角的定義與分類

第17講角知識(shí)框架角是初中數(shù)學(xué)六年級(jí)下學(xué)期第3章第2節(jié)的內(nèi)容.同學(xué)們要理解角、余角和補(bǔ)角的概念，掌握角的表示方法、角的大小的比較的方法，理解兩個(gè)角的和、差、倍的意義，會(huì)用量角器畫(huà)角，并學(xué)會(huì)用尺規(guī)作角及角的和、差，理解角的平分線的意義，并會(huì)用尺規(guī)作已知角的平分線，還要掌握角度的單位換算及相關(guān)運(yùn)算.17.1角的概念與表示知識(shí)精講知識(shí)精講角的概念角是具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形.如下左圖所示，公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條射線叫做角的邊.頂點(diǎn)頂點(diǎn)我們還可以這樣理解角：角是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.如上右圖所示，處于初始位置的那條射線叫做角的始邊，終止位置的那條射線叫做角的終邊.角的始邊轉(zhuǎn)動(dòng)到角的終邊所經(jīng)過(guò)的平面部分，叫做角的內(nèi)部，簡(jiǎn)稱角內(nèi).通常角的內(nèi)部用不帶箭頭或帶箭頭的弧線表示，如下圖所示.其中，中圖，右圖中的陰影部分是角的外部，簡(jiǎn)稱角外.

角的表示（1）大寫(xiě)英文字母：角一般用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，如下左圖所示，記作ZAOB.其中表示頂點(diǎn)的字母O必須放在三個(gè)字母中間.如果以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)，那么這個(gè)角可以用表示頂點(diǎn)的字母表示.上左圖中，ZAOB可以記作ZO.如果以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的角有多個(gè)（如上右圖所示），那么其中任何一個(gè)角都必須用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，而不能記作ZO.（2） 小寫(xiě)希臘字母：有時(shí)為了方便，在角的內(nèi)部標(biāo)上一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母，如n，卩，Y等；在上右圖中，ZAOC、上COD、上DOB可以分別記作Za、Z0、Zy（或n、p、y）.（3） 數(shù)字：有時(shí)為了方便，也可以在角的內(nèi)部標(biāo)上一個(gè)數(shù)字，如1,2,3等;如右圖所示，ZAOC、ZCOD、ZDOB可以分別記作Zl、Z2、Z3.3.方向角指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角.如圖：北偏東30°，北偏西70°，南偏東50。，南偏西45°.例題分析例題分析【例1】如圖，分別用三種形式表示圖中的角.NN【例2】寫(xiě)出圖中射線OA、OB表示的方向.OA表示的方向是 偏 OB表示的方向是 偏 【例3】如圖，點(diǎn)D在AB上.圖中共有幾個(gè)角(小于平角的角)？寫(xiě)出圖中能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示的角.寫(xiě)出圖中只能用三個(gè)大寫(xiě)字母表示的角(小于平角的角).【例4】在AOB的內(nèi)部引1條射線，一共有幾個(gè)角？引2條射線呢？引3條射線呢？引4條射線呢？引n條射線內(nèi)？16.2角的大小的比較畫(huà)相等的角知識(shí)精講角的大小的比較度量法：用量角器量出角的度數(shù)，然后比較大小.疊合法：移動(dòng)一個(gè)角，使它的頂點(diǎn)和一條邊分別與另一個(gè)角的頂點(diǎn)和一條邊疊合，兩個(gè)角的另一條邊都落疊合的邊的同側(cè)，再觀察“兩個(gè)角的另一條邊”的位置情況.如圖，已知ZAOB，如果移動(dòng)ZEDF，使頂點(diǎn)O和頂點(diǎn)E、邊ED與邊OA疊合，邊EF與邊OB在它們的同側(cè).這時(shí)EF對(duì)于ZAOB而言，有幾種可能的位置關(guān)系？請(qǐng)完成下列表格：圖形EF對(duì)于ZAOB的位置付號(hào)表示情況一O(E) A(D)邊EF在ZAOB的內(nèi)部ZDEF<ZAOB(或ZAOB>ZDEF)情況二情況三銳角、直角、鈍角、平角、周角0°<銳角<90°,直角=90°,90°<鈍角<180°,平角=180°,周角=360°.例題分析I.例題分析I. ;【例1】根據(jù)圖形填空：(1)比較角的大?。阂?yàn)镺B和OB是公共邊，邊 在ZBOD的內(nèi)部，所以ZBOCZBOD；

因?yàn)镺A和OA是 ，邊OC在ZAOB的內(nèi)部，所以ZAOC ZAOB.(2)確定角的邊的位置：因?yàn)镺C和OC是公共邊，ZBOC<ZAOC，所以邊OA在ZBOC的；因?yàn)檫匫M與邊疊合，,MON=ZAOC，所以邊ON與邊 .DODO【例2】下列說(shuō)法中正確的是(【例2】下列說(shuō)法中正確的是((A)銳角都相等；(C)鈍角都相等；(B)直角都相等；(D)角的大小與角的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)短有關(guān).【例3】判斷題：大于90°的角是鈍角.( )鈍角一定大于它的補(bǔ)角.( )直線MN是平角.( )角的邊越長(zhǎng)，角的度數(shù)越大.( )大于直角的角是鈍角.( )【例4】如圖，已知Za，用量角器畫(huà)ZAOB，使得ZAOB=Za.【例5】如圖，已知Z0，用直尺、圓規(guī)作出ZCOD，使得ZCOD=Z^.【例6】如圖，已知Z1、Z2，用尺規(guī)作圖法比較它們的大小.17.3畫(huà)角的和、差、倍—7知識(shí)精講1.角的和差如圖，共有ZAOB、上COB、ZAOC共3個(gè)角，它們有如下等量關(guān)系：ZAOC+ZCOB=ZAOB，ZAOB-ZAOC=/COB，ZAOB-ZCOB=ZAOC.概括：兩個(gè)角可以相加（或相減），它們的和（或差）也是一個(gè)角，它的度數(shù)等于這兩個(gè)角的度數(shù)的和（或差）.2.角的平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.例題分析例題分析【例1】用一副三角尺可以直接畫(huà)出30°、45°、60°、90°的角，試?yán)媒堑暮汀⒉钜饬x,畫(huà)出15°、75°、105°、135。和150°的角.【例2】如圖，已知Z1、Z2，用量角器畫(huà)一個(gè)角，使它等于Z1+Z2.【例3】如圖，根據(jù)圖形填空：ZBOC=ZAOD- - = —ZAOB= -ZDOC；ZBOD二ZAOD- =ZDOC+ .【例4】已知射線OD平分ZAOB，ZAOD=40。，ZAOB= .【例5】已知加=35。，ZP=45。，則-（Za+Z3）= .2【例6】如圖，已知ZAOB=/DOC，ZAOC=56。，ZDOB= 【例7】已知ZA+ZB+ZC=180。，ZA:ZB:ZC=2:3:4，求ZA、ZB、ZC的度數(shù).【例8】?jī)蓚€(gè)角的度數(shù)之比為3:5，且兩角之差為40°，求這兩個(gè)角的度數(shù).【例9】尺規(guī)作圖：如圖，已知Z1和Z2，求作ZAOB=4+Z2.【例10】尺規(guī)作圖：如圖，已知ZAOB，求作ZAOB的平分線OC.【例11】尺規(guī)作圖：已知ZAOB、ZCOD，求作：-(ZAOB-ZCOD).2【例12】如圖，Z1=Z2=15。，Z3=Z4=30。，求圖中所有的角的度數(shù)的和.知識(shí)精講余角如果兩個(gè)角的度數(shù)的和是90°，那么這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余.其中一個(gè)角稱為另一個(gè)角的余角.補(bǔ)角如果兩個(gè)角的度數(shù)的和是180°，那么這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ).其中一個(gè)角稱為另一個(gè)角的補(bǔ)角.角的度量度量單位：度（記作：“。”，分（記作：“'”），秒（記作：“''”）.角的度量單位度、分、秒的關(guān)系：1。=60'，1'=60''.同角（或等角）的余角相等.同角（或等角）的補(bǔ)角相等.【例1】TOC\o"1-5"\h\z已知ZA=20。，則ZA的余角= ，補(bǔ)角= ；已知Za=26。34'，則Za的余角= ，補(bǔ)角= .【例2】下列說(shuō)法正確的是（ ）（A） 180°的角是補(bǔ)角；（B） 110°和90°的角互為補(bǔ)角；（C） 10°、20°、60°的角互為余角；（D） 若Za=90?！猌B，則Za、Z0互為余角.【例3】如圖，ZAOC=ZBOD=90。，若ZAOB=35。14'，則ZC0D= 【例4】TOC\o"1-5"\h\z（1）35°的余角的補(bǔ)角是 °；（2）若一個(gè)角的余角是x°,那么這個(gè)角的補(bǔ)角是 °.【例5】一個(gè)角的余角與它的補(bǔ)角互補(bǔ)，則這個(gè)角的2倍一定是（ ）（A）銳角； （B）鈍角； （C）直角； （D）平角.例6】單位換算：44。15'= °；71.36。= ° ' 例7】計(jì)算：(1)12。44'+53。24'； (2)33。25'18”—14。34'26”；(2)34°55'41"x2；(4)110。—14。25'15”+25(2)34°55'41"x2；例8】一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的3倍大14°，求這個(gè)角的度數(shù)？【例9】已知X、尹是正整數(shù)，Z1的度數(shù)等于（3x+5）。,Z2的度數(shù)等于（3y—2）。，且Z1與Z2互為補(bǔ)角，則X、尹的和是多少？【例10】已知ZAOB=70。，ZBOC與ZAOB互余.（1） 若OP是ZAOC的平分線，計(jì)算ZBOP的度數(shù)；（2） 若ZBOD與ZAOB互補(bǔ)，OE平分ZCOD，畫(huà)出所有符合條件的圖形，并直接寫(xiě)出ZAOE的度數(shù).圖中有幾個(gè)角？怎么表示.下列說(shuō)法一定正確的是()(A)下列說(shuō)法一定正確的是()(A)角是由兩條射線組成的圖形；(C)三條共頂點(diǎn)的射線組成兩個(gè)角;如圖，在橫線上填上適當(dāng)?shù)慕?ZAOC+ZCOD= ；ZAOC—ZAOB= ；ZAOB=ZAOD— — ?(B)用放大鏡看一個(gè)角，角的度數(shù)變大了;(D)平角大于鈍角.DTOC\o"1-5"\h\z(1)Z1=30。12',Z2=43。16'，則Z1+Z2= ；Z1=60。,Z2=33。16'，則Z1—Z2= ；Z1=12。26'，則3Z1= ；2Z1=65。45'30"，則—Z1= ?3 鐘面上從3點(diǎn)50分到4點(diǎn)30分，時(shí)針轉(zhuǎn)了 °?射線OA位于南偏東20°方向，射線OB位于北偏東25°方向，ZAOB的度數(shù)為 已知Za的余角為53。41'，則Za的補(bǔ)角= ?一個(gè)角的補(bǔ)角與它的余角的和是平角的7，求這個(gè)角的度數(shù).69.已知ZAOB=120。，自點(diǎn)O在ZAOB內(nèi)部引射線OC，OD、OE分別是ZAOC、ZBOC的平分線，求ZDOE的度數(shù).10.如圖，已知A、O、B三點(diǎn)共線，ZAOC=120。,OD、OE分別平分ZAOC、ZBOC.TOC\o"1-5"\h\z圖中相等的角有 對(duì)，分別是 :圖中互余的角有_____對(duì)，分別是 :圖中互補(bǔ)的角有_____對(duì)，分別是 :EEB11.如圖，已知ZBOD=45。，ZAOE=90。，請(qǐng)問(wèn)圖中不大于90。的角有幾個(gè)？它們的和是多少？DDE12.在ZMON內(nèi)部引10條射線，則一共多少個(gè)角？判斷：TOC\o"1-5"\h\z由兩條射線組成的圖形叫做角.( )所有的角都可以用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示.( )若ZAOC=丄ZAOB，則0C平分ZAOB.( )2鈍角沒(méi)有余角.( )一個(gè)角的余角是銳角.( )一副三角尺不能畫(huà)出的角度是( )(A)15°； (B)75°； (C)85°； (D)105點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東70°方向，則點(diǎn)B在點(diǎn)A的 方向.若ZA=24。24',ZB=24.24。，則ZA ZB(填“>”，“=”，“<”).已知Z1比Z2大24°,Z1:Z2=3:1,Z1+Z2= °.填空：已知ZA=24。44'，則ZA的余角為 ,ZA的補(bǔ)角為 ；一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角大 ；35。30'+72.4。= ；(結(jié)果用度表示)36。12'4