物理學(xué)中的對稱性問題

物理學(xué)中的對稱性問題

雙重性是人們通過改變自然來理解自然的概念。在自然界物質(zhì)世界的運(yùn)動(dòng)進(jìn)化過程中，它表現(xiàn)出不同的團(tuán)體作用。在基礎(chǔ)物理問題中,存在著廣泛的對稱性,如拋體運(yùn)動(dòng)的上升過程與下降過程的對稱;地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)帶來的白天、黑夜與一年四季的變化的對稱;力學(xué)定律具有伽利略變換不變性的對稱;晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的對稱;平面鏡成像中物與像的對稱;網(wǎng)絡(luò)里電壓和電流、阻抗和導(dǎo)納的對稱;正反粒子、波動(dòng)性和粒子性的對稱;信息論中信息輸入與輸出、狹義相對論中空間和時(shí)間的對稱;電磁理論中電和磁的對稱;描述電子在庫侖場中運(yùn)動(dòng)的球函數(shù)等都體現(xiàn)了很高的對稱性。此外,許多物理公式和圖像都具有優(yōu)美直觀的對稱性,如:基爾霍夫的電流方程組,用完美的對稱、簡潔的形式,奠定了電路網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。哈密頓正則方程組也有很高的對稱性,而麥克斯韋電磁方程組更顯示了完美的對稱———電場和磁場、時(shí)間和空間的對稱性。其次物理學(xué)中還存在著繁多的守恒定律,無論是一般的還是局部的守恒定律,都表示了自然過程的基本性質(zhì)和關(guān)系的一種穩(wěn)定性、相對的不變性,而守恒常常離不開對稱,因?yàn)楦鶕?jù)諾特定理:每一種對稱性均對應(yīng)于一個(gè)物理量的守恒定律,反之亦然。運(yùn)動(dòng)定律的空間平移時(shí)間平移空間旋轉(zhuǎn)的對稱性分別對應(yīng)著動(dòng)量守恒、能量守恒、角動(dòng)量守恒。而空間反演和電荷規(guī)范的對稱性對應(yīng)著宇稱守恒定律和電荷守恒定律等。著名的數(shù)學(xué)物理學(xué)家韋爾認(rèn)為:“對稱是一個(gè)廣闊的主題,在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大,很難找到可以論證數(shù)學(xué)智慧作用的更好的主題。”在各種物理問題的解決過程中,人們經(jīng)常自覺或不自覺地使用對稱性,在這些問題中,如果離開對稱性,則有些求解是較為復(fù)雜的,而利用對稱性來求解,就可以使復(fù)雜問題簡單化。在現(xiàn)代物理學(xué)中,對稱性更是研究現(xiàn)代物理前沿問題的一把鑰匙,特別是在微觀物理領(lǐng)域中,對稱性已經(jīng)成為研究物理問題的一種強(qiáng)有力的手段。1求它上升的最大高度在運(yùn)動(dòng)學(xué)中,常常要研究物體的上拋運(yùn)動(dòng)問題。假如有一個(gè)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體,如圖1所示,到達(dá)最高點(diǎn)的最后一秒內(nèi)的高度是它上行到最大高度的15,求它上升的最大高度。對于這個(gè)問題,如果用通常的方法,用豎直上拋的運(yùn)動(dòng)方程規(guī)律來列出多個(gè)方程,然后去解聯(lián)立方程組,則顯得較為麻煩。現(xiàn)在,用對稱性方法,先對這種上拋運(yùn)動(dòng)作一個(gè)簡單分析。物體的上拋運(yùn)動(dòng),在時(shí)間的反演變換下就變成了一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)。由運(yùn)動(dòng)的對稱性可知,物體作豎直上拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)最大高度前的最后一秒鐘上升的高度,正好就是物體作自由落體時(shí)最初一秒鐘內(nèi)落下的高度。因此,馬上就可以得到物體最大高度為這樣就使問題大為簡化。2彈簧的對稱作用考慮這樣一個(gè)問題,如圖2所示。這是兩個(gè)物體,質(zhì)量分別為m1和m2,兩物體之間用一個(gè)倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧連接起來,求需要多大的壓力F加在m1上,才能在壓力撤去后m1跳起來時(shí),剛好把m2也提起來。對于這個(gè)問題,通常是用機(jī)械能守恒定律來進(jìn)行求解的,但過程較為復(fù)雜。從這個(gè)物理體系的對稱性上來分析,則十分簡單明了。彈簧是一個(gè)具有對稱性的物體,彈簧的對稱性就是在用力壓彈簧時(shí),一松開后彈簧伸長,這相當(dāng)于用同樣大的力F去拉彈簧所產(chǎn)生的效果。為了使物體m1跳起來時(shí)下面物體m2剛好能被拉起來,這時(shí)彈簧發(fā)生的形變情況應(yīng)該與用一個(gè)力f提起這個(gè)系統(tǒng)使下面物體m2剛好被拉起來一樣,而這個(gè)力f至少要等于系統(tǒng)的重量,就是根據(jù)彈簧的對稱性,F也至少應(yīng)該為f,則有可見,不用去求解方程式,直接分析系統(tǒng)的對稱性,就可以簡單找到結(jié)果。3電場的影響有一個(gè)正三角形如圖所示每個(gè)頂點(diǎn)上分別放置一個(gè)等量同號的電荷,求其中心的場強(qiáng)。由對稱性分析可知,電場是一個(gè)矢量,每一個(gè)頂點(diǎn)上的電荷產(chǎn)生的場強(qiáng),在大小上都是一樣的,差別只在于方向上。而由于是正三角形,相鄰兩個(gè)電場矢量夾角均為120°,因此有由此還可以推廣結(jié)論,在任意正多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)上,分別放置等量同號的電荷,則在其中心的電場強(qiáng)度均為零。4求兩端m、n間的總電阻在電路問題中,利用對稱性分析,可以使問題得到大量簡化,從而減少變量,化繁為簡,使計(jì)算大為簡化。考慮如圖4所示的一個(gè)復(fù)雜電路問題,這是一個(gè)無窮長電路,求端點(diǎn)M,N間的總電阻。這是一個(gè)看起來較為復(fù)雜的電路,主要是由于電路具有無窮長,但從整個(gè)電路的對稱性出發(fā),可發(fā)現(xiàn)電路具有平移對稱性,把M1,N1的左邊電路去掉后,M1,N1間的總電阻還是等于M,N間的總電阻。因此,如果設(shè)M,N間的總電阻為R,則有解這個(gè)方程,可得可見,一個(gè)復(fù)雜的電路問題,用了對稱性分析后,問題化為一個(gè)簡單的問題了。5電位移的能量分布有一個(gè)點(diǎn)電荷q,以速度v(v<<c)作低速直線運(yùn)動(dòng),求其空間的電磁場E和H。對于這個(gè)問題,首先注意到這個(gè)點(diǎn)電荷是在作低速運(yùn)動(dòng)(遠(yuǎn)小于光速c),這時(shí)可以認(rèn)為點(diǎn)電荷周圍的電場分布仍然保持著球?qū)ΨQ的性質(zhì)。因此,可以用這個(gè)點(diǎn)電荷作為球心,經(jīng)過考察點(diǎn)作一個(gè)球面S,由于對稱性,在這個(gè)球面上的任意一點(diǎn)D的大小都應(yīng)該相等,方向與矢徑r重合。所以,可得到所以,電位移矢量為于是,對于各項(xiàng)同性介質(zhì)來說,電場為下面再考慮磁場問題。磁場分布應(yīng)該具有軸對稱性,對稱軸與這個(gè)點(diǎn)電荷的速度v重合,如圖5所示。以對稱軸為軸線,過考察點(diǎn)作圓,這時(shí)圓的半徑為根據(jù)麥克斯韋電磁方程組有用對稱性來分析,在圓周上任一點(diǎn),H的大小都應(yīng)該相等,方向應(yīng)該沿著圓周切線方向并按照右手定則由速度v來確定。這時(shí)有由于這里沒有電流I,只有電荷運(yùn)動(dòng)激發(fā)出的磁場,取S為圓周的邊緣,以r為半徑的一個(gè)球冠,則有由于電荷的運(yùn)動(dòng),角度α隨著時(shí)間t變化,則有即有dtdα=rvsinα(15)這樣一來可得到結(jié)合上述式子,可得到磁場H為寫成矢量式為由此可見,從對稱性出發(fā),先分析整個(gè)物理系統(tǒng)的對稱特點(diǎn),就使問題的解決變的簡單多了,如果用一般的電磁場方法去做,則會(huì)困難得多。6對整個(gè)剛體的旋轉(zhuǎn)問題考慮一個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題,如圖6所示,有一個(gè)質(zhì)量為M,半徑為R的密度均勻的圓盤,在距圓心O為d的地方挖去一個(gè)半徑為r的小圓,則這個(gè)圓盤就出現(xiàn)了一個(gè)空洞,求這個(gè)帶有空洞的圓盤以過圓心O點(diǎn)并垂直于這個(gè)圓盤的Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對于這個(gè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)問題,要計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一般是用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式I=∫r2dm去對整個(gè)剛體進(jìn)行積分運(yùn)算,但由于這個(gè)剛體有一個(gè)小空洞,使得這一處地方很難進(jìn)行積分運(yùn)算,求解起來相當(dāng)復(fù)雜。但從對稱性的角度來看這個(gè)問題,就變得較為簡單了。如果將空缺的小圓盤補(bǔ)上,則這個(gè)大圓盤就對O點(diǎn)完全對稱了,空洞的圓盤重新作為一個(gè)完整圓盤,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可設(shè)為I1,而小圓盤對自己圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可設(shè)為I2,再考慮到小圓盤的平移對稱性,應(yīng)該還有一個(gè)因?yàn)槠揭频霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量I3,則這個(gè)帶有空洞的圓盤以過圓心O點(diǎn)并垂直于這個(gè)圓盤的Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就為I=I1-I2-I3,整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問題變得很簡單。將空缺圓盤視為一個(gè)新的完整圓盤,則其密度發(fā)生了變化,設(shè)其質(zhì)量面密度分布為σ,則有則新的完整圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1為小圓盤對于自身圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2為再考慮平移對稱性問題,則有小圓盤平移的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I3為則整個(gè)圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為由此可見,利用對稱性分析,這個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問題變得十分簡單,不需要繁雜的數(shù)學(xué)積分運(yùn)算,只需要簡單的代數(shù)加減法就能解決問題了。7電動(dòng)力學(xué)的物理中重要近50年來,粒子物理與場論飛速發(fā)展,而對稱性的指引在其中起了決定性的作用。在粒子物理中,物理學(xué)家根據(jù)對稱性預(yù)言并發(fā)現(xiàn)新粒子,正電子、歐米格負(fù)粒子和頂夸克等就是極好的例證。在場論中,對稱決定相互作用。粒子之間的相互作用有電磁作用、引力作用、強(qiáng)作用、弱作用4種,它們的區(qū)別很大,電磁作用和引力作用是長程力,強(qiáng)作用和弱作用是短程力,它們的強(qiáng)度差別非常大,強(qiáng)作用最強(qiáng),電磁作用次之,弱作用更次,引力作用最弱,在粒子物理中引力作用可以不考慮。對于電磁作用已經(jīng)建立起量子電動(dòng)力學(xué)它是物理學(xué)中最成功的理論。在這個(gè)理論中,力的傳遞者是電磁場,場的量子是光子,電磁作用是通過交換光子而傳遞的,光子的靜質(zhì)量為零,與電磁作用的長程性聯(lián)系在一起。關(guān)于弱作用,在弱作用宇稱不守恒基礎(chǔ)上發(fā)展了弱作用的中間玻色子理論,認(rèn)為弱作用是交換中間玻色子而傳遞的,中間玻色子的質(zhì)量很大,與電磁作用中的光子不同,它是與弱作用的短程性聯(lián)系在一起。人們研究發(fā)現(xiàn),這4種相互作用所遵從的守恒定律不同,強(qiáng)作用具有的守恒量最多,電磁作用次之,弱作用更次,這表明它們具有的對稱性是不同的。據(jù)此,楊振寧和米爾斯根據(jù)某種對稱性提出了著名的楊-米爾斯場論,該理論的變換群決定了無質(zhì)量的粒子(稱為“規(guī)范玻色子”)的數(shù)目和性質(zhì),規(guī)范玻色子在粒子之間來回跳躍就產(chǎn)生了相互作用。不同的玻色子決定不同的相互作用,如光子決定電磁相互作用,W或Z玻色子決定弱相互作用,膠子決定強(qiáng)相互作用,而理論推測與實(shí)驗(yàn)研究表明,引力相互作用是由引力子決定的。對稱性存在于物理學(xué)的基本規(guī)律之中,在研究許多物理問題時(shí),從對稱性或構(gòu)造對稱性的角度