高等量子力學(xué)閆學(xué)群課后參考答案

第一章量子力學(xué)基本概念和一般理論量子態(tài)矢量的定義是什么。描述微觀粒子狀態(tài)的態(tài)矢量ψ等符號代表一個復(fù)矢量，而y+是y的厄密共軛矢量或稱“對偶矢量"。用狄拉克符號記為|ψ>，表示波函數(shù)ψ的右矢；<ψ|表示左矢。右矢和左矢是互相獨立的，但存在如下關(guān)系：。請簡述線性算符的運算規(guī)則和性質(zhì)。(6)若由方程能夠唯一地解出|ψ>，則可定義算符A的逆算符，于是A'滿足(7)若，則U稱為幺正算符。(8)，表示算符A的函數(shù)。幺正變換的基本性質(zhì)有哪些。幺正變換具有許多非常有意義的性質(zhì)。(1)幺正變換下兩個態(tài)矢量的內(nèi)積不變。(2)幺正變換下算符方程的形式不變。(3)幺正變換下力學(xué)量算符對應(yīng)的平均值保持不變。(4)幺正變換下算符的行列式不變。(5)幺正變換下算符的本征值譜不變。(6)幺正變換下算符的跡不變。(7)利用上述性質(zhì)(6)可以給出指數(shù)算符函數(shù)的一一個有用公式。(8)可以證明，若算符R是厄米算符，即R=R+，則由它所生成的算符時間演化算符U(t，t0)的基本性質(zhì)有哪些。1.初始條件2.幺正性3.因子化特性4.時間反演特性5.薛定諤繪景中的動力學(xué)方程矢量空間中的如下運算規(guī)則有哪些。什么叫密度矩陣？如果采用一個具體表象，例如，F(xiàn)表象(分立情形，)，則與量子態(tài)|ψ>相應(yīng)的密度算符可表示成如下矩陣形式，稱為密度矩陣。請列舉混合態(tài)密度算符的性質(zhì)。第二章量子力學(xué)測量問題從不同角度，量子測量有不同分類，常見的分類有哪些。(1)一般測量、投影測量和POVM；(2)直接測量和間接測量；(3)完全測量與不完全測量。理想測量的三個基本要求是什么。(1)當(dāng)t=0，即探測體和被測系統(tǒng)相互作用之前，探測體制備在量子態(tài)ρp，同時量子客體制備在ρ0態(tài)。(2)使用儀器測量之前，量子客體和探測體在t=0時開始相互作用，在t=τ>0時結(jié)束作用。(3)此方法的第三步是，一個經(jīng)典儀器及在探測體上的測量可以用馮·諾依曼投影假設(shè)的理想測量描述。什么叫標準量子極限，標準量子極限可以逾越嗎？其中，叫作標準量子極限。標準量子極限可以逾越嗎?答案是肯定的。在得到這個極限時用了不確定關(guān)系，但是二者是不相同的。標準量子極限的具體數(shù)值依賴于量子態(tài)，與如何測量有關(guān)，而不確定關(guān)系是底線。那么，在遵守不確定性原理的前提下如何使測量精度超越標準量子極限呢?目前有兩種思路：一種是以犧牲共軛量一方為代價，去求得另一方的超精度測量，這即是壓縮態(tài)的思想；另一種就是量子非破壞性測量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND測量)。什么是量子Zeno效應(yīng)，在對量子系統(tǒng)進行連續(xù)測量時，測量設(shè)備一般以兩種不同的方式反作用于量子系統(tǒng)，請簡單描述。量子Zeno效應(yīng)是純量子測量效應(yīng)。理論和實驗都已經(jīng)表明，頻繁的測量能阻止不穩(wěn)定量子系統(tǒng)的衰變或躍遷。極端而言，連續(xù)進行的量子測量將使不穩(wěn)定的量子系統(tǒng)穩(wěn)定地保持在其初態(tài)上，這種不穩(wěn)定初態(tài)的存活概率在連續(xù)測量下將成為百分之百，這就是量子Zeno效應(yīng)。這種在古代哲學(xué)中提到的“飛矢不動”的佯謬，在量子系統(tǒng)中真的可以實現(xiàn)。在對量子系統(tǒng)進行連續(xù)測量時，測量設(shè)備一般以兩種不同的方式反作用于量子系統(tǒng)。其一，它可以影響被測量的可觀測值的期望值的演化。這被稱為“動力學(xué)反作用”，這種影響是可以預(yù)測的。其二，測量設(shè)備以隨機的方式擾動這個可觀測量，增加它們的不確定性，從而造成對期.望值的隨機偏離。第一種情況可以通過構(gòu)造合適的測量設(shè)備來加以避免；而第二種作用是基本的、無法去除的。第三章二次量子化方法什么是二次量子化方法。二次量子化方法是研究全同粒子組成的多粒子體系的一種常用方法，是現(xiàn)代多體理論及場論的基礎(chǔ)。眾所周知，對于單粒子體系，不存在粒子交換問題，粒子的性質(zhì)在不考慮自旋時由坐標算符x(為簡單起見，此處只寫出一維)和動量算符p構(gòu)成一對正則共軛量，它們的對易關(guān)系定義了單粒子量子力學(xué)。但是在多粒子體系中，由于粒子不止一個，體系的性質(zhì)當(dāng)然不能再由一個粒子的坐標算符和動量算符描述。諧振子相干態(tài)的定義以及表達式是什么。歷史上最早定義的相干態(tài)為諧振子相干態(tài)，它是諧振子的一些量子力學(xué)狀態(tài)，處于這些態(tài)中的粒子按量子力學(xué)規(guī)律運動，與在同一勢場中具有相同能量的經(jīng)典粒子的簡諧運動最為接近。為簡單起見，我們討論一維運動。經(jīng)典諧振子的運動規(guī)律x(t)與其能量表達式為相干態(tài)的基本性質(zhì)有哪些？(1)聲子數(shù)不確定，且呈泊松分布。(2)具有最小不確定性。(3)不具有正交性，但仍可歸一化。(4)具有完全性，形成完全集。壓縮算符定義即它的性質(zhì)。首先定義如下壓縮算符：它具有如下性質(zhì)：請闡述二次量子化方法共有兩條規(guī)定。(1)將普通場量函數(shù)替換為非對易的場算符。替換的主要內(nèi)容就是規(guī)定對易規(guī)則。(2)維持原來方程形式不變，只將原來的普通函數(shù)替換成場算符。對薛定諤方程可以嚴格證明，這種二次量子化程式正是將單粒子薛定諤方程轉(zhuǎn)化為該粒子全同多粒子薛定諤方程的方法。全同粒子系統(tǒng)的算符通?？梢苑譃閹追N類型。(1)單體算符，如式(3.103)中的第一部分，其中每一項僅僅涉及單個粒子的運動特征；(2)兩體算符，如式(3.103)中的第二部分，這是多體系統(tǒng)中的兩體相互作用能部分，涉及兩個粒子的相對運動特征。(3)多體算符，這類和式中的算符每一項都涉及三個或更多粒子的運動特征，這類算符并不常見。第四章輻射場的量子化及其與物質(zhì)的相互作用經(jīng)典電動力學(xué)中給出的電磁場能量密度和總能量公式分別是什么。電磁場能量密度場的總能量公式為什么是JC模型？我們得到頻率為v的單模量子化場與-一個兩能級原子相互作用的系統(tǒng)的哈密頓算符為其中，式(4.47)稱作Jaynes-Cummings哈密頓量，相應(yīng)的模型稱作JC模型。用哪三種方法求解JC模型。1.概率幅方法2.海森伯算符方法3.幺正時間演化算符方法經(jīng)典電磁場轉(zhuǎn)化為量子場的算符有幾種方法。(1)考慮光子是玻色子，所以取如下同時性對易關(guān)系：(2)在前面建立的自由電磁場量子化理論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在進一步將場算符分解為簡正模式。第五章開放量子系統(tǒng)動力學(xué)量子理論在哪些方面有重大的改變和發(fā)展。統(tǒng)所做的局部觀測和統(tǒng)計性研究，導(dǎo)致量子理論在以下三個方面的重大改變和發(fā)展：其一，產(chǎn)生了不同于純態(tài)的混態(tài)概念；其二，混態(tài)的演化不再像純態(tài)遵守幺正和可逆的薛定諤方程，而是遵守一般是非幺正和不可逆的“主方程”；其三，測量過程一般不再是正交投影，而是非正交投影。開放系統(tǒng)動力學(xué)的定義，總哈密頓量的公式是什么。一般來說，開放系統(tǒng)是指一個量子系統(tǒng)S耦合到另一一個稱作環(huán)境的量子系統(tǒng)B的系統(tǒng)。因此，它是復(fù)合系統(tǒng)S+B的子系統(tǒng)。多數(shù)情況下假設(shè)復(fù)合系統(tǒng)是封閉的，遵循哈密頓動力學(xué)，然而，子系統(tǒng)s的狀態(tài)將隨其內(nèi)部動力學(xué)和與環(huán)境的相互作用而改變。相互作用導(dǎo)致某種系統(tǒng)——環(huán)境關(guān)聯(lián)，以致一般情況下，s態(tài)的變化下不再是幺正的、哈密頓動力學(xué)的變化，子系統(tǒng)S的動力學(xué)由總系統(tǒng)哈密頓演化驅(qū)動常稱作約化系統(tǒng)動力學(xué)，并且S也被稱作約化系統(tǒng)。設(shè)Hs是系統(tǒng)的希爾伯特空間，Hg是環(huán)境的希爾伯特空間?？傁到y(tǒng)S+B的希爾伯特空間由張量積表示?？偣茴D量H(t)為馬爾科夫量子主方程怎么寫，。如果量子動力學(xué)半群存在，在某種數(shù)學(xué)條件下(見下面)，一個線性映射L，即半群的生成元，可以表示成如下指數(shù)形式：由此，立刻可以得到開放系統(tǒng)約化密度矩陣的一階微分方程上式方程式叫作馬爾科夫量子主方程。借助本征算符的性質(zhì)可以得到的近似有哪些。第一個近似是弱耦合假設(shè)，這個假設(shè)允許將精確的運動方程展開到密度矩陣二階項，結(jié)合條件，導(dǎo)致對主方程的玻恩近似。第二個近似是馬爾科夫近似，將密度矩陣ρs(s)用當(dāng)前時刻的密度矩陣ρs(t)代替。再者，將積分限推至無窮大得到主方程的玻恩-馬爾科夫近似。玻恩-馬爾科夫近似相關(guān)的物理條件是，系統(tǒng)和庫的關(guān)聯(lián)時間τB比系統(tǒng)的弛豫時間τR小很多，即。最后，在旋波近似中，對于比例于的快速振蕩項中的部分可忽略，這使得量子主方程為Lindblad形式。相應(yīng)的物理條件是，問題中涉及頻率差的倒數(shù)。第六章開放系統(tǒng)退相干請簡單說明庫系統(tǒng)的優(yōu)點。這個模型的優(yōu)點是：一方面，它顯示出了退相干的幾個重要特性；另一方面，它又足夠簡單并精確可解。正如下面將要看到的，模型以最純粹的形式顯示退相干，也就是沒有布居衰減的量子相千破壞。根據(jù)退相干函數(shù)分析三個時間不同的函數(shù)。(1)短時間范圍。在這個范圍內(nèi)，Γ的值隨時間t的平方增加(2)真空范圍。這里，退相干函數(shù)可以近似地寫為(3)熱范圍。這個范圍也可以稱作馬爾科夫范圍，因為退相干函數(shù)的數(shù)值隨時間線性增加，有對粒子散射的兩種限度情況進行分析討論。首先，假設(shè)的，其中k0是散射粒子的典型波數(shù)。表達式(6.106)中指數(shù)平均為零，由此得到式中，σ(k)是總橫截面，γscatt是總散射率，類似于兩個內(nèi)部能級轉(zhuǎn)換引起的退相干，散射引起的退相干飽和于大的距離△x，并且以等于總散射率的比率發(fā)生。退相干函數(shù)的飽和容易被獲知：對于，散射粒子的波長小于距離△x。因此，一個單個的散射反應(yīng)對定位客體系統(tǒng)即已提供了充足的信息。進一步增加△x不可能增強這個信息。其次，對于小距離，，我們發(fā)現(xiàn)引入球坐標以至于，則有式中上式被視為有效橫截面簡單描述原子與腔場模相互作用實驗的基本思想。首先，讓我們簡單描述實驗的基本思想。第一個諧振器R1用來制備原子在狀態(tài)|e>和|g>的某個疊加態(tài)。初始時刻，腔C包含一個較小的相干態(tài)|a>。正像下面將要說明的，原子和腔C中的場相互作用有效地驅(qū)動場態(tài)的相移±φ，其中的符號由原子態(tài)誘發(fā)。因此，第一個原子A1和腔C中的場相互作用導(dǎo)致兩個原子態(tài)和兩個相分量|aexp(±iφ)|之間的糾纏。第二個諧振器R2驅(qū)動A1狀態(tài)的進一步混合，以至于在場發(fā)射探測器De和Dg驅(qū)動中原子態(tài)最終測量不給出任何有關(guān)態(tài)的信息。結(jié)果，A1上的狀態(tài)測量投影C中的場在一個兩相分量的薛定諤貓型疊加態(tài)上，兩相分量在復(fù)平面上被2φ分開。忽略瞬時場阻尼、歸一化因子及再相因子，這個態(tài)實質(zhì)上取如下形式：.指針基的動力學(xué)選擇與正統(tǒng)的量子力學(xué)解釋矛盾嗎？為什么嗎？并不矛盾，必須認識到，上面討論的問題與正統(tǒng)的量子力學(xué)解釋并不矛盾。因為它只有在人們拒絕對儀器的可觀測量給出肯定的決定和拒絕應(yīng)用約化假設(shè)的時候才會有上面的討論結(jié)果。然而，情況還是有些不能令，人滿意，因為按照日常經(jīng)驗，如果一個測量設(shè)備被設(shè)計出來用于測量某物理量，如動量，則它只能測量動量，而不能測量位置。測量系統(tǒng)可觀測量的這種模糊性明顯是由于系統(tǒng)一儀器相互作用不固定在儀器的希爾伯特空間HM(或某個子空間)唯一的基矢|Mn>上。這種模糊性，只有對于某些原因，當(dāng)一個具體基矢被挑出，即只有一一個具體的物理量(或是它的某個函數(shù))可能在M上被測量，才有可能避免。系統(tǒng)可觀測量由儀器測量，然而卻由對應(yīng)的相關(guān)態(tài)|Sn>集合確定。第七章形式散射理論T矩陣的方程式以及怎么用T矩陣求躍遷率。完成式(7.10)的積分并令t0→-∞后得當(dāng)r≠s時按照上述方式定義的矩陣T稱為躍遷矩陣。式(7.12)表示，一旦求出T矩陣，就可以給出躍遷概率。由式(7.12)得到，從s態(tài)到r態(tài)的躍遷速率為什么是S矩陣，應(yīng)滿足什么條件。為了使散射理論的公式具有更明顯的對稱性，在量子力學(xué)和量子場論中用得更多的是散射矩陣，或稱S矩陣。下面將看到：S矩陣和T矩陣一對應(yīng)，實質(zhì)上是完全一樣的，不過是換了一種對稱更明顯的表述方式。由于是完備系，可以將展開，有式(7.56)的右端不包含分立的束縛態(tài)，因為這些態(tài)都和正交。由散射態(tài)的正交歸一條件得矩陣S稱為散射矩陣或簡稱S矩陣。S矩陣具有下述性質(zhì)有哪些。1.S矩陣具有幺正性，滿足2.S矩陣和演化算符的關(guān)系式(7.75)表示，S矩陣對應(yīng)的算符等于體系從t→-∞開始，經(jīng)散射后，演化到t→+∞的演化算符。算符S稱為幺正散射算符。它的矩陣元Srq表示若體系在t→-∞時處在無微擾的本征態(tài)ψq，則經(jīng)過散射和相互作用后，在t→+∞時體系處在ψr態(tài)的概率振幅。S矩陣與體系的性質(zhì)、體系的哈密頓算符有關(guān)，因為演化算符U決定于體系的哈密頓算符H。3.S矩陣的轉(zhuǎn)動不變性和分波法4.S矩陣的幺正性和光學(xué)定理5.S矩陣的時間反演對稱性請寫出戴遜(Dyson)方程以及玻恩級數(shù)的方程式。式(7.43)稱為戴遜(Dyson)方程。它既可以用算符的形式寫出，也可以用態(tài)的形式給出。由式(7.20)，進行反復(fù)迭代后有波函數(shù)的戴遜方程式(7.44)是玻恩級數(shù)，它一直可以做到任意級。它的一級近似就是玻恩一級近似。第八章形式散射理論請寫出克萊因-高登方程的方程式以及怎么理解“負能量”的問題。上式即為克萊因-高登方程。在相對論力學(xué)中，負能量的出現(xiàn)幾乎是不可避免的。在經(jīng)典力學(xué)中，由于粒子的初始能量為正，運動過程又必須保持能量守恒，因此以后任何時刻，能量也必然為正，不會引起麻煩。在量子力學(xué)中，負能量問題必須另外考慮。因為若有負能級存在，而且按式(8.8)，k越大，E負得越大。粒子從負的數(shù)值小的較高能級向負的數(shù)值大的較低能級躍遷，將不斷放出能量。于是體系將不會出現(xiàn)穩(wěn)定態(tài)。這個結(jié)果當(dāng)然是不合理的。分析一下克萊因-高登方程為什么會出現(xiàn)負概率問題的原因。先分析一下克萊因-高登方程出現(xiàn)負概率問題的原因。由于克菜因-高登方程是對時間的二階微分方程，初始條件必須同時由決定。而概率流守恒定律或連續(xù)性方程是ρ對時間的一階微分方程，為使它和克萊因-高登方程一致，ρ必