新教材數(shù)學(xué)人教A版教案5-5三角恒等變換5-5-2簡(jiǎn)單的三角恒等變換

第五章三角函數(shù)三角恒等變換簡(jiǎn)單的三角恒等變換【素養(yǎng)目標(biāo)】1．能通過(guò)二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦、正切公式．(邏輯推理)2．了解半角公式的結(jié)構(gòu)形式，并能利用半角公式解決簡(jiǎn)單的求值問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．進(jìn)一步掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式，半角公式，并能靈活利用公式解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【學(xué)法解讀】在本節(jié)學(xué)習(xí)中學(xué)生應(yīng)先復(fù)習(xí)二倍角公式，利用二倍角公式推導(dǎo)半角公式，并掌握半角適用條件．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)中的邏輯推理．必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)一半角公式coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))()，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))()，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))()．思考：(1)半角公式是由以前學(xué)習(xí)過(guò)的哪些公式推導(dǎo)來(lái)的？如何推導(dǎo)的？(2)半角公式中的正負(fù)號(hào)能否去掉？該如何選擇？(3)半角公式對(duì)α∈R都成立嗎？提示：(1)二倍角的余弦公式．推導(dǎo)如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以eq\f(α,2)代替α，即得：cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,2)－1.所以sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,1＋cosα).開(kāi)方可得半角公式．(2)不能．①若沒(méi)有給出決定符號(hào)的條件，則在根號(hào)前保留正負(fù)兩個(gè)符號(hào)；②若給出α的具體范圍(即某一區(qū)間)時(shí)，則先求eq\f(α,2)所在范圍，然后根據(jù)eq\f(α,2)所在范圍選用符號(hào)．(3)公式，對(duì)α∈R都成立，但公式要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(A)①sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).②cos20°＝±eq\r(\f(1＋cos40°,2)).③taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα).④sin4α＋eq\r(3)cos4α＝2sin(4α＋eq\f(π,3))．A．1 B．2C．3 D．4[解析]①②③錯(cuò)誤，④正確，故選A．2．已知180°<α<360°，由coseq\f(α,2)的值等于(C)A．－eq\r(\f(1－cosα,2)) B．eq\r(\f(1－cosα,2))C．－eq\r(\f(1＋cosα,2)) D．eq\r(\f(1＋cosα,2))3．已知cosα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，則sineq\f(α,2)等于(B)A．－eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(3,10)eq\r(3) D．－eq\f(3,5)[解析]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(10),10).4．sinx－cosx等于(C)A．sin2x B．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))[解析]原式＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).5．已知cosθ＝eq\f(1,3)，且270°<θ<360°，試求sineq\f(θ,2)和coseq\f(θ,2)的值．[解析]∵270°<θ<360°，∴135°<eq\f(θ,2)<180°，∴sineq\f(θ,2)>0，coseq\f(θ,2)<0.∴sineq\f(θ,2)＝eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\r(\f(1－\f(1,3),2))＝eq\f(\r(3),3)；coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\r(\f(1＋\f(1,3),2))＝－eq\f(\r(6),3).關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一應(yīng)用半角公式給角求值例1求下列式子的值：sin75°、cos75°、tan75°.[分析]75°是150°的半角．[解析]sin75°＝eq\r(\f(1－cos150°,2))＝eq\r(\f(1＋cos30°,2))＝eq\r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝eq\f(\r(2＋\r(3)),2)＝eq\f(\r(8＋4\r(3)),4)＝eq\f(\r(\r(6)＋\r(2)2),4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).cos75°＝eq\r(\f(1＋cos150°,2))＝eq\r(\f(1－cos30°,2))＝eq\r(\f(1－\f(\r(3),2),2))＝eq\f(\r(2－\r(3)),2)＝eq\f(\r(8－4\r(3)),4)＝eq\f(\r(\r(6)－\r(2)2),4)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).tan75°＝eq\f(sin75°,cos75°)＝eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(6)－\r(2),4))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),\r(6)－\r(2))＝2＋eq\r(3).或tan75°＝eq\r(\f(1－cos150°,1＋cos150°))＝eq\r(\f(1＋\f(\r(3),2),1－\f(\r(3),2)))＝eq\r(\f(2＋\r(3),2－\r(3)))＝2＋eq\r(3).或tan75°＝eq\f(1－cos150°,sin150°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2＋eq\r(3).或tan75°＝eq\f(sin150°,1＋cos150°)＝eq\f(\f(1,2),1－\f(\r(3),2))＝2＋eq\r(3).[歸納提升]求sin75°、cos75°，利用sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出錯(cuò)，但比較麻煩．而應(yīng)用半角公式化簡(jiǎn)容易化簡(jiǎn)不到位．tan75°的求解應(yīng)注意選擇合理的公式．當(dāng)然sin75°、cos75°，可以先利用誘導(dǎo)公式將角變小，sin75°＝sin(90°－15°)＝cos15°，cos75°＝cos(90°－15°)＝sin15°，再利用半角公式求解．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?求值taneq\f(π,8)＋eq\f(1,tan\f(π,12)).[解析]方法一：taneq\f(π,8)＋eq\f(1,tan\f(π,12))＝eq\r(\f(1－cos\f(π,4),1＋cos\f(π,4)))＋eq\r(\f(1＋cos\f(π,6),1－cos\f(π,6)))＝eq\r(\f(1－\f(\r(2),2),1＋\f(\r(2),2)))＋eq\r(\f(1＋\f(\r(3),2),1－\f(\r(3),2)))＝eq\r(\f(2－\r(2),2＋\r(2)))＋eq\r(\f(2＋\r(3),2－\r(3)))＝eq\f(2－\r(2),\r(2))＋2＋eq\r(3)＝eq\r(2)－1＋2＋eq\r(3)＝1＋eq\r(2)＋eq\r(3).方法二：taneq\f(π,8)＋eq\f(1,tan\f(π,12))＝eq\f(1－cos\f(π,4),sin\f(π,4))＋eq\f(1＋cos\f(π,6),sin\f(π,6))＝eq\f(1－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＋eq\f(1＋\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(2)－1＋2＋eq\r(3)＝1＋eq\r(2)＋eq\r(3).題型二應(yīng)用半角公式求值例2已知sinθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(5π,2)<θ<3π，求sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2).[分析]已知條件中的角θ與所求角中的eq\f(θ,2)成二倍關(guān)系，從而選擇半角公式求值．[解析]∵sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(5π,2)<θ<3π，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(3,5).∵eq\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,2)，∴sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,2))＝－eq\f(2\r(5),5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(\r(5),5)，taneq\f(θ,2)＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝2.[歸納提升]已知θ的某個(gè)三角函數(shù)值，求eq\f(θ,2)的三角函數(shù)值的步驟是：(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得θ的其他三角函數(shù)值；(2)代入半角公式計(jì)算即可．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?設(shè)π<θ<2π，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(3,5)，求：(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2eq\f(θ,4)的值．[解析](1)∵π<θ<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，又coseq\f(θ,2)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\f(θ,2)＝eq\r(1－cos2\f(θ,2))＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f(4,5)，∴sinθ＝2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2×(－eq\f(3,5))×eq\f(4,5)＝－eq\f(24,25).(2)cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1＝2×(－eq\f(3,5))2－1＝－eq\f(7,25).(3)sin2eq\f(θ,4)＝eq\f(1－cos\f(θ,2),2)＝eq\f(1－－\f(3,5),2)＝eq\f(4,5).題型三三角恒等式的化簡(jiǎn)與證明例3求證：taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2)＝eq\f(2sinx,cosx＋cos2x).[分析]可以從左向右證明，從函數(shù)名稱入手考慮，將函數(shù)名稱統(tǒng)一為弦；也可以從右向左證明，從角入手考慮，注意到x＝eq\f(3x,2)－eq\f(x,2)，2x＝eq\f(3x,2)＋eq\f(x,2)，從消除等式兩邊角的差異入手考慮．[證明]證法一：taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2)＝eq\f(sin\f(3x,2),cos\f(3x,2))－eq\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))＝eq\f(sin\f(3x,2)cos\f(x,2)－cos\f(3x,2)sin\f(x,2),cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sinx,cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(2sinx,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))＝eq\f(2sinx,cosx＋cos2x).證法二：eq\f(2sinx,cosx＋cos2x)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)cos\f(x,2)－cos\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sin\f(3x,2),cos\f(3x,2))－eq\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))＝taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2).[歸納提升]化簡(jiǎn)問(wèn)題中的“三變”(1)變角：三角變換時(shí)通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過(guò)拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．(3)變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩?，如升冪、降冪、配方、開(kāi)方等．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α.[證明]證法一左邊＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2α,\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cosα)＝sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)cosα＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．∴原式成立．證法二左邊＝eq\f(cos2α,\f(1＋cosα,sinα)－\f(1－cosα,sinα))＝eq\f(cos2αsinα,2cosα)＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．∴原式成立．證法三：左邊＝eq\f(cos2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(1,2)cos2α·eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(1,2)cos2α·tanα＝eq\f(1,2)cosαsinα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊．∴原式成立．誤區(qū)警示忽略對(duì)角的終邊所在象限的討論例4已知sinα＝eq\f(3,5)，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)與taneq\f(α,2)的值．[錯(cuò)解]∵sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝±eq\f(4,5).(1)當(dāng)cosα＝eq\f(4,5)時(shí)，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))＝±eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))＝±eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±eq\f(1,3).(2)當(dāng)cosα＝－eq\f(4,5)時(shí)，sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))＝±eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))＝±eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±3.[錯(cuò)因分析]由sinα＝eq\f(3,5)>0，知角α是第一或第二象限角，從而eq\f(α,2)必為第一或第三象限角，所以taneq\f(α,2)的值必然為正．上述解法中忽視了sinα>0，從而eq\f(α,2)為第一或第三象限角這一隱含條件，導(dǎo)致解中的taneq\f(α,2)有正負(fù)兩個(gè)值．另外，錯(cuò)解中還有一點(diǎn)不妥，就是解法過(guò)于籠統(tǒng)與簡(jiǎn)單，沒(méi)有細(xì)分sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)與taneq\f(α,2)的值的對(duì)應(yīng)情況，依上述解法，sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)與taneq\f(α,2)的值對(duì)應(yīng)著2×2×2＋2×2×2＝16(組)情況，但實(shí)際情況卻只有4組(見(jiàn)下面正確解法)，這就造成了解的結(jié)果混亂，不能體現(xiàn)三個(gè)數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況．[正解]由sinα＝eq\f(3,5)>0，知角α是第一或第二象限角．(1)當(dāng)α是第一象限角時(shí)，cosα＝eq\f(4,5)，且eq\f(α,2)為第一或第三象限角，于是①當(dāng)eq\f(α,2)為第一象限角時(shí)，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(1,3)；②當(dāng)eq\f(α,2)為第三象限角時(shí)，sineq\f(α,2)＝－eq\f(\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(3\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(1,3).(2)當(dāng)α是第二象限角時(shí)，cosα＝－eq\f(4,5)，且eq\f(α,2)為第一或第三象限角，于是①當(dāng)eq\f(α,2)為第一象限角時(shí)，sineq\f(α,2)＝eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝3；②當(dāng)eq\f(α,2)為第三象限時(shí)，sineq\f(α,2)＝－eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(10),10)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝3.[方法點(diǎn)撥](1)應(yīng)用公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))以及taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))時(shí)，一定要注意根號(hào)前的符號(hào)是由eq\f(α,2)的終邊所在的象限來(lái)確定這一原則，充分挖掘題設(shè)中的隱含條件，利用隱含條件，判斷解的符號(hào)，縮小解的范圍，減少解答中的失誤．另外，在解答過(guò)程中也要充分注意解題格式的規(guī)范性，規(guī)范表述，不要給出模糊不清的過(guò)程與結(jié)果．(2)注意等號(hào)兩邊表達(dá)式的定義域是否一致．學(xué)科素養(yǎng)三角恒等變換的綜合應(yīng)用三角恒等變換就是熟練運(yùn)用所學(xué)公式將三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，在綜合討論三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，通常先要將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)成某一個(gè)角的三角函數(shù)式，再去研究其圖象與性質(zhì)是考試的重點(diǎn)．例5已知f(x)＝(1＋eq\f(1,tanx))sin2x－2sin(x＋eq\f(π,4))·sin(x－eq\f(π,4))．(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，求f(x)的取值范圍．[分析](1)將函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為只含有sin2x與cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α與cos2α的值，代入f(x)求f(α)．(2)將f(x)化為Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．[解析](1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋eq\f(π,4))·cos(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＋sin(2x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(sin2x－cos2x)＋cos2x＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2).由tanα＝2，得sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝eq\f(4,5).cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).所以，f(α)＝eq\f(1,2)(sin2α＋cos2α)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).(2)由(1)得f(x)＝eq\f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(1,2).由x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，得eq\f(5π,12)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).所以－eq\f(\r(2),2)≤sin(2x＋eq\f(π,4))≤1,0≤f(x)≤eq\f(\r(2)＋1,2).所以f(x)的取值范圍是[0，eq\f(\r(2)＋1,2)]．[歸納提升]利用三角恒等變換的解題技巧(1)將f(x)化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運(yùn)用“1”的代換技巧，將sin2α，cos2α化為正切tanα，為第(1)問(wèn)鋪平道路．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性．課堂檢測(cè)·固雙基1．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，則eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝(A)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．2 D．－2[解析]∵α是第三象限角，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5).∴eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(1＋\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))·eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝eq\f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(1,2).故選A．2．若θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，且sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，則sinθ＝(D)A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(7),4) D．eq\f(3,4)[解析]本題主要考查簡(jiǎn)單的三角恒等變換、倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式．∵θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴2θ∈[eq\f(π,2)，π]，∴sinθ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(1,8)，又sin2θ＝eq\f(1－cos2θ,2)，∴sin2θ＝eq\f(9,16)，∴sinθ＝eq\f(3,4)，故選D．3．設(shè)－3π<α<－eq\f(5π,2)，則化簡(jiǎn)eq\r(\f(1－cosα－π,2))的結(jié)果是(C)A．sineq\f(α,2) B．coseq\f(α,2)C．－coseq\f(α,2) D．－sineq\f(α,2)[解析]∵－3π<α<－eq\f(5,2)π，∴－eq\f(3,2)π<eq\f(α,2)<－eq\f(5,4)π，∴coseq\f(α,2)<0，∴原式＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2).4．設(shè)a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則有(C)A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a[解析]a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝eq\r(\f(2sin225°,2))＝sin25°，∴b>c>a.故選C．5．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝2，則eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)的值為(A)A．－eq\f(1,6) B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,2) D．－eq\f(5,6)[解析]tanα＝tan[(α＋eq\f(π,4))－eq\f(π,4)]＝eq\f(tanα＋\f(π,4)－1,1＋tanα＋\f(π,4))＝eq\f(1,3)，原式＝eq\f(cosα2sinα－cosα,2cos2α)＝tanα－eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6)，故選A．素養(yǎng)作業(yè)·提技能A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．(2019·陜西省西安市段考)eq\r(\f(1＋cos260°,2))的值等于(A)A．sin40° B．cos40°C．cos130° D．±cos50°[解析]eq\r(\f(1＋cos260°,2))＝eq\r(\f(1＋2cos2130°－1,2))＝eq\r(cos2130°)＝|cos130°|＝－cos130°＝sin40°，故選A．2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，則sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(C)A．1 B．－1C．0 D．±1[解析]因?yàn)閟in(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.3．若sinθ＝eq\f(3,5)，eq\f(5π,2)<θ<3π，則taneq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝(B)A．3＋eq\f(\r(10),10) B．3－eq\f(\r(10),10)C．3＋eq\f(3\r(10),10) D．3－eq\f(3\r(10),10)[解析]因?yàn)閑q\f(5π,2)<θ<3π，所以cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(4,5).因?yàn)閑q\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,2)，所以sineq\f(θ,2)<0，coseq\f(θ,2)<0，所以sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,2))＝－eq\f(3\r(10),10)，coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(\r(10),10)，所以taneq\f(θ,2)＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝3.所以taneq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝3－eq\f(\r(10),10).4．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，則sin2θ＝(D)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]由eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝4，得eq\f(1,sinθ·cosθ)＝4，所以eq\f(2,sin2θ)＝4，sin2θ＝eq\f(1,2).5．設(shè)3π<α<4π，coseq\f(α,2)＝m，那么coseq\f(α,4)等于(B)A．eq\r(\f(m＋1,2)) B．－eq\r(\f(m＋1,2))C．－eq\r(\f(1－m,2)) D．eq\r(\f(1－m,2))[解析]由于coseq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,4)－1，可得cos2eq\f(α,4)＝eq\f(1＋cos\f(α,2),2).又3π<α<4π，所以eq\f(3π,4)<eq\f(α,4)<π.所以coseq\f(α,4)<0.所以coseq\f(α,4)＝－eq\r(\f(m＋1,2)).6.eq\f(2sin2α,sin2α)·eq\f(2cos2α,cos2α)等于(B)A．tanα B．tan2αC．1 D．eq\f(1,2)[解析]原式＝eq\f(2sinαcosα2,sin2αcos2α)＝eq\f(sin22α,sin2αcos2α)＝eq\f(sin2α,cos2α)＝tan2α.二、填空題7．已知sinθ＝－eq\f(3,5)，3π<θ<eq\f(7π,2)，則taneq\f(θ,2)＝__－3__.[解析]根據(jù)角θ的范圍，求出cosθ后代入公式計(jì)算，即由sinθ＝－eq\f(3,5)，3π<θ<eq\f(7π,2)，得cosθ＝－eq\f(4,5)，從而taneq\f(θ,2)＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(－\f(3,5),1－\f(4,5))＝－3.8．已知cos2α＝eq\f(1,2)，且eq\f(π,2)<α<π，則tanα＝__－eq\f(\r(3),3)__.[解析]∵eq\f(π,2)<α<π，∴tanα＝－eq\r(\f(1－cos2α,1＋cos2α))＝－eq\f(\r(3),3).9．若sin2α<0，cosα<0，則cosαeq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝__eq\r(2)sin(α－eq\f(π,4))__.[解析]由題可知α為第二象限角，且eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<eq\f(π,2).原式＝cosαeq\r(\f(1－cos\f(π,2)－α,1＋cos\f(π,2)－α))＋sinαeq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝－cosαtan(eq\f(π,4)－eq\f(α,2))＋sinα·taneq\f(α,2)＝－2sin2(eq\f(π,4)－eq\f(α,2))＋2sin2eq\f(α,2)＝－1＋cos(eq\f(π,2)－α)＋(1－cosα)＝eq\r(2)sin(α－eq\f(π,4))．三、解答題10．求證：eq\f(2sinxcosx,sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1)＝eq\f(1＋cosx,sinx).[證明]左邊＝eq\f(2sinxcosx,2sin\f(x,2)cos\f(x,2)－2sin2\f(x,2)2sin\f(x,2)cos\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))＝eq\f(2sinxcosx,4sin2\f(x,2)cos2\f(x,2)－sin2\f(x,2))＝eq\f(sinx,2sin2\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2),sin\f(x,2))＝eq\f(2cos2\f(x,2),2sin\f(x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(1＋cosx,sinx)＝右邊．∴原等式成立．11．已知α為鈍角，β為銳角，且sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，求coseq\f(α－β,2)與taneq\f(α－β,2)的值．[解析]因?yàn)棣翞殁g角，β為銳角，sinα＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(12,13)，所以cosα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5))×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(33,65).因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，且0<β<eq\f(π,2)，所以0<α－β<π，即0<eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2)，所以coseq\f(α－β,2)＝eq\r(\f(1＋cosα－β,2))＝eq\r(\f(1＋\f(33,65),2))＝eq\f(7\r(65),65).方法一：由0<eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2)，得sineq\f(α－β,2)＝eq\r(1－cos2\f(α－β,2))＝eq\f(4\r(65),65)，所以taneq\f(α－β,2)＝eq\f(sin\f(α－β,2),cos\f(α－β,2))＝eq\f(4,7).方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝eq\f(33,65)，得sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\f(56,65).所以taneq\f(α－β,2)＝eq\f(sinα－β,1＋cosα－β)＝eq\f(\f(56,65),1＋\f(33,65))＝eq\f(4,7).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若A＋B＝eq\f(2π,3)，則cos2A＋cos2B的取值范圍是(C)A．[0，eq\f(1,2)] B．[eq\f(1,2)，1]C．[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)] D．[0,1][解析]cos2A＋cos2B＝eq\f(1＋cos2A,2)＋eq\f(1＋cos2B,2)＝1＋eq\f(1,2)(cos2A＋cos2B)＝1＋coseq\f(2A＋2B,2)·coseq\f(2A－2B,2)＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)＝1＋coseq\f(2π,3)·cos(A－B)＝1－eq\f(1,2)cos(A－B)．∵cos(A－B)∈[－1,1]，∴cos2A＋cos2B∈[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]．2．(2019·甘肅武威第十八中學(xué)單元檢測(cè))若eq\f(π,2)<θ<π，則eq\r(1－sinθ)－eq\r(\f(1,2)1－cosθ)＝(D)A．2sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2) B．coseq\f(θ,2)－2sineq\f(θ,2)C．coseq\f(θ,2) D．－coseq\f(θ,2)[解析]∵eq\f(π,2)<θ<π，∴eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴sineq\f(θ,2)>coseq\f(θ,2)>0.∵1－sinθ＝sin2eq\f(θ,2)＋cos2eq\f(θ,2)－2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝(sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2))2，eq\f(1,2)(1－cosθ)＝sin2eq\f(θ,2)，∴eq\r(1－sinθ)－eq\r(\f(1,2)1－cosθ)＝eq\r(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)2)－eq\r(sin2\f(θ,2))＝(sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2))－sineq\f(θ,2)＝－coseq\f(θ,2).3．(多選題)下列各式中，值為eq\f(1,2)的是(AC)A．eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°) B．tan15°cos215°C．eq\f(\r(3),3)cos2eq\f(π,12)－eq\f(\r(3),3)sin2eq\f(π,12) D．eq\f(tan30°,1－tan230°)[解析]A符合，原式＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)tan45°＝eq\f(1,2)；B不符合，原式＝sin15°·cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)；C符合，原式＝eq\f(\r(3),3)·coseq\f(π,6)＝eq\f(1,2)；D不符合，原式＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan30°,1－tan230°)＝eq\f(1,2)tan60°＝eq\f(\r(3),2)，故選AC．4．(多選題)下列各式與tanα相等的是(CD)A．eq\r(\f(1－cos2α,1＋cos2α))B．eq\f(sinα,1＋cosα)C．eq\r(\f(1＋cosπ＋2α,2))·eq\f(1,cosα)(α∈(0，π))D．eq\f(1－cos2α,sin2α)[解析]A不符合，eq\r(\f(1－cos2α,1＋cos2α))＝eq\r(\f(2sin2α,2cos2α))＝eq\r(tan2α)＝|tanα|；B不符合，eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),2cos2\f(α,2))＝taneq\f(α,2)；C符合