廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)等校2023屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023屆高三年級(jí)2月份大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22題。全卷滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則（）A．B．C．D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A．的實(shí)部為3B．的虛部為4C．在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn)．的模長(zhǎng)為3．（）A．B．C．D．4．某蘋(píng)果園一般把當(dāng)年所產(chǎn)的蘋(píng)果，根據(jù)外形、甜度等品質(zhì)，由高到低評(píng)定為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)，分別以不同的價(jià)格出售．圖1是2021年的等級(jí)結(jié)果，圖2是2022年的等級(jí)結(jié)果，已知2022年的蘋(píng)果產(chǎn)量是2021年的2倍．2022年與2021年比較，下列說(shuō)法正確的是（）圖1圖2A．2022年A等級(jí)的蘋(píng)果產(chǎn)量比2021年少B．2022年B等級(jí)的蘋(píng)果產(chǎn)量是2021年的2.5倍C．2022年D等級(jí)的蘋(píng)果產(chǎn)量是2021年的一半D．2022年E等級(jí)的蘋(píng)果產(chǎn)量與2021年相同5．已知邊長(zhǎng)為1的正五邊形，則（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)，集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A．4B．5C．6D．77．橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．的三邊構(gòu)成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（）A．B．C．或D．或8．已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個(gè)整數(shù)，使得點(diǎn)在直線上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．函數(shù)的周期為，下列命題正確的有（）A．點(diǎn)為的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心B．是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C．在上單調(diào)遞減D．的圖象向左平移3個(gè)單位，得的圖象10．已知函數(shù)，則（）A．在上是減函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．不等式的解集是11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分別滿足，則（）A．對(duì)任意，平面平面B．當(dāng)平面時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為D．對(duì)任意，三棱錐的體積為定值12．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A．B．C．D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，寫(xiě)出滿足條件的其中一條直線的方程__________．14．在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________．15．已知雙曲線，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．16．已知圓錐的頂點(diǎn)為，軸截面為銳角，則當(dāng)__________時(shí)，圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值最大，最大值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在①，②，③向量這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且__________．（1）求角的大?。唬?）是線段上的點(diǎn)，且，求的面積．18．（本小題滿分12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（本小題滿分12分）如圖，五棱錐中，，，，，，，，，分別是線段的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（本小題滿分12分）為了促進(jìn)健康保險(xiǎn)的發(fā)展，規(guī)范健康保險(xiǎn)的經(jīng)營(yíng)行為，保護(hù)健康保險(xiǎn)活動(dòng)當(dāng)事人的合法權(quán)益，提升人民群眾健康保障水平，我國(guó)制定了《健康保險(xiǎn)管理辦法》．為了解某一地區(qū)中年居民（年齡在40～55歲）購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)的情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到健康保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量（單位：萬(wàn)單）關(guān)于（年份）的線性回歸方程為，且購(gòu)買(mǎi)量的方差為，年份的方差為．（1）求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷健康保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)業(yè)與年份的相關(guān)性強(qiáng)弱；（2）該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位居民的性別與是否購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)的情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)與居民性別有關(guān)；（3）在上述購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)的居民中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：（?。┚€性回歸方程：，其中；（ⅱ）相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng)．（ⅲ），其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（本小題滿分12分）點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)是拋物線上異于兩點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2023屆高三年級(jí)2月份大聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則一、單選題1．C【解析】由題解得，所以，又因?yàn)?，所以．故選C．2．C【解析】因?yàn)椋缘膶?shí)部為4，虛部為．在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，．故選C．3．A【解析】．故選A．4．B【解析】設(shè)2021年的蘋(píng)果產(chǎn)量為，則2022年的蘋(píng)果產(chǎn)量為，根據(jù)圖表得出兩年各個(gè)等級(jí)的蘋(píng)果產(chǎn)量如下圖所示：年份20212022由表可知A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確．故選B．5．B【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，．故選B．6．D【解析】當(dāng)時(shí)，，得或3；當(dāng)時(shí)，，得或，所以若，則或或1或3，畫(huà)出函數(shù)的圖象如下，再畫(huà)出直線，直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象各有兩個(gè)交點(diǎn)，共7個(gè)交點(diǎn)，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為7．故選D．7．D【解析】設(shè)直角三角形的三邊分別為成等差數(shù)列，則，解得：．若中，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，如圖，根據(jù)橢圓定義可知，，所以，即，得，，所以，離心率，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，如圖，根據(jù)橢圓定義可知，，所以，即，得，得，離心率．故選D．8．C【解析】點(diǎn)在直線上方，即，即有且僅有一個(gè)正整數(shù)解．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，時(shí)，時(shí)，，故可得函數(shù)如下圖，直線過(guò)定點(diǎn)，若有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，首先應(yīng)有，且2是唯一的整數(shù)解，即，得：．故選C．二、多選題9．ABC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，所以．對(duì)于A，令，當(dāng)時(shí)，．則是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故A正確；對(duì)于B，令，當(dāng)時(shí)，．則是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故B正確；對(duì)于C，由，解得的單調(diào)遞減區(qū)間為，取的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，因?yàn)椋蔆正確；對(duì)于D，的圖象向左平移3個(gè)單位，得，故D錯(cuò)誤．故選ABC．10．BD【解析】定義域?yàn)?，，令，即，解得，所以在上是增函?shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確；因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤；由上述過(guò)程可知在上是增函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以在上是減函數(shù)，且，所以不等式的解集是，故D正確．故選BD．11．ABD【解析】如圖，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，因?yàn)?，所以，所以，所以平面．因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)?，所以平面平面，故A正確；，當(dāng)平面時(shí)，，即，，，故B正確；如圖，當(dāng)時(shí)，分別是棱的中點(diǎn)，分別取棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球即是長(zhǎng)方體的外接球，其直徑為，球的表面積為，故C不正確；三棱錐的體積，所以三棱錐的體積為定值，故D正確．故選ABD．12．BCD【解析】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，且，對(duì)于，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D：，，且，由，得，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選BCD．三、填空題13．（答案不唯一）【解析】設(shè)，由，得，整理得，如圖，即點(diǎn)的軌跡為圓，圓心為，半徑，直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，即直線與圓相切，所以直線的方程可以為（答案不唯一）．故答案為（答案不唯一）．14．45【解析】依題意，，因此展開(kāi)式中項(xiàng)為，所以含項(xiàng)的系數(shù)為45．故答案為45．15．【解析】由題意可知點(diǎn)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以一定在雙曲線上，而，因?yàn)?，但，所以點(diǎn)不在雙曲線上，所以點(diǎn)在雙曲線上，則，解得，所以雙曲線方程為．故答案為．16．【解析】如圖，不妨設(shè)為線段的中點(diǎn)，連接，圓錐的內(nèi)切球球心為，半徑為；外接球球心為，半徑為．圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值，在中，，，在中，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，圓錐的內(nèi)切球與外接球的表面積的比值的最大值為．故答案為．四、解答題17．解：選條件①，（1）因?yàn)?，故，所以，即，又中，，所以，即，又，所以．選條件②，（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，又，所以．選條件③，（1）向量，，由正弦定理得：，，，，則，，；（2）設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，中，由正弦定理知：，即，化?jiǎn)得，即，所以，所以的面積為．18．解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，所以，由及得，所以，又?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，所以，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．故，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，①，②①-②得，，故．19．解：（1）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以為等腰梯形，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以在同一條直線上，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故，又因?yàn)?，所以平面．?）由（1）得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，可取．設(shè)是平面的法向量，則，即，可取，于是，設(shè)二面角的大小為．因此二面角的正弦值是．20．解：（1）相關(guān)系數(shù)為，故與線性相關(guān)較強(qiáng)．（2）零假設(shè)為：購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)與居民性別相互獨(dú)立，即購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)與居民性別無(wú)關(guān)．，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)與居民性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05．（3）購(gòu)買(mǎi)健康保險(xiǎn)的居民男女之比為，所以7人中男性居民選取2人，女性居民選取5人，則的可能取值為0，1，2，，，，故的分布列為：012．21．解：（1）拋物線，因?yàn)?，所以不妨令，所以或（舍），拋物線的方程為．（2）如圖，不妨令，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，設(shè)，直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立方程組，解得，，直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立方程組，解得，，直線的斜率，直線的斜率，所以直線的斜率與直線的斜率相等，即，所以三點(diǎn)共線．22．解：（1），定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得；令，得