥0,所以f在R上為增函數(shù),無(wú)極值,故舍去當(dāng)a=2,b=9時(shí),f'=32129=313所以當(dāng)∈-∞,-3時(shí),f為增函數(shù);當(dāng)∈-3,-1時(shí),f為減函數(shù);當(dāng)∈-1,∞時(shí),f為增函數(shù)所以f在=-1時(shí)取得極小值,因此a=2,b=9題型一題型二題型三題型四反思當(dāng)已知函數(shù)極值的情況,逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式,進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),注意兩點(diǎn):1常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解2因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】已知f=3a2bc,f在點(diǎn)=0處取得極值,并且在單調(diào)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性1求實(shí)數(shù)b的值;2求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析:由函數(shù)在區(qū)間上具有相反的單調(diào)性,可以確定另一個(gè)極值點(diǎn)一定落在2到4之間題型一題型二題型三題型四極值的綜合運(yùn)用【例3】求函數(shù)f=3-32-aa∈R的極值,并討論a為何值時(shí)函數(shù)f恰有一個(gè)零點(diǎn)分析:求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,借助函數(shù)圖象判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解:f'=32-6,函數(shù)f的定義域?yàn)镽,由f'=0得1=0,2=2當(dāng)變化時(shí),f'與f的變化情況如下表:因此,函數(shù)f在=0處有極大值,極大值為f0=-a;在=2處有極小值,極小值為f2=-4-a題型一題型二題型三題型四函數(shù)f的零點(diǎn)即方程f=0的解,也就是方程3-32=a的解,f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為直線y=a與曲線y=3-32的交點(diǎn)個(gè)數(shù),易知函數(shù)y=3-32的極大值為0,極小值為-4如圖所示故當(dāng)a>0或a<-4時(shí),函數(shù)f恰有一個(gè)零點(diǎn)題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):把導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)誤認(rèn)為極值點(diǎn)而致錯(cuò)【例4】若函數(shù)f=3a2ba2在=1處取得極值10,試求a,b的值錯(cuò)因分析:函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取得極值的必要條件,而非充分條件錯(cuò)解中忽略了對(duì)得出的兩組解進(jìn)行檢驗(yàn)而出