1.3.2“三角”與二項式系數(shù)的性質

1.3.2“楊輝三角〞與二項式系數(shù)的性質一般地，對于nN*有二項式定理:

二項展開式中的二項式系數(shù)指的是哪些？共有多少個？

下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質.我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點.?詳解九章算法?中記載的表楊輝三角1．了解楊輝三角，并能由它解決簡單的二項式系數(shù)問題．(難點)2．了解二項式系數(shù)的性質并能簡單應用．(重點)3．掌握“賦值法〞并會靈活應用.探究點1．“楊輝三角〞的來歷及規(guī)律展開式中的二項式系數(shù)，如下表所示：11

121133114641151010511615201561點擊圖片可以演示“楊輝三角〞課件第5行

1551第0行

1楊輝三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=4+61066=3+34=1+341．楊輝三角的特點(1)在同一行中每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)；(2)在相鄰的兩行中，除1外的每一個數(shù)都等于它“肩上〞兩個數(shù)的，即＝.想一想：二項式系數(shù)表與楊輝三角中對應行的數(shù)值都相同嗎？提示：不都相同．二項式系數(shù)表中第一行是兩個數(shù)，而楊輝三角的第一行只有一個數(shù)．實際上二項式系數(shù)表中的第n行與楊輝三角中的第n＋1行對應數(shù)值相等．相等和探究點2二項式系數(shù)的性質

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．2．二項式系數(shù)的性質〔1〕對稱性與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數(shù)相等．

這一性質可直接由公式得到．圖象的對稱軸：〔2〕增減性與最大值由于：所以相對于的增減情況由決定．由：

可知，當時，

因此，當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值；

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù),相等，且同時取得最大值.二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半局部是逐漸減小的，且中間項取得最大值.〔3〕各二項式系數(shù)的和在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：〔1〕〔2〕〔4〕

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質：

（3）當時，

當時，2．在(x－y)11的展開式中，求(1)通項Tr＋1；(2)二項式系數(shù)最大的項；(3)項的系數(shù)絕對值最大的項；(4)項的系數(shù)最大的項；(5)項的系數(shù)最小的項；(6)二項式系數(shù)的和；(7)各項系數(shù)的和．性質的應用：1.的展開式中的所有二項式系數(shù)之和為128，那么展開式中二項式系數(shù)最大的項是_______．解：(1)(2)二項式系數(shù)最大的項為中間兩項：

(3)項的系數(shù)絕對值最大的項也是中間兩項：(4)因為中間兩項系數(shù)的絕對值相等，一正一負，第7項為正，故(5)項的系數(shù)最小的項為(6)二項式系數(shù)的和為(7)各項系數(shù)的和為(1－1)11＝0.【拓展提升】1.二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質對(a+b)n中的n進行討論.(1)當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大.(2)當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.變式：(x+2y)7展開式中系數(shù)最大的項為_______.2.展開式中系數(shù)的最大項的求法求展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需要根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況進行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展開式中系數(shù)的最大項，一般采用待定系數(shù)法.設展開式中各項系數(shù)分別為A0,A1，A2,…,An，且第r+1項最大，應用解出r，即得出系數(shù)的最大項.1.二項式系數(shù)的三個性質2.數(shù)學思想：函數(shù)思想

a

單調性；b

圖象；c

最值.距離相等

2n－1

2n

3.二項式的系數(shù)1．(a＋b)n展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，那么n等于()A．11B．10C．9D．8解：因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以所以n＝8.D2．在(a－b)10

(a＞0,b＞0)的二項展開式中，系數(shù)最小的項是________．解：在(a－b)10的二項展開式中，奇數(shù)項的系數(shù)為正，偶數(shù)項的系數(shù)為負，且偶數(shù)項系數(shù)的絕對值為對應的二項式