2023學年完整公開課版指數(shù)

第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)41指數(shù)

什么是n次方根？【溫故】我們知道，如果，那么叫做的平方根例如，±2就是4的平方根如果，那么叫做的立方根如2就是8的立方根類似地，由于±24=16，我們把±2叫做16的4次方根

一般地，如果，

其中，n＞1，且n∈N*正數(shù)有兩個平方根，一個算術(shù)平方根；0有一個平方根，一個算術(shù)平方根；負數(shù)沒有平方根那么叫做的n次方根，n次方根的性質(zhì)

【2】當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，次方根用表示，負的n次方根用表示兩者也可以合并成例如

【3】負數(shù)沒有偶次方根【4】0的任何次方根都是0記作：

因為在實數(shù)的定義里，兩個數(shù)的偶次方根結(jié)果是非負數(shù)，即任意實數(shù)的偶次方是非負數(shù)【1】當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).

這時，a的n次方根用符號表示.例如

什么是根式？【定義】式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)

根指數(shù)被開方數(shù)根據(jù)n次方根的定義，可得：，比如：【1】一般讀作“n次根號a”

【2】當a＜0且n為偶數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義

什么是根式？【探究】表示的n次方根，一定成立嗎？

【結(jié)論】①當n為奇數(shù)時，

②當n為偶數(shù)時，

是實數(shù)的n次方，在有意義的前提下，實數(shù)的取值由n的奇偶決定，其算法是先開方，再乘方，結(jié)果恒等于

1234【1】求下列各式的值【解】12

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有限制條件的根式化簡分數(shù)指數(shù)冪是什么？【探究】根據(jù)n次方根的定義和運算，我們知道，也就是說，當根式的被開方數(shù)看成冪的形式能被根指數(shù)整除時，根式可以表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式

【思考】當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也能表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式呢？【設想】把根式表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式時，例如把寫成下列形式：

我們希望整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，如：，對分數(shù)指數(shù)冪同樣適用

分數(shù)指數(shù)冪是什么？【定義】由此，我們規(guī)定，正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：

于是，在條件下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿

我們規(guī)定，

例如，

我們再規(guī)定，0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義不可以顯然不是半個相乘，它的實質(zhì)是根式的另一種寫法，如在這樣的規(guī)定下，根式與分數(shù)指數(shù)冪就是表示相同意義的量，只是形式不同分數(shù)指數(shù)冪是什么？【問題1】可以理解為個相乘嗎？

【問題2】分數(shù)指數(shù)能約分嗎？不能隨意約分因為約分之后可能會改變根式有意義的條件，如約分后變成了，而在實數(shù)范圍內(nèi)無意義

分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

時運算法則不一定成立研究的一般性要求：，此時法則一定成立

12【1】求下列各式的值【解】1

2

12【2】求用分數(shù)指數(shù)冪表示下列式子【解】12

【3】計算下式的值【解】

什么是無理數(shù)指數(shù)冪？【定義】一般地，無理數(shù)指數(shù)冪為無理數(shù)是一個確定的實數(shù)這樣，我們就將指數(shù)冪中的指數(shù)的范圍從整數(shù)逐步拓展到了實數(shù)，實數(shù)的指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)

【指數(shù)冪的拓展順序】正整數(shù)指數(shù)冪負整數(shù)指數(shù)冪零次冪整數(shù)指數(shù)冪分數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪實數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪的運算實質(zhì)【定義】一整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指