收斂判斷課件

一、何為收斂？在這里我引用一個(gè)會(huì)員的提問來解釋這個(gè)問題：

Q:結(jié)構(gòu)非線性靜力分析經(jīng)常出現(xiàn)收斂這個(gè)詞，如：收斂容限，收斂準(zhǔn)則，收斂的解，位移收斂檢驗(yàn)等，請(qǐng)解釋，thanks!

A:個(gè)人是這樣理解的：談到收斂總會(huì)和穩(wěn)定性聯(lián)系在一起，簡單的說，就是在進(jìn)行求解過程中的一些中間值的誤差對(duì)于結(jié)果的影響的大小，當(dāng)中間量的誤差對(duì)于你的數(shù)值積分的結(jié)果沒有產(chǎn)生影響，就說明你的積分方法是穩(wěn)定的，最終你的數(shù)值積分的結(jié)果就會(huì)收斂于精確解；當(dāng)中間量的誤差導(dǎo)致數(shù)值積分結(jié)果與精確解有很大的差別時(shí)，就說明你的方法穩(wěn)定性不好，你的數(shù)值積分結(jié)果不會(huì)收斂于精確解。我想當(dāng)你對(duì)于穩(wěn)定性和收斂的概念真正理解后，那些名詞對(duì)于你來說，并不是問題，力學(xué)的問題最終都會(huì)和數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，建議你看看數(shù)值積分方面的教程，學(xué)好了數(shù)學(xué)，力學(xué)對(duì)于你來說就是apieceofcake。Q:那么說收不收斂，最終都是因?yàn)椴捎玫挠?jì)算方法和計(jì)算參數(shù)選取的問題了？A:就本人所學(xué)的專業(yè)來說，很大程度上取決于所采用的算法，我學(xué)的是結(jié)構(gòu)工程，舉個(gè)例子吧:當(dāng)在進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程分析時(shí)，采用的幾種方法有線性加速度法，威爾遜－theta法，對(duì)于線性加速度法，當(dāng)時(shí)間步長大于周期的0.5倍時(shí)，計(jì)算結(jié)果很可能出現(xiàn)不收斂，而當(dāng)時(shí)間步長小于0.1倍的周期時(shí)，才有可能獲得穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果；而威爾遜－theta法，實(shí)質(zhì)上就是線性加速度法的修正形式，很多實(shí)例表明當(dāng)theta值大于1.37時(shí)，這種算法是無條件穩(wěn)定的。當(dāng)然影響計(jì)算結(jié)果是否收斂的原因有很多，比如初始條件，我所指的僅僅是我所學(xué)專業(yè)的一個(gè)問題的很小的一個(gè)方面。A:說白了，就是數(shù)學(xué)。牽涉到實(shí)際的計(jì)算問題時(shí)，才發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)在是太有用了，不過可惜數(shù)學(xué)實(shí)在學(xué)得不好。A:收斂的問題，就好像你往水里扔一塊石頭激起的波浪，慢慢會(huì)平息下來，這就收斂了。計(jì)算的時(shí)候就是這樣，數(shù)據(jù)在每次迭代的時(shí)候在精確解的周圍震蕩，最后無限趨向于精確解。我想學(xué)過級(jí)數(shù)的人就應(yīng)該知道，里面就有個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和收斂的問題。數(shù)學(xué)真的非常重要，特別是研究做的比較深入以后，有些東西別人沒做過，要靠自己推導(dǎo)，有些迭代方法也需要自己證明是否收斂，或者方法的可靠性等等，都需要比較扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。有時(shí)候想解決一個(gè)問題，卻苦于沒有數(shù)學(xué)工具，這讓我覺得學(xué)校教育應(yīng)該在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些方面多做些介紹，至少應(yīng)該讓人大概知道一個(gè)問題應(yīng)該朝哪個(gè)方面去想，就算不懂，學(xué)起來也有個(gè)方向。A:首先說明，我對(duì)收斂問題沒有做過專門研究，只是在學(xué)習(xí)中多次遇到，說說我對(duì)收斂的理解，當(dāng)然，也提出點(diǎn)疑問。

1）收斂問題，是不是可以定義為當(dāng)前解法中解是不是趨近于真實(shí)解的問題。

2）我覺得現(xiàn)在有一種，或者說一類方法，就是求問題數(shù)值解的問題。這類問題并不要求或難以求出解析解。對(duì)這類問題的一個(gè)解決思路是：假設(shè)初始解，通過目標(biāo)函數(shù)對(duì)初始解進(jìn)行反饋，調(diào)整，從而去接近于真實(shí)解或最優(yōu)解。這類解法有一個(gè)重要的問題，就是下一步的解要比當(dāng)前解更趨近于真實(shí)解的問題。我認(rèn)為這就是收斂問題的由來。A:你提到了幾個(gè)數(shù)值積分方法，都有一定的局限性。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的王煥定教授提出過一種“高階單步法”，據(jù)說，這個(gè)方法是無條件穩(wěn)定，且可在大步長的情況下獲得良好的計(jì)算精度?？赡艿脑?，向您推薦這個(gè)方法。二、引起不收斂的因素

1、模型——主要是結(jié)構(gòu)剛度的大小。對(duì)于某些結(jié)構(gòu)，從概念的角度看，可以認(rèn)為它是幾何不變的穩(wěn)定體系。但如果結(jié)構(gòu)相近的幾個(gè)主要構(gòu)件剛度相差懸殊，在數(shù)值計(jì)算中就可能導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的較大誤差，嚴(yán)重的可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的幾何可變性——忽略小剛度構(gòu)件的剛度貢獻(xiàn)。如出現(xiàn)上述的結(jié)構(gòu)，要分析它，就得降低剛度很大的構(gòu)件單元的剛度，可以加細(xì)網(wǎng)格劃分，或著改用高階單元（BEAM->SHELL,SHELL->SOLID)。構(gòu)件的連接形式（剛接或鉸接）等也可能影響到結(jié)構(gòu)的剛度。2、線性算法（求解器）。ANSYS中的非線性算法主要有：稀疏矩陣法(SPARSEDIRECTSOLVER)、預(yù)共軛梯度法(PCGSOLVER)和波前法(FRONTDIRECTSLOVER)。稀疏矩陣法是性能很強(qiáng)大的算法，一般默認(rèn)即為稀疏矩陣法（除了子結(jié)構(gòu)計(jì)算默認(rèn)波前法外）。預(yù)共軛梯度法對(duì)于3-D實(shí)體結(jié)構(gòu)而言是最優(yōu)的算法，但當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度呈現(xiàn)病態(tài)時(shí)，迭代不易收斂。為此推薦以下算法：

1）、BEAM單元結(jié)構(gòu)，SHELL單元結(jié)構(gòu)，或以此為主的含3-DSOLID的結(jié)構(gòu)，用稀疏矩陣法；

2）、3-DSOLID的結(jié)構(gòu)，用預(yù)共軛梯度法；

3）、當(dāng)你的結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)病態(tài)時(shí)，用稀疏矩陣法；

4）、當(dāng)你不知道用什么時(shí)，可用稀疏矩陣法。3、非線性逼近技術(shù)。在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和步長有關(guān)?；￠L法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點(diǎn)，弧長法仍可能失效，甚至在非線性計(jì)算的線性階段，它也可能會(huì)無法收斂。為此，盡量不要從開始即激活弧長法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問題）。子步（時(shí)間步）的步長還是應(yīng)適當(dāng)，自動(dòng)時(shí)間步長也是很有必要的。4、加快計(jì)算速度。在大規(guī)模結(jié)構(gòu)計(jì)算中，計(jì)算速度是一個(gè)非常重要的問題。下面就如何提高計(jì)算速度作一些建議：充分利用ANSYSMAP分網(wǎng)和SWEEP分網(wǎng)技術(shù)，盡可能獲得六面體網(wǎng)格，這一方面減小解題規(guī)模，另一方面提高計(jì)算精度。在生成四面體網(wǎng)格時(shí)，用四面體單元而不要用退化的四面體單元。比如95號(hào)單元有20節(jié)點(diǎn)，可以退化為10節(jié)點(diǎn)四面體單元，而92號(hào)單元為10節(jié)點(diǎn)單元，在此情況下用92號(hào)單元將優(yōu)于95號(hào)單元。選擇正確的求解器。對(duì)大規(guī)模問題，建議采用PCG法。此法比波前法計(jì)算速度要快10倍以上（前提是您的計(jì)算機(jī)內(nèi)存較大）。對(duì)于工程問題，可將ANSYS缺省的求解精度從1E-8改為1E-4或1E-5即可。5、荷載步的設(shè)置直接影響到收斂。應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1、設(shè)置足夠大的荷載步（將MAXMIUMSUBSTEP=1000000），可以更容易收斂，避免發(fā)散的出現(xiàn)(nsub,nsbstp,nsbmx,nsbmn)；2、設(shè)置足夠大的平衡迭代步數(shù)，默認(rèn)為25，可以放大到很大(100)(eqit,eqit)；3、將收斂準(zhǔn)則調(diào)整，以位移控制時(shí)調(diào)整為0.05，以力控制為0.01CNVTOL,lab,value,toler,norm,minref)。4、對(duì)于線性單元和無中間節(jié)點(diǎn)的單元（SOLID65和SOLID45），關(guān)閉EXTRADISPLACEMENTSOPTIONS（在OPTIONS中）。5、對(duì)于CONCRETE材料，可以關(guān)閉壓碎功能，將CONCRETE中的單軸抗壓強(qiáng)度設(shè)置為-1(tadata,mat,shrcf-op,shrcf-cl,UntensSt,UnCompSt(-1))。三、如果不收斂，可以考慮以下方法改進(jìn)1、放松非線性收斂準(zhǔn)則(CNVTOLSetsconvergencevaluesfornonlinearanalysis)。2、增加荷載步數(shù)(NSUBSTSpecifiesthenumberofsubstepstobetakenthisloadstep)3、增加每次計(jì)算的迭代次數(shù)(默認(rèn)的25次)(NEQITMaximumnumberofequilibriumiterationsallowedeachsubstep)4、重新劃分單元試試，后續(xù)會(huì)得到不同的答案四、收斂驗(yàn)證許多問題可以造成非線性求解不收斂，在缺省情況下，ANSYS如果發(fā)現(xiàn)問題不收斂，求解就會(huì)終止，并且最后的不收斂結(jié)果會(huì)導(dǎo)入結(jié)果文件供分析。用戶必須在后處理之前知道求解是不收斂的，ANSYS用以下方法指定求解是不收斂的：1、錯(cuò)誤文件：會(huì)清楚的指出不收斂的解，并且會(huì)對(duì)不收斂的可能加以說明；2、通用后處理器post1中的查詢命令resultsummary，不收斂的求解結(jié)果會(huì)被指定為子步數(shù)目為999999。

五、收斂增強(qiáng)工具（只針對(duì)熱分析）ANSYS中收斂增強(qiáng)工具用于加速收斂，提高收斂，如果求解控制被關(guān)閉，這些工具必須謹(jǐn)慎選取，選取不正確會(huì)妨礙收斂。Nonliner——Lineseach當(dāng)熱傳到率有很大改變時(shí)會(huì)通過減少比例因子來增加N-R存儲(chǔ)的熱流向量，當(dāng)有非常的非線性情況出現(xiàn)，如相變或熱沖擊分析，使用這個(gè)工具很有效，缺省時(shí)關(guān)閉。Nonliner——predictor（收斂提高預(yù)測(cè)器）根據(jù)前面的結(jié)果預(yù)測(cè)溫度的結(jié)果，他在模型的非線性相應(yīng)隨時(shí)間變化過程中改變平滑的情況下非常有效，ANSYS缺省條件下自動(dòng)預(yù)測(cè)每個(gè)子步后的結(jié)果，預(yù)測(cè)器可以使用手工打開和關(guān)閉。Nonliner——monitor定義3個(gè)變量來跟蹤模型特定節(jié)點(diǎn)的溫度相應(yīng)和范例熱流率。六、ANSYS的非線性收斂準(zhǔn)則CNVTOL,Lab,VALUE,TOLER,NORM,MINREFANSYS中非線性收斂準(zhǔn)則主要有力的收斂，位移的收斂，彎矩的收斂和轉(zhuǎn)角的收斂。一般用力的控制加載時(shí)，可以使用殘余力的2-范數(shù)控制收斂；而位移控制加載時(shí)，最好用位移的范數(shù)控制收斂。WhenSOLCONTROL,ON,TOLERDefaultsto0.005(0.5%)forforceandmoment,and0.05(5%)fordisplacementwhenrotationalDOFsarenotpresent.WhenSOLCONTROL,OFF,defaultsto0.001(0.1%)forforceandmoment.收斂精度一般可放寬至5%，以提高收斂速度。加快收斂的方法有一下幾種：

1、可以增大荷載子步數(shù),nsubst,nsbstp,nsbmn,carry

2、修改收斂準(zhǔn)則,cnvtol,lab,value,toler,norm,minref

3、打開優(yōu)化的非線性默認(rèn)求解設(shè)置和某些強(qiáng)化的內(nèi)部求解算法，solcontrol,key1,key2,key3,vtol（一般情況下，默認(rèn)是打開的）

4、重新劃分網(wǎng)格,網(wǎng)格的單元不宜太大或太小,一般在5～10厘米左右

5、檢查模型的正確性七、計(jì)算收斂過程圖中的各個(gè)曲線的具體含義是什么？非線性計(jì)算是一個(gè)迭代計(jì)算的過程，曲線表示兩次迭代之間的誤差，圖中分別表示力和位移在迭代過程中的每次迭代之間的誤差。關(guān)于ansys中收斂準(zhǔn)則(cnvtol)理解ansys中依據(jù)缺省的收斂準(zhǔn)則，程序?qū)?duì)不平衡力SRSS與VALUE*TOLER的值進(jìn)行比較；而VALUE的缺省值是在SRSS和MINREF中取較大值。現(xiàn)假如TOLER的缺省值是0.1的話，這個(gè)準(zhǔn)則是不是可以理解成后一次的SRSS是前一次的SRSS的0.1倍就收斂啦?我是這樣理解的例如下面的命令流:cnvtol,f,5000,0.0005,0cnvtol,u,10,0.001,2如果不平衡力（獨(dú)立的檢查每一個(gè)自由度）小于等于5000*0.0005（也就是2.5），并且如果位移的變化小于等于10*0.001時(shí)，認(rèn)為子步是收斂的。ANSYS中收斂準(zhǔn)則，程序默認(rèn)力與位移共同控制，并且收斂的控制系數(shù)好像是0.001。這樣的收斂精度一般很難使塑性分析收斂，對(duì)于一般的塑性分析收斂問題，前幾個(gè)荷載步（彈性階段）用力與位移共同控制，進(jìn)入塑性后用力控制或位移控制，也可以先用力后用位移控制（位移控制比較容易收斂），至于控制系數(shù)取多少，自己根據(jù)需要逐步放大直至收斂！也有人建議最后用能量來控制收斂。convergencevalue是收斂值，convergencenorm是收斂準(zhǔn)則。ansys可以用cnvtol命令,如：cnvtol,f,10000,0.00001,2,,其中f是指采用力結(jié)果，10000是收斂絕對(duì)值，0.00001是收斂系數(shù)，2是收斂2范數(shù)。收斂準(zhǔn)則應(yīng)該是指選取那種結(jié)果進(jìn)行收斂判定，通常有三種選擇，分別是力（f），位移（u）、和能量。當(dāng)然這三種形式可以單獨(dú)使用也可以聯(lián)合使用。收斂準(zhǔn)則的另一層意思應(yīng)該是選取什么范數(shù)形式（1、2、3范數(shù)），一般結(jié)構(gòu)通常都選取2范數(shù)格式。而收斂值只是收斂準(zhǔn)則中的一部分，如cnvtol命令中的收斂絕對(duì)值與收斂系數(shù)的乘積就應(yīng)該是你所指的收斂值（convergencevalue）。

ansys使用收斂準(zhǔn)則有L1，L2，L~~（無窮大）三個(gè)收斂準(zhǔn)則。在工程中，一般使用收斂容差（0.05）就可以拉。建議使用位移收斂準(zhǔn)則(cnvtol,u,0.05,,,)與力收斂準(zhǔn)則(cnvtol,f，0.05,,,)。因?yàn)閮H僅只使用一個(gè)收斂準(zhǔn)則，會(huì)存在較大的誤差。假如你只能是使用一個(gè)收斂準(zhǔn)則，建議你提高收斂容差（0.01以下）。ansys計(jì)算非線性時(shí)會(huì)繪出收斂圖，其中橫坐標(biāo)是cumulativeiterationnumber，縱坐標(biāo)是absoluteconvergencenorm。他們分別是累積迭代次數(shù)和絕對(duì)收斂范數(shù)，用來判斷非線性分析是否收斂。

ansys在每荷載步的迭代中計(jì)算非線性的收斂判別準(zhǔn)則和計(jì)算殘差。其中計(jì)算殘差是所有單元內(nèi)力的范數(shù)，只有當(dāng)殘差小于準(zhǔn)則時(shí)，非線性疊代才算收斂。ansys的位移收斂是基于力的收斂的，以力為基礎(chǔ)的收斂提供了收斂量的絕對(duì)值，而以位移為基礎(chǔ)的收斂僅提供表現(xiàn)收斂的相對(duì)量度。一般不單獨(dú)使用位移收斂準(zhǔn)則，否則會(huì)產(chǎn)生一定偏差，有些情況會(huì)造成假收斂。(ansys非線性分析指南--基本過程Page.6)。因此ansys官方建議用戶盡量以力為基礎(chǔ)（或力矩）的收斂誤差，如果需要也可以增加以位移為基礎(chǔ)的收斂檢查。ANSYS缺省是用L2范數(shù)控制收斂。其它還有L1范數(shù)和L0范數(shù)，可用CNVTOL命令設(shè)置。在計(jì)算中L2值不斷變化，若L2<crit的時(shí)候判斷為收斂了。也即不平衡力的L2范數(shù)小于設(shè)置的criterion時(shí)判斷為收斂。由于ANSYS缺省的criterion計(jì)算是你全部變量的平方和開平方（SRSS）*valuse(你設(shè)置的值)，所以crition也有小小變化。如有需要，也可自己指定crition為某一常數(shù)，CNVTOL,F,10000,0.0001,0就指定力的收斂控制值為10000*0.0001=1。另外，非線性計(jì)算中用到的一個(gè)開關(guān)是SOLCONTROL。如關(guān)閉SOLCONTROL選項(xiàng)，那么軟件默認(rèn)收斂準(zhǔn)則：力或彎矩的收斂容差是0.001，而不考慮位移的收斂容差；如果打開SOLCONTROL選項(xiàng)，同樣的默認(rèn)收斂準(zhǔn)則：力或彎矩的收斂容差是0.005，而位移收斂容差是0.05。非線性收斂非常麻煩，與網(wǎng)格精度、邊界條件、荷載步等一系列因素有關(guān)，單元的特點(diǎn)對(duì)收斂的影響很大，單元的形態(tài)不好收斂則困難些；合理的步長可以使求解在真解周圍不至于振蕩，步長過小，計(jì)算量太大，步長過大，會(huì)由于過大的荷載步造成不收斂。網(wǎng)格密度適當(dāng)有助于收斂，網(wǎng)格太密計(jì)算量太大，當(dāng)然太稀計(jì)算結(jié)果會(huì)有較大的誤差。究竟多少往往要針對(duì)問題進(jìn)行多次試算。非線性計(jì)算無法收斂是非常頭疼的問題，往往不同的分析過程會(huì)有不同的提示，總結(jié)不收斂的原因，主要可從以下幾大類著手：1檢查模型是否存在不完全約束或剛體位移的情況：這主要是通過施加合理的約束方法來解決。如果剛體位移不可避免，可以人為施加合理的約束使其收斂，workbench就是通過施加弱彈簧來消除剛體位移的。2檢查網(wǎng)格：尤其是錯(cuò)誤信息提示有“單元出現(xiàn)嚴(yán)重扭曲”的語句時(shí)，這種情況發(fā)生在原模型計(jì)算前存在嚴(yán)重網(wǎng)格畸變的情形，可以通過check,esle,warn選擇存在警告的單元位于何處，找到位置后再在該處細(xì)化。3檢查載荷子步和時(shí)間步設(shè)置：一般是增加子步數(shù)或者減少時(shí)間步長，這點(diǎn)不用多說了，很實(shí)用很有效的方法。4檢查材料參數(shù)設(shè)置：這一錯(cuò)誤通常不容易發(fā)現(xiàn)，然而非常重要。材料模型不正確意味著不合理的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，在施加載荷后往往出現(xiàn)不合理的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，導(dǎo)致自由度位移過大而不收斂。具體說就是材料的EX,PRXY,金屬材料的雙線性和多線性參數(shù)等是否正確。5檢查結(jié)構(gòu)是否有不穩(wěn)定：如果我們分析的結(jié)構(gòu)是一個(gè)局部或全局不穩(wěn)定結(jié)果，這一點(diǎn)必須考慮。比如在結(jié)構(gòu)變形過程中出現(xiàn)了屈曲、剛度突變的情況，這個(gè)錯(cuò)誤是非線性不收斂的一個(gè)重要錯(cuò)誤。6檢查接觸的設(shè)置：接觸是一個(gè)狀態(tài)非線性問題，ansys中可選的參數(shù)很多，對(duì)于不同的接觸其中的參數(shù)需要個(gè)別設(shè)置，其中主要的參數(shù)有接觸行為方式，法向罰剛度因子，pingball域，初始穿透等等。7檢查積分參數(shù)的設(shè)置：在瞬態(tài)分析采用完全求解方法時(shí)，默認(rèn)的方法是Newmark方法，四個(gè)積分參數(shù)由γ控制，在一些特殊情況下，考慮數(shù)值衰減效果更加理想的HHT方法，或者手動(dòng)設(shè)置四個(gè)積分參數(shù)（但是這必須在你非常清楚積分參數(shù)的影響和保證無條件收斂的情況下才可以）。8檢查非線性求解器的選擇：ansys默認(rèn)的求解方法是iterative，即迭代法，即Newton-Raphson迭代，很多情況下該方法是可行的，但有時(shí)候直接迭代法direct能更好的收斂。9檢查大變形分析中約束方程的設(shè)置，一旦約束方程的節(jié)點(diǎn)的位移不滿足方程存在的條件的話就會(huì)產(chǎn)生變形不合理、不收斂的情況。總而言之，最好的方法就是從out信息中尋找突破點(diǎn)。

1103補(bǔ)充：荷載步與子步或時(shí)間步：（更好地理解收斂曲線）（一）來自：/liuhxing/blog/item/92d46bc488d695c339db49ab.html

1）荷載步比荷載子步大。顧名思義，荷載子步就是荷載步的細(xì)分。

2）荷載步概念主要是為了滿足靈活方便的施加不同種類荷載的要求而產(chǎn)生的。比如：要對(duì)一個(gè)結(jié)構(gòu)施加自重荷載，風(fēng)載，地震荷載，吊車荷載等等，我們當(dāng)然可以一次性同時(shí)加載，但是，如果我們希望知道每加一種荷載所產(chǎn)生的效應(yīng)，此時(shí)就只能將各種荷載分別定義為不同的荷載步，讓程序一次次的往上加。

3）荷載子步概念則是應(yīng)結(jié)果輸出要求、或者求解收斂要求而對(duì)每個(gè)荷載步進(jìn)行的進(jìn)一步細(xì)分。比如：我們希望求取對(duì)一根桿逐步施加豎向荷載直至其屈曲失穩(wěn)的全過程曲線，如果只是一次性將一個(gè)很大的豎向荷載加到桿上，顯然超過了桿件的極限荷載，通常計(jì)算會(huì)因此而無法收斂，并導(dǎo)致計(jì)算失敗，