第二章重心及截面的幾何性質(zhì)分解

第二章重心及截面的幾何性質(zhì)分解第一頁，共24頁。第一節(jié)重心重心：物體重力合力的作用點(diǎn)。重心相對(duì)于剛體的位置固定不變。一、重心坐標(biāo)公式將物體分割成許多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力為Wi，其作用點(diǎn)的坐標(biāo)為xi、yi、zi，重心C的坐標(biāo)為xC、yC、zC。將各Wi向重心C簡化：物體的重力為：第一頁第二頁，共24頁。應(yīng)用合力矩定理，分別求物體的重力對(duì)x、y軸的矩，有將物體隨坐標(biāo)系一起旋轉(zhuǎn)90°，使y軸鉛垂向下。對(duì)x軸應(yīng)用合力矩定理，有：

物體重心C的坐標(biāo)公式為：第二頁第三頁，共24頁。二、均質(zhì)物體的重心公式若單位體積的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的體積，均質(zhì)物體的重心又稱為形心。代入重心公式得：以V=∑ΔVi表示整個(gè)物體的體積，則有和，第三頁第四頁，共24頁。如果將物體分割的份數(shù)為無限多，式子可改寫成積分形式：第四頁第五頁，共24頁。三、均質(zhì)平板重心的坐標(biāo)公式和平面圖形形心公式

厚度為δ均質(zhì)平板，其重心在其對(duì)稱面內(nèi)。取坐標(biāo)面xy和對(duì)稱面重合，平板重心的zC為零。設(shè)對(duì)稱面圖形的面積為A，分割平面，某一微小部分的面積為ΔAi，重力為Wi，，平板的重力W=

第五頁第六頁，共24頁。該式亦為平面圖形形心公式。無限分割平面，平面圖形的形心公式的積分形式為：代入重心公式，得均質(zhì)平板的重心公式：第六頁第七頁，共24頁。對(duì)于均質(zhì)物體，如其幾何形體上具有對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心或形心必在此對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心上。1.觀察法

2.組合法將復(fù)雜形體視為簡單形體組合，這些簡單形體的重心已知的或易求，這樣整個(gè)形體的重心就可用坐標(biāo)公式直接求得。四、確定重心的常用方法第七頁第八頁，共24頁。3、負(fù)面積法形體上若有挖去的部分，把挖去的部分視為負(fù)值（負(fù)體積或負(fù)面積），利用坐標(biāo)公式來求形體的重心。4、積分法對(duì)規(guī)則形體，適當(dāng)?shù)倪x取微元，可用定積分求重心。第八頁第九頁，共24頁。例4-1角鋼截面的尺寸如圖所示。試求其形心的位置。解：（一）組合法取Oxy坐標(biāo)系如圖所示。第九頁第十頁，共24頁。（二）負(fù)面積法

第十頁第十一頁，共24頁。xy例4-2第十一頁第十二頁，共24頁。例4-3

用積分法求扇形重心公式。θdθdA=

解：第十二頁第十三頁，共24頁。

(1)懸掛法

4.實(shí)驗(yàn)法

過點(diǎn)A將板懸掛，作懸掛繩延長線AB，過D點(diǎn)將板懸掛，得DE線，兩線的交點(diǎn)為板的重心。

問：懸掛法的依據(jù)是什么？二力平衡公理第十三頁第十四頁，共24頁。(2)稱重法

先稱出物體的重量，然后將其一端支于固定支點(diǎn)A，另一端放在磅秤上再稱得一數(shù)值，由平衡方程確定重心的位置。

圖示連桿，秤得其重量為W，第二次秤的讀數(shù)等于秤對(duì)連桿的約束反力。由平衡方程FNBFNA第十四頁第十五頁，共24頁。第二節(jié)截面的幾何性質(zhì)一、靜矩設(shè)該平面圖形的形心C的坐標(biāo)為xC、yC，

若xC=0、yC=0，則Sy=0、Sx=0?？梢?，若某軸通過圖形的形心，則圖形對(duì)該軸的靜矩必等于零。靜矩可正，可負(fù)，可為零，具有長度的三次方量綱。

第十五頁第十六頁，共24頁。二、慣性矩和慣性積1.慣性矩慣性矩恒為正值，具有長度的四次方的量綱。i：慣性半徑

組合圖形對(duì)某軸的慣性矩

2．計(jì)算慣性矩的平行移軸公式第十六頁第十七頁，共24頁。4.慣性積極慣性矩Ip恒為正值，具有長度的四次方的量綱。

3.極慣性矩慣性積和慣性矩的量綱相同，但可正、可負(fù)，可為零。第十七頁第十八頁，共24頁。

如果圖形有一根（或一根以上）對(duì)稱軸，則此對(duì)稱軸為慣性主軸。通過形心，則稱為形心慣性主軸，圖形對(duì)這對(duì)軸的慣性矩稱為5.慣性主軸若圖形對(duì)一對(duì)正交坐標(biāo)軸x、y的慣性積Ixy為零。該對(duì)坐標(biāo)軸稱為慣性主軸，對(duì)應(yīng)的慣性矩Ix、Iy稱為主慣性矩。若慣性主軸形心主慣性矩。

第十八頁第十九頁，共24頁。例4-3試求矩形對(duì)其形心軸x、y以及x1的慣性矩Ix、Iy、Ix1

。解：取與x軸平行的狹長條為微面積，則dA=bdy。

再取與y軸平行的狹長條為微面積

根據(jù)平行軸公式

第十九頁第二十頁，共24頁。例4-4試求圓形和圓環(huán)形圖形對(duì)圓心的極慣性矩Ip以及對(duì)各自形心軸x、y的慣性矩Ix、Iy。解：（一）圓形在圓形上距圓心為ρ處取寬度為dρ的細(xì)圓環(huán)為微面積

第二十頁第二十一頁，共24頁。圓形是中心對(duì)稱的圖形，對(duì)x軸和y軸的慣性矩相等，即Ix=Iy。將計(jì)算Ip的積分式的積