數(shù)學(xué)人教A版必修4知識(shí)巧解學(xué)案1.2任意角的三角函數(shù)

皰工巧解牛知識(shí)?巧學(xué)一、任意角的三角函數(shù)1.如圖1-2-2，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；叫做α的正切，記作tanα=(x≠0).像這種以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).圖1-2-22.利用角α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù).設(shè)α是一個(gè)任意角，α的終邊上一點(diǎn)P(除端點(diǎn)外)的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)的距離是r()，如圖1-2-3所示.圖1-2-3那么，比值叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=；比值叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=；比值叫做α的正切，記作tanα，即tanα=；比值叫做角α的余切，記作cotα=；比值叫做角α的正割，記作secα=；比值叫做角α的余割，記作cscα=.這些函數(shù)都是以角α為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).3.明確各個(gè)三角函數(shù)的記法的意義sinα、cosα、tanα等都表示一個(gè)整體，離開(kāi)自變量α的sin、cos、tan等都是沒(méi)有意義的.sinα并不表示“sin”與“α”的乘積，就像函數(shù)“f(x)”不表示“f”與“x”的乘積一樣，sinα是一個(gè)比值，例如sin，它表示的正弦值，即.同理，cosα、tanα的意義也是一樣的.二、三角函數(shù)的定義域由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，它的定義域的每一個(gè)值應(yīng)使相應(yīng)的比值有意義，即使比值的分母不等于零.設(shè)點(diǎn)P(x,y)，當(dāng)x=0時(shí)，角α的終邊落在y軸上，終邊落在y軸上的角的集合是{α|α=+kπ,k∈Z}；當(dāng)y=0時(shí)，角α的終邊落在x軸上，終邊落在x軸上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}.由三個(gè)三角函數(shù)的定義可知它們的定義域是:三角函數(shù)定義域sinαRcosαRTanα{α|α≠+kπ,k∈Z}同理，角α的余切、角α的正割、角α的余割的定義域分別是:三角函數(shù)定義域cotα{α|α≠kπ,k∈Z}secα{α|α≠+kπ,k∈Z}cscα{α|α≠kπ,k∈Z}學(xué)法一得函數(shù)是由定義域及定義域到值域上的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成的，它的定義域是使函數(shù)有意義的自變量x的集合.三角函數(shù)的自變量的取值應(yīng)使比值有意義，可以此來(lái)確定它的定義域.三、任意角α的三角函數(shù)值與角α終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)如圖1-2-4，在角α的終邊上再作一點(diǎn)P′(x′,y′)，它與原點(diǎn)的距離為，分別過(guò)點(diǎn)P、P′作PA⊥x軸于點(diǎn)A，P′B⊥x軸于點(diǎn)B，顯然△OPA∽△OP′B，則由相似三角形的性質(zhì)可得，無(wú)論角α的終邊落在哪個(gè)象限，都有y與y′同號(hào)，x與x′同號(hào)，所以以上三式可化為，即對(duì)于確定的角α，這三個(gè)比值(如果有意義的話)都不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變.也就是說(shuō)，三角函數(shù)是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).圖1-2-4學(xué)法一得用α的終邊同單位圓的交點(diǎn)來(lái)定義任意角的三角函數(shù)是用角α終邊上任一點(diǎn)來(lái)定義三角函數(shù)的特例.四、任意角的三角函數(shù)值的符號(hào)因?yàn)閟inα=，由于r＞0恒成立，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)位于第一、二象限時(shí)，y＞0;位于第三、四象限時(shí)，y＜0.所以當(dāng)α位于第一、二象限時(shí)，sinα＞0;當(dāng)α位于第三、四象限時(shí)，sinα＜0；同理,當(dāng)α位于第一、四象限時(shí)，cosα＞0;當(dāng)α位于第二、三象限時(shí)，cosα＜0.當(dāng)α位于第一、三象限時(shí)，tanα＞0;當(dāng)α位于第二、四象限時(shí)，tanα＜0.關(guān)于這三種三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)可用圖1-2-5記憶.圖1-2-5記憶要訣三角函數(shù)在各象限的符號(hào)可用以下口訣記憶：“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”.其含義是在第一象限各三角函數(shù)皆為正，在第二象限正弦為正，在第三象限正余切為正，在第四象限余弦為正.還可簡(jiǎn)記為“全、s、t、c”四字.五、終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等把角α推廣到一般形式，由任意角的三角函數(shù)的定義可知sin(α+k·360°)=sinαcos(α+k·360°)=cosαtan(α+k·360°)=tanα,其中k∈Z(公式一)這一組結(jié)論我們稱之為誘導(dǎo)公式一，其作用在于將絕對(duì)值較大的角化小.六、三角函數(shù)線1.由任意角的三角函數(shù)的定義可知sinα=，cosα=，tanα=，它們是三角函數(shù)的一種代數(shù)形式，由于角α的三角函數(shù)值與點(diǎn)P(x，y)的位置無(wú)關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，因此，可設(shè)法使點(diǎn)P(x，y)滿足，使點(diǎn)P的位置位于一個(gè)特殊點(diǎn)，此時(shí)sinα=y，cosα=x，使三角函數(shù)值變得更簡(jiǎn)單.2.如圖1-2-6，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A(1，0)作單位圓的切線，設(shè)它與角α的終邊(α位于第一、四象限時(shí))或其反向延長(zhǎng)線(當(dāng)α位于第二、三象限時(shí))相交于點(diǎn)T(由于過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線，所以AT平行于y軸).圖1-2-6則有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線.它們是三角函數(shù)的一種幾何表示形式，當(dāng)角α的終邊位于四個(gè)象限內(nèi)時(shí)，三條有向線段中有兩條在圓內(nèi)，一條在圓外，由于它們使代數(shù)表示形式中的分母都變?yōu)榱?，所以形式更加簡(jiǎn)單、形象、直觀.特別地，當(dāng)角α的終邊落在x軸上時(shí)，正弦線、正切線變成一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角α的終邊落在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在.3.用字母表示有向線段時(shí)，總是把起點(diǎn)的字母寫(xiě)在前面，終點(diǎn)的字母寫(xiě)在后面，有向線段的長(zhǎng)度表示大小，符號(hào)表示方向.規(guī)定余弦線以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正弦線和正切線均以此線段與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn).同坐標(biāo)軸的正方向一致的有向線段為正值，反之為負(fù)值.這樣，可保證有向線段的取值同點(diǎn)P坐標(biāo)的一致性.學(xué)法一得三角函數(shù)線是當(dāng)點(diǎn)P為終邊上的特殊點(diǎn)時(shí)的三角函數(shù)的表示形式.三角函數(shù)線的方向和長(zhǎng)短直觀反映了三角函數(shù)值的符號(hào)和絕對(duì)值的大小,從三角函數(shù)線的方向看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的絕對(duì)值.由此可知，三角函數(shù)線的形成反映了由一般到特殊的定義應(yīng)用過(guò)程.三角函數(shù)在各象限的符號(hào)也可以根據(jù)畫(huà)出的三角函數(shù)線的方向記憶.三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、求函數(shù)定義域及比較大小，同時(shí)它也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).典題?熱題知識(shí)點(diǎn)一求特殊角的三角函數(shù)值例1求下列各角的三個(gè)三角函數(shù)值.(1)0；(2)π；(3)；(4).思路分析：求特殊角的三角函數(shù)值的關(guān)鍵是確定該角與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo).解：(1)因?yàn)楫?dāng)α=0時(shí)，x=1,y=0,所以sin0=y=0,cos0=x=1,tan0=.(2)因?yàn)棣?π時(shí)，x=1,y=0，所以sinπ=y=0，cosπ=x=1，tanπ=.(3)因?yàn)棣?時(shí)，x=0,y=1,所以sin=y=1,cos=x=0,tan不存在.(4)如圖1-2-7，在直角坐標(biāo)系中，作∠AOB=,圖1-2-7過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，則∠BOC=,易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)B(,).所以,,.知識(shí)點(diǎn)二確定角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求α的各個(gè)三角函數(shù)值例2已知角α的終邊在直線y=3x上，用三角函數(shù)的定義求α的三個(gè)三角函數(shù)值.思路分析：可先利用方程在角α終邊上找到任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，再求解.解：設(shè)點(diǎn)P(a,3a)(a≠0)是角α終邊上一點(diǎn)，則.當(dāng)a＞0時(shí)，r=，此時(shí)sinα，cosα=，tanα=；當(dāng)a＜0時(shí)，r=，此時(shí)sinα=，cosα=，tanα=3.方法歸納由于任意角α的三角函數(shù)值僅與角α的大小有關(guān)，而與角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)無(wú)關(guān),因此，若已知角α的終邊上任一異于原點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)，都可直接利用定義求值.知識(shí)點(diǎn)三化簡(jiǎn)或證明三角恒等式例3求證:.思路分析：可利用任意角的三角函數(shù)的意義，將角α的三角函數(shù)用x、y、r(x2+y2=r2)表示出來(lái)，轉(zhuǎn)化為證明關(guān)于x、y或x、y、r的恒等式.證明：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是角α終邊與單位圓的交點(diǎn)(x2+y2=1)，由三角函數(shù)的定義可知sinα=y，cosα=x.因?yàn)樽筮呌疫?=0.所以原式成立.方法歸納三角恒等式的證明，若未給出特別說(shuō)明，則認(rèn)為是在兩邊都有意義的情況下進(jìn)行的.證明恒等式常見(jiàn)的方法有：①比較法；②從一邊開(kāi)始證明它等于另一邊；③證明左右兩邊等于同一式子；④先證明某一等式成立，再證明需要的式子成立等.知識(shí)點(diǎn)四任意角的三角函數(shù)值的符號(hào)例4若sin2α＞0，且cosα＜0，試確定角α所在的象限.思路分析：先由sin2α＞0，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義確定2α所在的象限，再進(jìn)一步確定α所在的象限.解：∵sin2α＞0，∴2kπ＜2α＜2kπ+π,k∈Z.∴kπ＜α＜kπ+,k∈Z.∴角α位于一、三象限.又∵cosα＜0，∴α位于二、三象限或x軸的負(fù)半軸上.綜上可知，角α是第三象限角.例5已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,6)，且cosα=，求tanα的值.思路分析：可先由任意角的三角函數(shù)的定義確定x的值，再由該定義確定tanα的值.解：∵P(x,6),∴，由cosα=,得x=±.又∵cosα=＜0，∴α位于二、三象限.又∵6＜0,∴α位于第三象限.∴x=.∴tanα=.方法歸納根據(jù)任意角α的不同三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)不同，可用來(lái)確定角α所在的象限，解決與角α所在的象限有關(guān)的三角函數(shù)的求值問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)五終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等例6求值:(1)sin(1740°)·cos1470°+cos(660°)·sin750°+tan405°；(2)sin2+tan2()·tan.思路分析：利用誘導(dǎo)公式一，將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成0°到360°或0到2π內(nèi)的三角函數(shù)值，再求值.解：(1)原式=sin(60°5×360°)·cos(30°+4×360°)+cos(60°2×360°)·sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=2.(2)原式=sin2(+4π)+tan2(2π)·tan(+2π)=sin2+tan2·tan=.方法歸納任意角的三角函數(shù)的定義是銳角的三角函數(shù)定義的推廣，它的函數(shù)值是一個(gè)與實(shí)數(shù)相對(duì)應(yīng)的比值.該實(shí)數(shù)值的大小與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角α的大小有關(guān).利用該定義，可用來(lái)確定函數(shù)的定義域、各三角函數(shù)值在不同象限的符號(hào)、化簡(jiǎn)任意角的三角函數(shù)值等，熟練掌握該定義是學(xué)好其他問(wèn)題的關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)六三角函數(shù)線例7作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線.(1)；(2)；(3)；(4).思路分析：作角α的三角函數(shù)線的關(guān)鍵是畫(huà)出單位圓和角α的終邊.解：圖1-2-8各個(gè)圓中的有向線段MP、OM、AT分別表示各個(gè)角的正弦線、余弦線、正切線.例8在單位圓中作出適合下列條件的角α的終邊.(1)sinα=；(2)cosα=；(3)tanα=1.思路分析：由三角函數(shù)線的定義,可知對(duì)于正弦函數(shù)sinα=，余弦函數(shù)cosα=，只需分別作直線y=，x=，它們與單位圓的交點(diǎn)同原點(diǎn)O的連線即為角α的終邊；對(duì)于正切函數(shù)tanα=1，只需在過(guò)點(diǎn)A(1，0)的圓的切線上截取AT=1，連結(jié)OT與單位圓相交于兩點(diǎn)，該直線即為所求.解：(1)(2)(3)圖1-2-9圖1-2-9中的OP、OQ即為所求角α的終邊.例9求函數(shù)的定義域.思路分析：由于題目只給出了解析式y(tǒng)=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，所以它的定義域應(yīng)是使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合.解三角不等式時(shí)，可借助于單位圓中的三角函數(shù)線求解.解：要使有意義，必須滿足sinx≥0；要使lg(9x2)有意義，必須滿足9x2＞0；要使分母有意義，需滿足cosx＞0.所以要使函數(shù)f(x)有意義，則(k∈Z)(k∈Z)0≤x＜，即函數(shù)f(x)的定義域是x∈［0，］.方法歸納三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示形式.若已知角α的大小，則它的三角函數(shù)的大小可用它的三角函數(shù)線表示出來(lái)；反過(guò)來(lái)，若已知角α的三角函數(shù)值的大小，則可找到角α的終邊.利用三角函數(shù)線可以解簡(jiǎn)單的三角不等式、求定義域、比較函數(shù)值的大小，同時(shí)它也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).問(wèn)題?探究交流討論探究問(wèn)題若角α是銳角，則α、sinα、tanα的大小關(guān)系是怎樣的？探究過(guò)程：學(xué)生甲：三角函數(shù)線是單位圓中的有向線段，利用它們可以比較三角函數(shù)值的大小，利用這種方法可以比較sinα和tanα的大小關(guān)系，如圖1-2-10(1)，角α的正弦線MP和正切線AT的方向均與y軸的正向相同，則AT的長(zhǎng)度大于MP的長(zhǎng)度，則應(yīng)有sinα＜tanα.(1)學(xué)生乙：只利用三角函數(shù)線不能比較α和sinα的大小關(guān)系，但我可以構(gòu)造一個(gè)三角形和一個(gè)扇形，利用它們的面積來(lái)比較α、sinα的大小，如圖1-2-10(2)，扇形OAP的面積大于△OAP的面積，且S△OAP=OA·MP=MP=sinα，S扇形OAP=OA·=α.所以應(yīng)有sinα＜α，即sinα＜α.再結(jié)合同學(xué)甲的結(jié)論，則應(yīng)有sinα＜α＜tanα.(2)學(xué)生丙：受同學(xué)乙的啟發(fā)，我可以比較α和tanα的大小，如圖1-2-10(3)，在圖中，扇形OAP的面積小于Rt△OAT的面積，且S扇形OAP=OA·=α,S△OAT=OA·AT=AT=tanα,則有α＜tanα,即α＜tanα.(3)圖1-2-10探究結(jié)論：若角α是銳角，則α、sinα、tanα的大小關(guān)系是sinα＜α＜tanα.思想方法探究問(wèn)題1單位圓與三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的直觀表示，它在證明三角函數(shù)問(wèn)題中有什么作用？探究過(guò)程：利用單位圓和三角函數(shù)線可以將問(wèn)題中各量用它的幾何形式直觀表示出來(lái)，然后再通過(guò)圖形分析即可解決問(wèn)題.如三角中常見(jiàn)的不等式tanα＞α＞sinα(0＜α＜)，就可以利用單位圓與三角函數(shù)線非常方便地證明.探究結(jié)論：利用三角函數(shù)線，數(shù)形結(jié)合，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.這個(gè)不等式既不是單純的三角不等式，又不是單純的代數(shù)不等式，而是“混合型”的不等式，證明的方法使用了面積關(guān)系，證題的基礎(chǔ)是弧度制與三角函數(shù)線.由此，三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問(wèn)題的重要工具.問(wèn)題2三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明是三角部分的重要問(wèn)題，那么三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與證明有哪些常用方法？應(yīng)當(dāng)注意些什么問(wèn)題？探究過(guò)程：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)實(shí)際上是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡(jiǎn)的最基本的數(shù)學(xué)解題原則.它不僅要求學(xué)生熟悉和靈活運(yùn)用所學(xué)的三角公式，還需要熟悉和靈活運(yùn)用這些公式的等價(jià)形式.同時(shí)，這類問(wèn)題還具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)其他非三角知識(shí)的運(yùn)用也具有較高的要求，因此在學(xué)習(xí)時(shí)要注意進(jìn)行及時(shí)的總結(jié).①化簡(jiǎn)三角函數(shù)時(shí)，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要明確化簡(jiǎn)的基本要求：盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化同角、化同名角等.其