湖北湖北省宜昌市2021年高考新題型-數(shù)學(xué)數(shù)列多選題專項(xiàng)練習(xí)附答案

湖北湖北省宜昌市夷陵中學(xué)2021年高考新題型——數(shù)學(xué)數(shù)列多選題專項(xiàng)練習(xí)附答案一、數(shù)列多選題1．在（）中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，的面積為，若，，，且，，則（）A．一定是直角三角形 B．為遞增數(shù)列C．有最大值 D．有最小值【答案】ABD【分析】先結(jié)合已知條件得到，進(jìn)而得到，得A正確，再利用面積公式得到遞推關(guān)系，通過作差法判定數(shù)列單調(diào)性和最值即可.【詳解】由，得，，故，又，，，故一定是直角三角形，A正確；的面積為，而，故，故，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），又由，知不是恒成立，即，故，故為遞增數(shù)列，有最小值，無最大值，故BD正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系得到，進(jìn)而得到，再逐步突破.數(shù)列單調(diào)性常用作差法判定，也可以借助于函數(shù)單調(diào)性判斷.2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，則（）A．a(chǎn)6＞0B．C．Sn＜0時(shí)，n的最小值為13D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)【答案】ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a(chǎn)1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0時(shí)，n的最小值為13．?dāng)?shù)列中，n≤6時(shí)，＞0.7≤n≤12時(shí)，＜0．n≥13時(shí)，＞0．進(jìn)而判斷出D是否正確．【詳解】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a(chǎn)1＞0．S13＝＝13a7＜0．∴Sn＜0時(shí)，n的最小值為13．?dāng)?shù)列中，n≤6時(shí)，＞0，7≤n≤12時(shí)，＜0，n≥13時(shí)，＞0．對(duì)于：7≤n≤12時(shí)，＜0．Sn＞0，但是隨著n的增大而減??；an＜0，但是隨著n的增大而減小，可得：＜0，但是隨著n的增大而增大．∴n＝7時(shí)，取得最小值．綜上可得：ABCD都正確．故選：ABCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．3．已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)數(shù)列滿足，，得到，兩式相減得：，然后利用等差數(shù)列的定義求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，，所以，兩式相減得：，所以奇數(shù)項(xiàng)為1，3，5，7，….的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)為2，4，6，8，10，….的等差數(shù)列；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，A.令時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；B.令時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，而，成立，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，故正確；D.因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以得到遞增，所以，故正確；故選：CD【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及數(shù)列的單調(diào)性和放縮法的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于較難題.4．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.并將數(shù)列中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．【答案】AB【分析】由可得，可判斷B、D選項(xiàng)；先計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律,使用歸納法得出結(jié)論：數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，可判斷A、C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，，所以數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，又，所以，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：斐波那契數(shù)列總有：，所以，，所以，故B正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，，，，。所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義，關(guān)鍵在于運(yùn)用數(shù)列的定義研究其性質(zhì)用于判斷選項(xiàng)，常常采用求前幾項(xiàng)的值，運(yùn)用歸納法找到規(guī)律，屬于難度題.5．（多選題）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的為（）A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立D．【答案】ABCD【分析】對(duì)于A，結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)可確定正誤；對(duì)于B，將原式化簡為，由得到結(jié)果；對(duì)于C，結(jié)合范圍和A中結(jié)論可確定，由此判斷得到結(jié)果；對(duì)于D，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，，若，則，又，可知，，又，，A正確；對(duì)于B，由已知得：，，B正確；對(duì)于C，由及A中結(jié)論得：，，，顯然對(duì)任意的正數(shù)，在在正整數(shù)，使得，此時(shí)成立，C正確；對(duì)于D，（i）當(dāng)時(shí)，由已知知：成立，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，又，即，，綜上所述：當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于能夠熟練應(yīng)用不等式的性質(zhì)與函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡辨析，同時(shí)對(duì)于數(shù)列中的不等式證明問題，可采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.6．已知數(shù)列中，，且，，則以下結(jié)論正確的是（）A．B．是單調(diào)遞增數(shù)列C．D．若，則(表示不超過的最大整數(shù))【答案】ABD【分析】利用裂項(xiàng)法可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用裂項(xiàng)求和法可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出的表達(dá)式，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】在數(shù)列中，，且，，則，，，依此類推，可知對(duì)任意的，.對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，即，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，所以，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，，由，且得，，又是單調(diào)遞增數(shù)列，則時(shí)，，則，從而，得，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.7．?dāng)?shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則下列說法中正確的是（）A．B．?dāng)?shù)列的前2020項(xiàng)的和為C．?dāng)?shù)列的前2020項(xiàng)的和為D．?dāng)?shù)列的第50項(xiàng)為2550【答案】AC【分析】用累加法求得通項(xiàng)公式，然后由裂項(xiàng)相消法求的和即可得．【詳解】因?yàn)?，，所以，所以時(shí)，，也適合此式，所以，，A正確，D錯(cuò)誤，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，B錯(cuò)，C正確．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查用累加法數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列的前項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和．8．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．a(chǎn)1=22 B．d=－2C．當(dāng)n=10或n=11時(shí)，Sn取得最大值 D．當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為20【答案】BCD【分析】由等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，求得等差數(shù)列的通項(xiàng)和，由二次函數(shù)的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判斷命題的真假．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，由，可得，即，①由是與的等比中項(xiàng)，可得，即，化為，②由①②解得，，則，，由，可得或11時(shí)，取得最大值110；由，可得，即的最大值為20．故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列最值常用的方法有：（1）函數(shù)（單調(diào)性）法；（2）數(shù)形結(jié)合法；（3）基本不等式法.要結(jié)合已知條件靈活選擇合適的方法求解.9．下列說法中正確的是（）A．?dāng)?shù)列成等差數(shù)列的充要條件是對(duì)于任意的正整數(shù)，都有B．?dāng)?shù)列成等比數(shù)列的充要條件是對(duì)于任意的正整數(shù)，都有C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則、、也是等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則、、也是等比數(shù)列【答案】AC【分析】利用等差中項(xiàng)法可判斷A選項(xiàng)的正誤；取可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)法可判斷C選項(xiàng)的正誤；取，為偶數(shù)可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，充分性：若數(shù)列成等差數(shù)列，則對(duì)任意的正整數(shù)，、、成等差數(shù)列，則，即，充分性成立；必要性：對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則，可得出，所以，數(shù)列成等差數(shù)列，必要性成立.所以，數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是對(duì)于任意的正整數(shù)，都有，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，有，但數(shù)列不是等比數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，所以，，，所以，，所以，、、是等差數(shù)列，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)公比，且是偶數(shù)時(shí)，、、都為0，故、、不是等比數(shù)列，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛；1.判斷等差數(shù)列有如下方法：（1）定義法：（為常數(shù)，）；（2）等差中項(xiàng)法：；（3）通項(xiàng)法：（、常數(shù)）；（4）前項(xiàng)和法：（、常數(shù)）.2.判斷等比數(shù)列有如下方法：（1）定義法：（為非零常數(shù)，）；（2）等比中項(xiàng)法：，，；（3）通項(xiàng)公式法：（、為非零常數(shù)）；（4）前項(xiàng)和法：，、為非零常數(shù)且.10．若數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，數(shù)列滿足，則下列選項(xiàng)正確的為（）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則【答案】BD【分析】根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系得，求得通項(xiàng)，然后再根據(jù)選項(xiàng)求解逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，所以，故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)