素養(yǎng)拓展23數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）素養(yǎng)拓展23數(shù)列與數(shù)學(xué)文化（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理新課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的地位，數(shù)學(xué)文化作為素養(yǎng)考查的四大內(nèi)涵之一，以數(shù)學(xué)文化為背景的試題將是新高考的考察內(nèi)容，數(shù)列與數(shù)學(xué)文化有著緊密的聯(lián)系，本專輯總結(jié)了數(shù)學(xué)文化在數(shù)列中出現(xiàn)的真題和模擬題。二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】（單選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

） 【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D【典例2】（單選題）（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)椋?，，得到，同理，可得，又因?yàn)?，故，；以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，得，故C錯(cuò)誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.【題型訓(xùn)練-刷模擬】一、單選題1．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．141【答案】B【分析】利用等差數(shù)列求和公式及素?cái)?shù)的定義即可求解.【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為，2到20的全部素?cái)?shù)和為，所以挑選2到20的全部素?cái)?shù)過程中剔除的所有數(shù)的和為.故選：B.2．（2023·廣東深圳·?？级＃┧未凭茦I(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲(chǔ)方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡(jiǎn)便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個(gè)三角垛，底層是每邊為n個(gè)圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個(gè)圓球，頂層為一個(gè)圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（

）A．45 B．40 C．35 D．30【答案】B【分析】根據(jù)題意，歸納推理，第層的圓球總數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式，再將，，代入求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，第1層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，第2層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，第3層的圓球總數(shù)為，．所以第層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故．故選：B．3．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．105【答案】C【分析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，求出其通項(xiàng)，結(jié)合條件列不等式求出結(jié)果.【詳解】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，故為的倍數(shù)，所以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，令，可得，又解得，且，故獲得精品足球的人數(shù)為.故選：C.4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個(gè)或幾個(gè)電子后達(dá)到的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，得到電子為陰離子，失去電子為陽離子，在外界作用下陰離子與陽離子之間可以相互轉(zhuǎn)化．科學(xué)家們?cè)谠囼?yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個(gè)陰離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陽離子和1個(gè)陰離子，1個(gè)陽離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉(zhuǎn)化．若一開始有1個(gè)陰離子和1個(gè)陽離子，則在9次該作用下，陰離子的個(gè)數(shù)為（

）A．87 B．89 C．91 D．93【答案】B【分析】作用后的陽離子個(gè)數(shù)是作用前陰離子個(gè)數(shù)，作用后的陰離子個(gè)數(shù)是作用前陰陽離子個(gè)數(shù)之和，然后逐次推斷即可.【詳解】由題目知，作用后的陽離子個(gè)數(shù)是作用前陰離子個(gè)數(shù)，作用后的陰離子個(gè)數(shù)是作用前陰陽離子個(gè)數(shù)之和?，F(xiàn)在有1個(gè)陰離子和1個(gè)陽離子，經(jīng)過逐次作用后：作用次數(shù)陽離子個(gè)數(shù)陰離子個(gè)數(shù)011112223335458581361321721348345595589則在9次該作用下，陰離子的個(gè)數(shù)為.故選：B.5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“勾股樹”，也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形.如圖所示，以正方形的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個(gè)正方形，且，則這127個(gè)正方形中，最小的正方形邊長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由題意可得不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù)，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可得小正方形的種類數(shù)，再由正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以16為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù)，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，解得，即有7種邊長(zhǎng)不同的正方形；又正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以16為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.因此，最小的正方形邊長(zhǎng).故選:C6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項(xiàng)分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（

）A．173 B．171 C．155 D．151【答案】A【分析】根據(jù)題意得到的通項(xiàng)公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意得新數(shù)列為，則二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則故選：A.7．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？既＃轫憫?yīng)國家號(hào)召，某地出臺(tái)了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)濟(jì)”.個(gè)體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求.據(jù)測(cè)算：他每月月底獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2023年5月底他的年所得收入（扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸款）為（

）元（參考數(shù)據(jù)：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是首項(xiàng)為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為元，設(shè)2022年6月底為第一個(gè)月，以此類推，設(shè)第個(gè)月底小王手中有現(xiàn)款為，第個(gè)月月底小王手中有現(xiàn)款為，則，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，∴，即，年所得收入為元.故選：D.8．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，例如初等幾何中的歐拉線、多面體中的歐拉定理、微分方程中的歐拉方程，以及數(shù)論中的歐拉函數(shù)等等．個(gè)數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）的正整數(shù)（包括1）的個(gè)數(shù)，記作．例如：小于或等于4的正整數(shù)中與4互質(zhì)的正整數(shù)有1，3這兩個(gè)，即．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，若正整數(shù)，且與不互質(zhì)，則這個(gè)數(shù)為偶數(shù)或的倍數(shù)，共有個(gè)，所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為6的等比數(shù)列，所以．故選：B.9．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考二模）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（

）

A．1275 B．1276 C．1270 D．1280【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得，利用累加法運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，即，所以.故選：A.10．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由累加法可得，利用裂項(xiàng)相消求和法求出，即可得解.【詳解】由題意知，，且，則由累加法可知，，所以，，，∴.故選：D．11．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中校考模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的歷史由來已久，我國古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《孫子算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》中都有相關(guān)問題的記載．現(xiàn)在我們不僅可以通過代數(shù)計(jì)算來研究等比數(shù)列，還可以構(gòu)造出等比數(shù)列的圖象，從圖形的角度更為直觀的認(rèn)識(shí)它．以前n項(xiàng)和為，且，的等比數(shù)列為例，先畫出直線OQ：，并確定x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的平行線，交直線OQ于點(diǎn)，則．再過點(diǎn)作平行于x軸，長(zhǎng)度等于的線段，……，不斷重復(fù)上述步驟，可以得到點(diǎn)列，和．下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)描述，確定題圖中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合直線斜率定義、等比數(shù)列前n項(xiàng)和判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】選項(xiàng)A，由題設(shè)及圖象知：，故正確；選項(xiàng)B，因?yàn)楸硎局本€OQ:斜率，即為q，故正確；選項(xiàng)C，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故正確；選項(xiàng)D，由，而，，則，又△為等腰直角三角形，即，綜上，，故錯(cuò)誤．故選：D，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】連結(jié)，過邊的中點(diǎn)作，垂足為，則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面角，記為，設(shè)漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，根據(jù)等差數(shù)列即可求解．【詳解】三級(jí)漏壺，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞減1寸，如圖，在正四棱臺(tái)中，為正方形的中心，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)，過邊的中點(diǎn)作，垂足為，

則就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面角，記為，設(shè)漏壺上口寬為，下底寬為，高為，在中，，，因?yàn)樽陨隙氯齻€(gè)漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，所以為定值，又因?yàn)槿齻€(gè)漏壺的高成等差數(shù)列，所以．故選：D．13．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）元代數(shù)學(xué)家朱世杰所創(chuàng)立的“招差術(shù)”是我國古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要成就，曾被科學(xué)家牛頓加以利用，在世界上產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.已知利用“招差術(shù)”得到以下公式：，具體原理如下：，，類比上述方法，的值是（

）A．90 B．210 C．420 D．756【答案】C【分析】由類比把通項(xiàng)化為，相加即可求和.【詳解】.故選：C14．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由題設(shè)及累加可得，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及已知不等關(guān)系求n范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，，且，累加可得，所以，∴，得，即．故選：C．15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）我國古代數(shù)學(xué)家對(duì)近似值的確定做出了巨大貢獻(xiàn)，早在東漢初年的數(shù)學(xué)古籍《周髀算經(jīng)》里便記載“徑一周三”，并稱之為“古率”，即“直徑為1的圓，周長(zhǎng)為3”，之后三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽證明了圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)是圓直徑的三倍，說明“徑一周三”實(shí)際上是圓的內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)與圓直徑的比值，而不是圓周率．若將圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)與其外接圓的直徑之比記為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．存在，當(dāng)時(shí)，D．存在，使得【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)外接圓的半徑為R，求出的通項(xiàng)公式，代入即可判斷AD，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可判斷BC.【詳解】解：根據(jù)題意，正n邊形內(nèi)接于圓，設(shè)圓的半徑為R，則正n邊形的周長(zhǎng)，則，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A正確；對(duì)于B，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，接下來證明，令，則故均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，故，則有當(dāng)時(shí)，有，故，函數(shù)在上為增函數(shù)，故數(shù)列為遞增數(shù)列，則有，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于，必有，對(duì)于數(shù)列，必有，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，D正確；故選：C．二、填空題16．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┲袊糯鷶?shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是里（用數(shù)字作答）.【答案】6【分析】根據(jù)題意分析，看成首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，已知，繼而求出，即可得出答案.【詳解】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：617．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題，“今有金箠，長(zhǎng)五尺．?dāng)乇疽怀?，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)五尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，估計(jì)此金杖總重量約為斤．【答案】15【分析】根據(jù)題意，每節(jié)重量構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式得解.【詳解】由題意知每節(jié)的重量構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為2，則第5項(xiàng)為4，所以總重量為斤．故答案為：1518．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，最早記載于中國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖.如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內(nèi)，使三行?三列?兩對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，便得到一個(gè)3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，填入的方格內(nèi)，使得每行?每列?每條對(duì)角線上的數(shù)字的和相等，這個(gè)正方形就叫做階幻方的一條對(duì)角線上的數(shù)字之和為（如：），則.492357816【答案】【分析】利用等差數(shù)列求和公式得出n階幻方的所有數(shù)之和，再計(jì)算每行數(shù)之和即可得出對(duì)角線上數(shù)字之和.【詳解】n階幻方共有個(gè)數(shù)，其和為，∵n階幻方共有n行，∴每行的和為.故答案為：50519．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┨拼蒲缟系闹d游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球．游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰手中，誰就上臺(tái)表演節(jié)目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時(shí)，第1次由甲將花傳出，每次傳花時(shí)，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)過6次傳遞后，花又在甲手中的概率為．【答案】【分析】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，根據(jù)題意找出的遞推關(guān)系，寫出的通項(xiàng)公式，然后求即可.【詳解】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，.則，得，.一次傳球后，花不在甲手上，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.即，所以．故答案為：20．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng)．【答案】【分析】利用遞推關(guān)系，將所求關(guān)系式中的“”換為，再利用即可求得答案．【詳解】由可得.故答案為：.21．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)王子高斯在小時(shí)候計(jì)算時(shí)，他是這樣計(jì)算的：圖象關(guān)于對(duì)稱，，則.【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性可得，由題意得，根據(jù)可得，即，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，得，所以.因?yàn)椋?，所以，則，所以.故答案為：.22．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）歐拉是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，在許多數(shù)學(xué)的分支中經(jīng)常可以見到以他的名字命名的重要函數(shù)、公式和定理．如著名的歐拉函數(shù)：對(duì)于正整數(shù)n，表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，如，．那么，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】【分析】利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】在中，與不互質(zhì)的數(shù)有，共有個(gè)，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，，兩式相減可得,所以,即,故答案為：.23．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個(gè)問題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第n日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若關(guān)于n的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【答案】【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，化簡(jiǎn)題給不等式為，求得的最小值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.【詳解】由題意可知，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故．所以．由，得，整理得對(duì)任意，且恒成立．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以t＜15，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是故答案為：三、解答題24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）雪花是一種美麗的結(jié)晶體，放大任意一片雪花的局部，會(huì)發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；將圖②的每條邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖③；……按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kochsnowflake）．現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設(shè)a1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248…從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積…根據(jù)小明的假設(shè)與思路，解答下列問題．(1)填寫表格最后一列，并寫出與的關(guān)