第七節(jié)函數(shù)的圖象

第七節(jié)函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)要求:1在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈ鐖D象法、列表法、解

析法表示函數(shù)2會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式

解的問(wèn)題1利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟1確定函數(shù)的定義域2化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式3討論函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等4描點(diǎn)連線必備知識(shí)

·

整合

2圖象變換1平移變換:y=f?y=⑤

fω

;y=f?y=⑥

Af

3對(duì)稱變換:y=f?y=⑦

-f

;y=f?y=⑧

f-

;y=f?y=⑨

-f-

2伸縮變換:y=f?y=⑩

f||

;y=f?y=?

|f|

4翻折變換:知識(shí)拓展關(guān)于對(duì)稱的四個(gè)重要結(jié)論:1函數(shù)y=f與y=f2a-的圖象關(guān)于直線=a對(duì)稱2函數(shù)y=f與y=2b-f2a-的圖象關(guān)于點(diǎn)a,b中心對(duì)稱3若函數(shù)y=f的定義域內(nèi)任意自變量均滿足fa=fa-,則函數(shù)y=f的

圖象關(guān)于直線=a對(duì)稱4y=f的圖象關(guān)于直線y=n對(duì)稱的圖象是函數(shù)y=2n-f的圖象1判斷正誤正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”1當(dāng)∈0,∞時(shí),函數(shù)y=|f|與y=f||的圖象相同2函數(shù)y=af與y=faa>0且a≠1的圖象相同?3函數(shù)y=f與y=-f的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4若函數(shù)y=f滿足f1=f1-,則函數(shù)f的圖象關(guān)于直線=1對(duì)稱?

5將函數(shù)y=f-的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=f--1的圖象?

???√?2新教材人教A版必修第一冊(cè)P68例5改編下列圖象是函數(shù)y=?的圖象的是?

C3新教材人教A版必修第一冊(cè)P95綜合運(yùn)用T1改編小明騎車上學(xué),開(kāi)始時(shí)勻

速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后,為了趕時(shí)間加快速度行駛,與以

上事件吻合得最好的圖象是?

C=2bc的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)

度,所得圖象的函數(shù)解析式為y=2-2-3,則Ab=2,c=2

Bb=-2,c=-1Cb=2,c=0

Db=-3,c=2C考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象關(guān)鍵能力

·

突破

典例1作出下列函數(shù)的大致圖象1y=?;2y=?;3y=|log2-1|;4y=2-2||-1解析(1)易知函數(shù)y=

的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠-1},y=

=-1+

.由y=

的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)y=

的圖象,如圖①所示.

(2)先作出y=

,x∈[0,+∞)的圖象,然后作其關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象,再將整個(gè)圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,即得到y(tǒng)=

的圖象,如圖②所示.

(3)先作出y=log2x的圖象,再將圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,保留x軸上方的部

分,將x軸下方的圖象翻折到x軸上方,即得到y(tǒng)=|log2x-1|的圖象,如圖③所示.

(4)y=x2-2|x|-1=

的圖象如圖④所示.

名師點(diǎn)評(píng)作函數(shù)圖象的一般方法1直接法:當(dāng)函數(shù)解析式或變形后的解析式是熟悉的函數(shù)時(shí),就可根據(jù)這些

函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出;2圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱

得到,則可利用圖象變換作出,并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單

位及解析式的影響作出下列函數(shù)的大致圖象,并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域1y=?;2y=2-4||解析(1)y=

=1+

的圖象如圖所示:

由圖象知函數(shù)在(-∞,2)和(2,+∞)上為減函數(shù).因?yàn)?/p>

≠0,所以1+

≠1,故值域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞).(2)y=x2-4|x|=

作出圖象如圖所示:

由圖象可知函數(shù)在(-∞,-2]和[0,2]上為減函數(shù),在[-2,0]和[2,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)x=±2時(shí),y取得最小值-4,故值域?yàn)閇-4,+∞).考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識(shí)別角度一由式識(shí)圖或由圖辨式典例2

多選題2020山東濰坊模擬函數(shù)f=?的圖象可能是?

ABC解析

函數(shù)f(x)=

,若a=0,則f(x)=

=

,故C中圖象可能;若a>0,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(0)=0,故B中圖象可能;若a<0,則x≠±

,故A中圖象可能,故選ABC.角度二借助動(dòng)點(diǎn)研究函數(shù)的圖象典例3如圖,點(diǎn)是CD的中點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)點(diǎn)的面積為y,則函數(shù)y=f的圖象大致

是?

A解析

當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),y=

×x×1=

x,0≤x≤1;當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM=-

x+

,1<x≤2;當(dāng)點(diǎn)P在CM上時(shí),y=

×

×1=-

x+

,2<x≤

,所以y=

故選A.名師點(diǎn)評(píng)1抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析:1由函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置;由函數(shù)的值域判斷圖象的上下位

置;2由函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的變化趨勢(shì);3由函數(shù)的周期性判斷圖象的

循環(huán)往復(fù);4由函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對(duì)稱性2抓住函數(shù)的特征,定量計(jì)算:從函數(shù)的特征點(diǎn)出發(fā),利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題12020河南鄭州模擬函數(shù)f=?的部分圖象大致為?

B解析

因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)=

=-

=

=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,排除選項(xiàng)A、C,f(2)=

=-

sin2,因?yàn)?/p>

<2<π,所以sin2>0,所以f(2)<0,排除選項(xiàng)D.故選B.22020河北衡水中學(xué)三模如圖所示的是函數(shù)f的部分圖象,則f的解析式

可能是?Af=|sincos|

Bf=sin2cos2Cf=|sin||cos|

Df=sin||cos||B解析

由題圖可知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以f(x)應(yīng)為偶函數(shù),排除A選項(xiàng);由題圖可知函數(shù)f(x)能取到小于0的值,所以排除C選項(xiàng);對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=sinx+cosx=

sin

,而當(dāng)x∈

時(shí),

∈

,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知D選項(xiàng)不正確,故選B.考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用角度一研究函數(shù)的性質(zhì)典例4

2020山東淄博二模已知方程||y|y|=-1表示的曲線為y=f的圖象,

對(duì)于函數(shù)y=f有如下結(jié)論:①f在-∞,∞上單調(diào)遞減;②函數(shù)F=f

至少存在一個(gè)零點(diǎn);③y=f||的最大值為1;④若函數(shù)g和f的圖象關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱,則y=g由方程y|y|||=1所確定,其中正確結(jié)論的序號(hào)為?A①③

B②③C①④

D②④C解析

當(dāng)x≥0,y≥0時(shí),x2+y2=-1,此方程不存在;當(dāng)x≥0,y<0時(shí),x2-y2=-1,此時(shí)圖象為實(shí)軸在y軸上的雙曲線的一部分;當(dāng)x<0,y≥0時(shí),y2-x2=-1,此時(shí)圖象為實(shí)軸在x軸上的雙曲線的一部分;當(dāng)x<0,y<0時(shí),x2+y2=1,此時(shí)圖象為以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓的一部分.畫(huà)出y=f(x)的圖象,如圖所示:由圖象可得f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,所以①中結(jié)論正確;函數(shù)y=f(x)的圖象

與直線y=-x沒(méi)有交點(diǎn),即f(x)=f(x)+x沒(méi)有零點(diǎn),所以②中結(jié)論錯(cuò)誤;由函數(shù)圖象

的對(duì)稱性可知③中結(jié)論錯(cuò)誤;若函數(shù)g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則在x|x|+y|y|=-1中,用-x代替x,用-y代替y,可得y|y|+x|x|=1,所以④中結(jié)論正確.故選C.角度二求不等式的解集典例5

2020河南鄭州一模已知定義在R上的函數(shù)f在-∞,-2上是減函數(shù),

若g=f-2是奇函數(shù),且g2=g0=0,則不等式f≤0的解集是?A-∞,-2]∪∪∪∪[0,∞C解析

g(x)=f(x-2)的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,且g(2)=g(0)=0,所以f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,f(0)=g(2)=0,畫(huà)出f(x)的

大致圖象,如圖所示:

結(jié)合函數(shù)的圖象可知,當(dāng)x≤-4或x≥-2時(shí),xf(x)≤0,故選C.角度三求參數(shù)的取值范圍典例6

2020廣東深圳模擬已知函數(shù)f=?若不等式f-1<0的解集為空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是?A2-2?,0]

B2-3?,0]CC解析

因?yàn)椴坏仁絝(x)-kx+k+1<0的解集為空集,所以不等式f(x)-kx+k+1≥

0恒成立,即f(x)≥k(x-1)-1恒成立.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x),y=k(x-1)-1的圖象,如圖所示:

直線y=-1-1過(guò)定點(diǎn)A1,-1,當(dāng)直線y=-1-1與y=2≤0的圖象相切時(shí),方程f-1=0有一個(gè)實(shí)數(shù)

解,可得2=-1-1,即2-1=0,由Δ=2-41=0,可得=2-2?或=22?舍去,由函數(shù)圖象可知使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是名師點(diǎn)評(píng)1利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象

的函數(shù)是常用的,函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值值域、零點(diǎn)

也常借助于圖象研究,但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系2利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問(wèn)題,方程f=g的根就

是函數(shù)f與g圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo);不等式f<g的解集是函數(shù)f的圖象

位于g圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合,這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想=||-2,則下列結(jié)論正確的是?Af是偶函數(shù),遞增區(qū)間是0,∞Bf是偶函數(shù),遞減區(qū)間是-∞,1Cf是奇函數(shù),遞減區(qū)間是-1,1Df是奇函數(shù),遞增區(qū)間是-∞,0C解析

將函數(shù)f