數(shù)學(xué)(職業(yè)模塊-財經(jīng)、商貿(mào)及服務(wù)類)第一章

1.1命題邏輯1.1.1命題的概念在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)研究中，經(jīng)常要說到一些表示判斷的語句，我們把這些語句叫做陳述語句。（5）2015年國慶是晴天。（1）中國是世界上人口最多的國家；（3）是有理數(shù)；（1）（2）陳述語句敘述的事情是真的；（3）（4）陳述語句敘述的事情是假的；（5）陳述語句敘述的事情可能在敘述的時候不能判斷是真是假，但到一定的時候能判斷其是真是假。（2）

；（4）

；1.1命題邏輯命題-一個能判斷真假的陳述語句真命題：一個命題敘述的事情如果是真的。假命題：一個命題敘述的事情如果是假的。1.1命題邏輯例題解析解（1）x取值不確定，是一個不能確定真假的陳述句，所以不是命題．（2）此句是一個祈使句，不是陳述句，所以不是命題．（3）此句是一個陳述句，并且敘述的事情是真的，所以是命題，而且是真命題．（4）此句是一個陳述句，但敘述的事情是假的，所以是命題，而且是假命題．（5）對于該語句，若其敘述的事情為“真”，即“我正在說假話”為真，則這句話也應(yīng)是假話，所以應(yīng)為假命題，與假設(shè)矛盾；反之，若其敘述的事情為“假”，即“我正在說假話”為假，也就是“我正在說真話”，則這句話也應(yīng)是真話，所以應(yīng)為真命題，與假設(shè)矛盾．于是，這句話的真假無法確定，所以不是命題．例1判斷下列語句是否是命題，為什么？若是命題，請說明是真命題還是假命題．（1）；（2）不準(zhǔn)亂扔垃圾；（3）

是的真子集；（4）4是質(zhì)數(shù)；（5）我正在說假話．1.1命題邏輯總結(jié)判斷一個語句是否是命題，首先要判斷它是否是陳述語句，然后判斷它能否辨別真假。由真推出假，又由假推出真的陳述語句“悖論”命題通常用小寫字母p，q，r，……表示，，例如：p：意思是p表示命題“p：”1.1命題邏輯1.1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞簡單命題如果一個命題不能分解成更簡單的命題，則這個命題稱為簡單命題（或原子命題）。復(fù)合命題由簡單命題通過加了諸如“當(dāng)且僅當(dāng)”“且”“或”“不是”“如果……那么……”等這樣的連詞或否定詞得到的，這些詞稱為聯(lián)結(jié)詞．用一些聯(lián)結(jié)詞把一些簡單命題連接起來組成的新命題叫做復(fù)合命題.（1）一個整數(shù)為偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它能夠被2整除；（2）是無理數(shù)且屬于實數(shù)；（3）8或6是30的約數(shù)；（4）10不是被開方數(shù)；（5）如果10是偶數(shù)，那么5是奇數(shù)。命題的三種運算析取聯(lián)結(jié)詞合取聯(lián)結(jié)詞否定聯(lián)結(jié)詞1.1命題邏輯

1．合取聯(lián)結(jié)詞設(shè)p，q為兩個命題，復(fù)合命題“p且q”（或“p與q”“p和q”）稱為p與q的合取式，記為，符號稱為合取聯(lián)結(jié)詞。例如，p：8能被2整除，q：8是有理數(shù)，則：：8能被2整除且是有理數(shù)。pq000010100111p且q的真值表1.1命題邏輯例題解析例2指出下列命題的真假，并說明理由。（1）且；（2）-3＜0且-3是負數(shù)；（3），且是無理數(shù)；（4）梯形是矩形，且梯形是菱形。解

（1）因為““為假，所以命題（1）為假命題。（2）因為“-3＜0”為真，“-3是負數(shù)”為真，所以命題（2）為真命題。（3）因為“”為假，所以命題（3）為假．（4）因為“梯形是矩形”為假，“梯形是菱形”為假，所以命題（4）為假。1.1命題邏輯例題解析解（1）此命題可表達為“平行四邊形的一組對邊平行，且平行四邊形的一組對邊相等”，設(shè)p：平行四邊形的一組對邊平行，q：平行四邊形的一組對邊相等。則此命題可以用符號表示為。（2）此命題可表達為“x＜10”且“x＞6”，設(shè)p：x＜10，q：x＞6。則此命題可以用符號表示為。（3）此命題可表達為“5是奇數(shù)，且9是奇數(shù)”，設(shè)p：5是奇數(shù)，q：9是奇數(shù)。則此命題可以用符號表示為。例3用符號表示下列復(fù)合命題。（1）平行四邊形的一組對邊既平行又相等；（2）；（3）5和9都是奇數(shù)；1.1命題邏輯2．析取聯(lián)結(jié)詞p或q的真值表設(shè)p，q為兩個命題，復(fù)合命題“p或q”稱為p與q的析取式，記為，符號稱為析取聯(lián)結(jié)詞。例如，p：黃金比白銀貴，q：黃金比白銀便宜，則：：黃金比白銀貴或黃金比白銀便宜。pq1111010110001.1命題邏輯例題解析例4指出下列命題的真假，并說明理由。（1）20可以被2或5整除；（2）32=4，或（-2）2=4；（3）3＞2，或3=2；（4）或。解

（1）此命題可表達為“20可以被2整除，或20可以被5整除”，因為“20可以被2整除”為真，“20可以被5整除”為真，所以此命題為真。（2）因為命題“（-2）2=4”為真，所以此命題為真。（3）因為命題“3＞2”為真，所以此命題為真。（4）因為命題“”為假，命題“”為假，所以此命題為假。1.1命題邏輯例題解析例5用符號表示下列復(fù)合命題。（1）實數(shù)a的絕對值等于a或-a；（2）x＜3或x=5。解（1）此命題可表達為“實數(shù)a的絕對值等于a，或?qū)崝?shù)a的絕對值等于”，設(shè)p：實數(shù)a的絕對值等于a，q：實數(shù)a的絕對值等于-a，則此命題可以用符號表示為。（2）設(shè)r：x＜3，s：x=5。則此命題可以用符號表示為。1.1命題邏輯3．否定聯(lián)結(jié)詞非p真值表設(shè)p為命題，復(fù)合命題“非p”（或“p的否定”）稱為p的否定式，記為，符號稱為否定聯(lián)結(jié)詞。例如，p：9是3的倍數(shù)，則：：9不是3的倍數(shù)。p10011.1命題邏輯例題解析例6已知下列命題p，寫出命題“”，并指出“”的真假。（1）p：三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）q：-5，3，8都是負數(shù)。解（1）：三角形的內(nèi)角和不等于180°，因為p為真，所以

為假。（2）：-5，3，8不都是負數(shù)，因為q為假，所以為真。1.1命題邏輯例題解析例7寫出下列陳述語句的否定形式。（1）p：方程（x+1）2=0的解是x=-1；（2）q：a，b都是1；（3）r：x＞5.解（1）：方程（x+1）2=0的解不是x=-1；（2）：a，b不都是1；（3）：x≤5.1.1命題邏輯由于陳述句q可以寫成q：a是1，且b是1，所以它的否定形式為：a不是1，或b不是1．一般來說，“p且q”的否定形式是“非p或非q”，用符號表示即為：“”的否定形式是；類似地，“”的否定形式是“”。1.2條件判斷1.2.1如果……，那么……聯(lián)結(jié)詞“如果……，那么……”可以連接簡單命題p和q而構(gòu)成復(fù)合命題：“如果p，那么q”．例如，設(shè)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形的對應(yīng)邊成比例?？梢杂谩叭绻?，那么……”連接成命題r：如果兩個三角形相似，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊成比例。我們把p稱為復(fù)合命題r的條件，把q稱為復(fù)合命題r的結(jié)論。若命題“如果p，那么q”經(jīng)過推理證明判定是真命題，即如果從條件p為真，通過推理得出q也為真，就是由p可以推出q，則記為，讀作“p推出q”．換而言之，表示以p為條件、q為結(jié)論的復(fù)合命題“如果p，那么q”為真命題。當(dāng)然從條件p出發(fā)，也有可能推不出結(jié)論q，即存在一個由條件判斷結(jié)論的問題。1.2條件判斷例題解析例1設(shè)p，q分別表示下列命題，寫出復(fù)合命題r：“如果p，那么q”，并判斷r的真假。（1）p：a=0且b=0，q：a2+b2=0；（2）p：x-2=0，q：（x-2）（x-5）=0；（3）p：x2=y2，q：x=y

；（4）p：x≠4，q：x2≠16。解

（1）復(fù)合命題r：如果a=0且b=0，那么a2+b2=0。如果p為真，即a=0且b=0，那么，一定有a2+b2=0，從而q為真，所以命題r為真。（2）復(fù)合命題r：如果x-2=0，那么（x-2）（x-5）=0。如果p為真，即x-2=0，則x=2，從而（x-2）（x-5）=0*（-3）=0，則q也為真，所以命題r為真。（3）復(fù)合命題r：如果x2=y2，那么x=y

。當(dāng)x=1，y=-1時，x2=y2，

p為真，但是x=y不成立，從而q為假，所以命題r為假命題。（4）復(fù)合命題r：如果x≠4，那么x2≠16。當(dāng)x=-4時，則p為真，但x2=（-4）2=16，即x2≠16不成立，從而q為假命題，因此命題r為假。1.2條件判斷1.2.2充分條件、必要條件、充分必要條件一般地，如果從條件p為真出發(fā)，通過推理得出結(jié)論q也為真，即，我們稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件。如果既有，又有，記為，這時稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。1.2條件判斷例題解析例2指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件？（1）p：一元二次方程的判別式Δ=b2-4ac＜0，q：一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根；（2）p：，q：x＞-3；（3）p：兩個角相等，q：兩個角是對頂角。1.2條件判斷例題解析解

（1）由一元二次方程的求根公式知道，下述兩個復(fù)合命題：①如果一元二次方程的判別式Δ=b2-4ac＜0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根為真，即。②如果一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根，那么一元二次方程的判別式Δ=b2-4ac＜0為真，即。因此，，即p，q互為充分必要條件。（2）如果，顯然有x＞-3，即。當(dāng)x=5時，5大于-3，即q為真，但，即q為假，從而q不能推出p。因此，p是q的充分條件