電動(dòng)力學(xué)第8講23穩(wěn)恒磁場(chǎng)的矢勢(shì)-山東大學(xué)課件

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建《電動(dòng)力學(xué)》第16講第三章靜磁場(chǎng)(1)§3.1靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)教師姓名：宗福建單位：山東大學(xué)物理學(xué)院2015年11月06日山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建《電動(dòng)力學(xué)》第16講第三章靜磁山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建2Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建2Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建3Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建3Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建4標(biāo)勢(shì)的Poisson方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建4標(biāo)勢(shì)的Poisson方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建5靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)

若電荷連續(xù)分布，電荷密度為ρ

，設(shè)r為由源點(diǎn)x'

到場(chǎng)點(diǎn)x的距離，則場(chǎng)點(diǎn)x處的電勢(shì)為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建5靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)若電荷連續(xù)分布，電山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建6山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建6山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建7山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建7山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建8本講主要內(nèi)容靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)矢勢(shì)的微分方程矢勢(shì)的多極展開磁偶極子的場(chǎng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建8本講主要內(nèi)容靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建9靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)

在穩(wěn)恒電流（靜磁場(chǎng)）情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)，麥?zhǔn)戏匠探M的磁場(chǎng)部分為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建9靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)在穩(wěn)恒電流（靜磁場(chǎng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建10靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)

磁場(chǎng)的特點(diǎn)和電場(chǎng)不同。靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷,靜電場(chǎng)線永不閉合。靜磁場(chǎng)則是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總是閉合曲線。由于特性上的顯著差異，描述磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方法就有所不同。靜電場(chǎng)由于其無(wú)旋性,可以引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。磁場(chǎng)由于其有旋性，一般不能引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。但是由于磁場(chǎng)的無(wú)源性，我們可以引入另一個(gè)矢量來(lái)描述它。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建10靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)磁場(chǎng)的特點(diǎn)和電場(chǎng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建11靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)

根據(jù)矢量分析的定理（附錄Ⅰ.17式）,若則B

可表為另一矢量的旋度A

稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì)。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建11靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)根據(jù)矢量分析的定山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建12靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)

為了看出矢勢(shì)A的意義，我們考察上式的積分形式。把B對(duì)任一個(gè)以回路L為邊界的曲面S積分，得式中左邊是通過(guò)曲面S的磁通量。由上式，通過(guò)一個(gè)曲面的磁通量只和這曲面的邊界L有關(guān)，而和曲面的具體形狀無(wú)關(guān)。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建12靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)為了看出矢勢(shì)A的山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建13靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)

矢勢(shì)A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任意曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A(x)則沒(méi)有直接的物理意義。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建13靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)矢勢(shì)A的物理意義山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建14靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)由矢勢(shì)A可以唯一確定磁場(chǎng)B，但是由磁場(chǎng)B并不能唯一確定矢勢(shì)A。即A+▽?duì)着cA對(duì)應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng)B。A的這種任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A本身沒(méi)有直接的物理意義。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建14靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)由矢勢(shì)A可以唯一確山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建15靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)由A的這種任意性，我們還可以對(duì)它加上一定的限制條件，由下面的推導(dǎo)可知，對(duì)A加上輔助條件是特別方便的。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建15靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)由A的這種任意山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建16靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)我們先說(shuō)明對(duì)A加以上條件總是可以的，也就是說(shuō)總可以找到一個(gè)A，滿足設(shè)有某一解A不滿足上式，山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建16靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)我們先說(shuō)明對(duì)A加以山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建17靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)我們另取一解A'的散度為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建17靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)我們另取一解山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建18靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)取ψ

為泊松方程的一個(gè)解，代入上式，所得的A'

就滿足▽·A'=0。對(duì)A所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建18靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)取ψ為泊松方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建19矢勢(shì)微分方程

把B=▽×A

代入得矢勢(shì)A的微分方程

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建19矢勢(shì)微分方程把B=▽×山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建20矢勢(shì)微分方程

由矢量分析公式（附錄Ⅰ.25式），若取A滿足規(guī)范條件▽·A=0，得矢勢(shì)A的微分方程

,又稱矢勢(shì)A的泊松方程。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建20矢勢(shì)微分方程由矢量分析公式（山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建21矢勢(shì)微分方程

A的每個(gè)直角分量Ai

滿足泊松方程這些方程和靜電勢(shì)

φ

的方程

有相同形式。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建21矢勢(shì)微分方程A的每個(gè)直角分量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建22矢勢(shì)微分方程

靜電勢(shì)

φ

的方程

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建22矢勢(shì)微分方程靜電勢(shì)φ的方山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建23矢勢(shì)微分方程

對(duì)比靜電勢(shì)的解，可得矢勢(shì)A的泊松方程式特解

式中x‘是源點(diǎn)，x是場(chǎng)點(diǎn)，r為由x’

到x的距離。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建23矢勢(shì)微分方程對(duì)比靜電勢(shì)的解，山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建24矢勢(shì)微分方程

求出A以后，取旋度即可求出B。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建24矢勢(shì)微分方程求出A以后，取旋山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建25矢勢(shì)微分方程

這就是畢奧-薩伐爾定律。過(guò)渡到線電流情形，設(shè)I為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換

JdV→Idl

得

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建25矢勢(shì)微分方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建26矢勢(shì)的邊值關(guān)系

在兩介質(zhì)分解面上磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為磁場(chǎng)邊值關(guān)系可以化為矢勢(shì)A的邊值關(guān)系。對(duì)于非鐵磁介質(zhì)，矢勢(shì)的邊值關(guān)系為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建26矢勢(shì)的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)分解面山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建27矢勢(shì)的邊值關(guān)系

在分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路計(jì)算A對(duì)此狹長(zhǎng)回路的積分。當(dāng)回路短邊長(zhǎng)度趨于零時(shí)，另一方面，由于回路面積分趨于零,有山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建27矢勢(shì)的邊值關(guān)系在分界面兩側(cè)取山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建28矢勢(shì)的邊值關(guān)系

因此，若取▽·

A=0規(guī)范，可得合起來(lái)得山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建28矢勢(shì)的邊值關(guān)系因此，靜磁場(chǎng)的唯一性定理與靜電場(chǎng)類似，靜磁場(chǎng)也有唯一性定理，基本的理念是對(duì)確定的體系場(chǎng)由邊界條件唯一確定。對(duì)靜電問(wèn)題，邊界條件可以是設(shè)定邊界上標(biāo)勢(shì)值或者是場(chǎng)在邊界上D的垂直分量(與導(dǎo)體上的表面電荷有關(guān))。與此相對(duì)應(yīng)，對(duì)靜磁問(wèn)題，邊界條件可以是邊界上的矢勢(shì)A或者是H的切向分量(與導(dǎo)體上的表面電流相關(guān))。靜磁場(chǎng)的唯一性定理與靜電場(chǎng)類似，靜磁場(chǎng)也有唯一性定理，基本的靜磁場(chǎng)的唯一性定理靜磁場(chǎng)的唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建31磁場(chǎng)的能量

由第一章，磁場(chǎng)的總能量為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建31磁場(chǎng)的能量由第一章，磁場(chǎng)的總山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建32磁場(chǎng)的能量

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建32磁場(chǎng)的能量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建33磁場(chǎng)的能量

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建33磁場(chǎng)的能量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建34磁場(chǎng)的能量

和靜電情形一樣，此式僅對(duì)總能量有意義，不能把

A·J/2

看作能量密度，因?yàn)槲覀冎滥芰糠植加诖艌?chǎng)內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建34磁場(chǎng)的能量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建35矢勢(shì)的多級(jí)展開

給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場(chǎng)矢勢(shì)為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建35矢勢(shì)的多級(jí)展開給定電流分布在山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建36矢勢(shì)的多級(jí)展開

如果電流分布于小區(qū)域V內(nèi)，而場(chǎng)點(diǎn)x又距離該區(qū)域比較遠(yuǎn)，我們可以把A(x)作多級(jí)展開。取區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，把1/r的展開式得

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建36矢勢(shì)的多級(jí)展開如果電流分布于山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建37矢勢(shì)的多級(jí)展開

展開式的第一項(xiàng)為由教材第46頁(yè)，習(xí)題5知

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建37矢勢(shì)的多級(jí)展開展開式的第一項(xiàng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建38矢勢(shì)的多級(jí)展開

所以，對(duì)于穩(wěn)恒電流：此式表示和電場(chǎng)情形不同，磁場(chǎng)展開式不含磁單極項(xiàng)，即不含與點(diǎn)電荷對(duì)應(yīng)的項(xiàng)。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建38矢勢(shì)的多級(jí)展開所以，對(duì)于穩(wěn)恒山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建39矢勢(shì)的多級(jí)展開

展開式的第二項(xiàng)為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建39矢勢(shì)的多級(jí)展開展開式的第二項(xiàng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建40矢勢(shì)的多級(jí)展開

把并矢Jx’表示為對(duì)稱部分與反對(duì)稱部分之和，則對(duì)稱部分對(duì)應(yīng)于電四極矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，反對(duì)稱部分對(duì)應(yīng)于磁偶極矩。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建40矢勢(shì)的多級(jí)展開把并矢Jx’表山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建41矢勢(shì)的多級(jí)展開

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建41矢勢(shì)的多級(jí)展開山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建42矢勢(shì)的多級(jí)展開

首先，對(duì)稱部分山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建42矢勢(shì)的多級(jí)展開首先，對(duì)稱部分山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建43矢勢(shì)的多級(jí)展開

首先，對(duì)稱部分,變化電四極矩的貢獻(xiàn)。穩(wěn)恒電磁場(chǎng)情況下，該部分的貢獻(xiàn)為0。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建43矢勢(shì)的多級(jí)展開首先，對(duì)稱部分山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建44矢勢(shì)的多級(jí)展開

其次，反對(duì)稱部分山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建44矢勢(shì)的多級(jí)展開其次，反對(duì)稱部山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建45矢勢(shì)的多級(jí)展開

反對(duì)稱部分，相當(dāng)于電流環(huán)。磁偶極矩的貢獻(xiàn)。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建45矢勢(shì)的多級(jí)展開反對(duì)稱部分，相山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建46矢勢(shì)的多級(jí)展開

則，m稱為電流的磁矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建46矢勢(shì)的多級(jí)展開則，m稱為電流山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建47矢勢(shì)的多級(jí)展開

對(duì)某閉合電流流線管

JdVIdl式中稱為電流線圈的磁矩。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建47矢勢(shì)的多級(jí)展開對(duì)某閉合電流流山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建48矢勢(shì)的多級(jí)展開

展開式中：第1項(xiàng)為0；第2項(xiàng)為磁偶極矩的貢獻(xiàn)；其他更高次項(xiàng)，我們不予討論。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建48矢勢(shì)的多級(jí)展開山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建49矢勢(shì)的多級(jí)展開

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建49矢勢(shì)的多級(jí)展開阿哈羅夫-玻姆（A-B）效應(yīng)

1959年阿哈羅夫-玻姆提出在量子力學(xué)可適用的微觀態(tài)中和有可觀測(cè)的物理效應(yīng)，這一效應(yīng)被稱為A-B效應(yīng)。

A-B效應(yīng)表明，在量子物理中磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用來(lái)描述，矢勢(shì)可以對(duì)電子發(fā)生相互作用。但是由于的任意性，用它描述磁場(chǎng)顯然又過(guò)多。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束阿哈羅夫-玻姆（A-B）效應(yīng)1959年阿哈羅夫-玻姆提出在

帶有螺線管電子衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，能夠完全且恰當(dāng)?shù)拿枋龃艌?chǎng)的物理量是相因子：。若L為可縮小到一點(diǎn)的無(wú)窮小路徑，則因此相因子描述等價(jià)于局域磁場(chǎng)的描述。但是當(dāng)L為