MBA數(shù)學(xué)必備公式打印版

.z......資料....MBA聯(lián)考數(shù)學(xué)基本概念和必備公式（一）初等數(shù)學(xué)部分一、絕對值1、非負(fù)性：即|a|≥0，任何實數(shù)a的絕對值非負(fù)。歸納：所有非負(fù)性的變量正的偶數(shù)次方（根式）負(fù)的偶數(shù)次方（根式）指數(shù)函數(shù)a*(a>0且a≠1)>0考點：若干個具有非負(fù)性質(zhì)的數(shù)之和等于零時，則每個非負(fù)數(shù)必然為零。2、三角不等式，即|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|左邊等號成立的條件：ab≤0且|a|≥|b|右邊等號成立的條件：ab≥0要求會畫絕對值圖像二、比和比例1、2、合分比定理：等比定理：3、增減性(m>0),(m>0)注意本部分的應(yīng)用題三、平均值1、當(dāng)為n個正數(shù)時，它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即當(dāng)且僅當(dāng)。2、3、4、n個正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值相等時，則這n個正數(shù)相等，且等于算術(shù)平均值。四、方程1、判別式（a,b,c∈R）2、圖像與根的關(guān)系△=b2–4ac△>0△=0△<0f(*)=a*2+b*+c(a>0)**1*2**1,2f(*)=0根無實根f(*)>0解集*<*1或*>*2*∈Rf(*)<0解集*1<*<*2*∈*∈3、根與系數(shù)的關(guān)系*1,*2是方程a*2+b*+c=0(a≠0)的兩個根，則**1＋*2＝－b/a*1·*2＝c/a*1，*2是方程a*2＋b*＋c＝0(a≠0)的兩根4、韋達(dá)定理的應(yīng)用利用韋達(dá)定理可以求出關(guān)于兩個根的對稱輪換式的數(shù)值來：（1）（2）（3）（4）5、要注意結(jié)合圖像來快速解題

五、不等式1、提示：一元二次不等式的解，也可根據(jù)二次函數(shù)的圖像求解?！?b2–4ac△>0△=0△<0f(*)=a*2+b*+c(a>0)**1*2**1,2f(*)=0根無實根f(*)>0解集*<*1或*>*2*∈Rf(*)<0解集*1<*<*2*∈*∈2、注意對任意*都成立的情況（1）對任意*都成立，則有：a>0且△<0（2）a*2+b*+c<0對任意*都成立，則有：a<0且△<03、要會根據(jù)不等式解集特點來判斷不等式系數(shù)的特點六、二項式1、，即：與首末等距的兩項的二項式系數(shù)相等2、，即：展開式各項二項式系數(shù)之和為2n3、常用計算公式4、通項公式(△)5、展開式系數(shù)容列表歸納如下：二項式定理公式所表示的定理成為二項式定理。二項式展開式的特征通項公式第k＋1項為，k＝0，1，…，n項數(shù)展開總共n＋1項指數(shù)a的指數(shù)：由；b的指數(shù)：由；各項a與b的指數(shù)之和為n展開式的最大系數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)時，則中間項（第項）系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，則中間兩項（第和項）系數(shù)最大。展開式系數(shù)之間的關(guān)系1．，即與首末等距的兩項系數(shù)相等；2．＋……，即展開式各項系數(shù)之和為；3．，即奇數(shù)項系數(shù)和等于偶數(shù)項系數(shù)和七、數(shù)列（二）微積分部分一、函數(shù)、極限、連續(xù)1、單調(diào)性：（注意嚴(yán)格單調(diào)與單調(diào)的區(qū)別）設(shè)有函數(shù)y=f(*)，*∈D，若對于D中任意兩點*1，*2(*1<*2)，都有f(*1)≤f(*2)(或f(*1)≥f(*2))，則稱函數(shù)f(*)在D上單調(diào)上升(或單調(diào)下降)。若上述不等號為嚴(yán)格不等號“<”(或“>”)，則稱函數(shù)f(*)在D上嚴(yán)格單調(diào)上升(或嚴(yán)格單調(diào)下降)。2、奇偶性：（1）定義：設(shè)函數(shù)y=f(*)的定義域D關(guān)于原點O對稱，若對于D中的任一個*，都有f(–*)=–f(*)(或f(–*)=f(*))，則稱函數(shù)f(*)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))。（2）圖像特點：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y＝0既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)。3、4、常用等價無窮?。寒?dāng)*0時，有e*－1～*ln(1＋*)～*(1＋*)n－1～n*引申：當(dāng)(*)0時，ln(1＋(*))～eα(*)－1～(*)，(1＋(*))n－1～n·(*)5、當(dāng)*+時，增長速度由慢到快排列：ln*，*α，α*，**6、7、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最值定理一個閉區(qū)間函數(shù)一定在*一點，達(dá)到最大值，在*一點達(dá)到最小值。（2）零值定理設(shè)f(*)∈C([a,b])，且f(a).f(b)<0，。注意：零點定理只能說明存在性不能說明唯一性。應(yīng)用：f(*)=0是一個方程，證明它在*一個區(qū)間上一定有根。二、一元函數(shù)微分學(xué)1、導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義式2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系3、左右導(dǎo)數(shù)4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)點M0(*0,f(*0))是曲線y=f(*)上的上點，則函數(shù)f(*)在*0點處的導(dǎo)數(shù)f’(*0)正好是曲線y=f(*)過M0點的切線的斜率k，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。切線方程，（2）切線平行*軸切線方程：y=f(*0)，法線方程：*=*0(3)切線平行y軸切線方程：*=*0，法線方程：y=f(*0)常見函數(shù)求導(dǎo)公式f(*)C*a*e*loga|*|ln|*|f’(*)0*-1－a*lnae*6、7、高階導(dǎo)數(shù)（掌握二階導(dǎo)數(shù)即可）常見函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f(*)C*a*e*Loga|*|ln|*|f’(*)0*-1a*lnae*f’’(*)0(-1)*-2a*(lna)2e*8、可導(dǎo)、可微、連續(xù)與極限的關(guān)系可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)極限連續(xù)極限連續(xù)可導(dǎo)可微可微9、奇偶函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，且f‘(0)=0（2）可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)（3）可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為同周期函數(shù)10、微分公式（*核心*）：11、＝A12、判斷函數(shù)的增減性，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)性定義（2）判別方法：用f’(*)判斷注意：設(shè)f(*)在(a，b)區(qū)間可導(dǎo)則f(*)在(a，b)嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)的充分條件是f’(*)＞0(f’(*)＜0)13、極值點的定義（局部最大或局部最?。?）定義：設(shè)y＝f(*)，若對*(*0－，*0＋)均有f(*)≤f(*0)(f(*)≥f(*0))則稱*0為f(*)的極大值點(極小值點)，f(*0)為極大值(極小值)。（2）判定方法：兩個充分條件第一充分條件：

若f(*)在*0處連續(xù)，在*0的鄰域可導(dǎo)，且當(dāng)*<*0時，f’(*)>0,(f’(*)<0)當(dāng)*>*0時，f’(*)<0,(f’(*)>0)，則稱*0為極大值點(極小值點)。第二充分條件：設(shè)f(*)在*0點的*一領(lǐng)域可導(dǎo)且f’(*0)＝0，f’’(*0)≠0注意：，有可能為極值，也可能不是極值。（3）極值存在的必要條件若*0為f(*)的極值點，且f’(*0)存在，則f’(*0)＝0注：f’(*0)＝0不能推出*0為f(*)的極值點如：y＝*3，在*＝0處必有y’＝014、駐點(穩(wěn)定點)（1）（2）15、函數(shù)的最值及其求解（1）若f(*)在[a，b]上連續(xù)，則f(*)在[a，b]上必有最大值、最小值（2）設(shè)函數(shù)f(*)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)有一個極值點*，則若*是f(*)的極大值點，則*必為f(*)在[a,b]上的最大值點；若*是f(*)的極小值點，則*必為f(*)在[a,b]上的最小值點。（3）求最值的方法（最值是[a,b]整體概念，極值是局部概念）(a)求f(*)在(a,b)所有駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點(b)求出以上各函數(shù)值及區(qū)間[a,b]端點的函數(shù)值(c)比較上述數(shù)值，最大的為最大值，最小的為最小值最大值：M:ma*{f(a)，f(b)，f(*1)，……，f(*0)}最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(*1)，……，f(*0)}其中：*1，……，*0為f(*)所有可能的極值點16、駐點、極值點、最值點的聯(lián)系與區(qū)別駐點邊界17、函數(shù)的切線與法線切線與法線求法18、函數(shù)凹凸性及其判定（1）凹?。╝）定義：如果曲線在其任一點切線之上，稱曲線為凹?。╞）凹弧的切線斜率隨著*的增大而增大，即f’(*)單調(diào)遞增（c）設(shè)f(*)在(a，b)上二階可導(dǎo)，f(*)為凹弧的充要條件為f’’(*)≥0*(a,b)(2)凸?。╝）定義：若曲線在其任一點切線之下，稱曲線為凸?。╞）凸弧的切線斜率隨著*的增大的而減小，即f’(*)單調(diào)遞減（c）設(shè)f(*)在(a,b)二階可導(dǎo)，f(*)為凸弧的充要條件為f’’(*)≤0(3)常見函數(shù)的性質(zhì)f(*)a*(a>1)a*(0<a<1)loga*(a>1)loga*(0<a<1)f’(*)a*lnaa*lnaf’’(*)a*(lna)2a*(lna)2圖像性質(zhì)增，凹減，凹增，凸減，凹19、拐點及其判定（1）定義：曲線上凸弧與凹弧的分界點稱為拐點。二階導(dǎo)數(shù)從大于0到小于0，或從小于0到大于0，中間的過渡點稱為拐點。（2）必要條件：f’’(*)存在且(*0，f(*0))為拐點，則f’’(*0)＝0（3）充分條件：若f’’(*0)＝0，且在*0的兩側(cè)f’’(*)異號，則(*0，f(*0))是拐點三、一元函數(shù)積分學(xué)1、不定積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2、基本初等函數(shù)的不定積分公式（1）（2）（），，（3）（4），（5）（6）（7）4、5、奇偶函數(shù)的積分四、多元函數(shù)1、偏導(dǎo)的定義設(shè)函數(shù)z=f(*,y)定義在P0(*0,y0)點的一個鄰域，若將y固定在y0，作為*的函數(shù)f(*,y0)在*0點處的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(*,y)在P0(*0,y0)點處對*的偏導(dǎo)數(shù)，記作2、一般極值（1）（2）（4）（三）線性代數(shù)部分一、矩陣1、矩陣的乘法一般沒有交換律，即；常見可交換矩陣：逆A-1：AA-1=A-1A=E單位矩陣E：AE=EA=A數(shù)量矩陣kE：A(kE)=(kE)A=kA零陣0：A0=0A=0冪：AmAn=AnAm=Am+n伴隨A*：AA*=A*A=|A|E(重要)2、，當(dāng)且僅當(dāng)A或B可逆時才成立；對于，應(yīng)該認(rèn)識到B的每一列都是齊次方程組A*＝0的解，若，則齊次方程組有非零解；3、，當(dāng)且僅當(dāng)A可逆時，才成立；4、，當(dāng)且僅當(dāng)A可逆時，有A＝E；當(dāng)A－E可逆時，有A＝0；，僅當(dāng)A為對稱矩陣，即時，命題才成立；5、注意數(shù)乘矩陣和數(shù)乘行列式的區(qū)別：。6、列表對比矩陣的逆、轉(zhuǎn)置和伴隨的公式逆轉(zhuǎn)置伴隨一般一般互換性：，，，；即這四種符號（-1，T，*，k）可以進(jìn)行互換，以簡化運(yùn)算。7、重要結(jié)論與公式（2）A與B的行向量相互等價不改變列向量的線性關(guān)系（一般用初等行變換求矩陣的秩）r（A）=r（B）（4）類似|*+y|≤|*|+|y|P(A+B)≤P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)（5）（6）B可逆r（AB）=r（A）B不可逆r（AB）<r（A）r（AB）=r（A）=1A中任意兩行成比例r（A）=1A=Br（A）=r（B）A=0r（A）=0重點掌握以下矩陣可逆性的判斷：設(shè)A為n階矩陣，有以下等價命題r（A）=n（滿秩矩陣）A可逆|A|≠0AT可逆r（A*）=nA*可逆A的n個列（行）向量線性無關(guān)，即A列（行）滿秩A*=0只有零解A*=β有唯一解二、向量組1、線性相關(guān)性基本定義2、常見相關(guān)性歸納（3）包含0向量的任何向量組，線性相關(guān).m>n時，則其線性相關(guān).三、線性方程組（一）關(guān)于方程組解的性質(zhì)（二）含有參數(shù)的線性方程組的求解。1．齊次線性方程組A*＝0解題提示：對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進(jìn)行討論：（1）線性方程組只有零解，即r(A)＝n；（2）線性方程組有非零解，即r(A)<n，并將非零解求出來。2．非齊次線性方程組A*＝β解題提示：對增廣矩陣進(jìn)行初等變換，化成階梯型，然后按兩步進(jìn)行討論：（1）線性方程組無解，即；（1）線性方程組有唯一解，即；（2）線性方程組有無窮多解，即，并將解求出來。3、如果有一組向量，則是否可以由線性表示，可以轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組解的情況，若無解，則不能線性表示；若有唯一解，則能夠唯一線性表示；若有無窮多解，則能夠線性表示，且表示方式不唯一。4、有關(guān)基礎(chǔ)解系的問題解題提示：*一個向量組要是方程組的基礎(chǔ)解系，需要滿足三個條件：（1）該向量組中的每個向量都滿足方程A*＝0；（2）該向量組線性無關(guān)；（3）該向量組中向量的個數(shù)等于n-r(A)；或方程組的任一解向量都可由該向量組線性表示。四、特征值和特征向量（二）性質(zhì)1、2、3、4、5、6、一個特征值可以對應(yīng)多個特征向量，但一個特征向量只能對應(yīng)一個特征值7、（三）歸納列表如下矩陣特征值特征向量KAAmA-1A*f（A）AT無法確定是否相同（四）概率論部分一、隨機(jī)事件部分1.事件間的四種關(guān)系(1)包含AB(2)相等A=B(兩個事件A,B樣本點完全一致)(4)互斥：AB=?2.事件間的三種運(yùn)算(1)和(并)：A+B=AB3.概率運(yùn)算公式(1)若AB，則有P(A)≤P(B)和P(B-A)=P(B)-P(A)(2)P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)-P(A-B)=P(B)4.條件概率，P(A|B)實質(zhì)為事件A的概率5.乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)6.全概公式(3)貝葉斯公式：(逆概)7.事件的獨立性()(1)定義：P(AB)=P(A)P(B)(2)特殊情況：a.?與任何事件相互獨立b.Ω與任何事件相互獨立c.P(A)=0的事件A與任事件相互獨立(4)當(dāng)P(A)P(B)>0時若A與B相互獨立，則A與B必不互斥(獨立不互斥)若A與B互斥，則A與B必不獨立(互斥不獨立)注意：?與任事件即互斥也獨立8.判斷A與B相互獨立的充要條件(1)定義P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B)(P(A)>0)或P(A|B)=P(A)(P(B)>0)，即：B的發(fā)生不受A的影響(3)0<P(A)<1即：A發(fā)生與否不影響B(tài)的概率P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB)P(AB)=P(A)P(B)四組事件中，若其中一組相互獨立，則其余三組也相互獨立，則其余三組也相互獨立(6)求“n個事件至少有一個發(fā)生時”轉(zhuǎn)化為其對立事件“都不發(fā)生”9．獨立試驗序列(1)貝努里：n次試驗中成功k次的概率：(2)直到第k次試驗，A才首次發(fā)生：(3)做n次貝努里試驗，直到第n次，才成功k次：二、隨機(jī)變量部分1、常見隨機(jī)變量的分布表如下：隨機(jī)變量E*D*密度函數(shù)f(*)離散型0–1分布PP(1–P)P{*=k}=Pk(1-P)1-k,k=0,1二項分布nPnP(1–P)連續(xù)型正態(tài)分布u標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布u=02、離散型隨機(jī)變量（1）分布律Pk=P(*=*k)，k=1，2，┅**k*1*2┅*k┅PkP1P2┅Pk┅（2）分布律的性質(zhì)(1)有界性：0≤Pk≤1應(yīng)用：求待定參數(shù)值，注意求完參數(shù)要驗證3、二項分布（1）定義（2）各參數(shù)的意義參數(shù)n：試驗次數(shù)為n次；參數(shù)P：每次試驗成功的概率參數(shù)k：n次試驗中成功k次（3）二項分布產(chǎn)生的背景可以是n重貝努利試驗，若用*表示n重被努力試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則*服從參數(shù)為n,p的二項分布，其中p是一次試驗中事件A發(fā)生的概率。，4、分布函數(shù)F(*)F(*)=P(*≤*)(1)定義：F(*)在*處函數(shù)值表示點*落入?yún)^(qū)間(-，*]上的概率(2)公式：P(*1<*≤*2)=P(*≤*2)-P(*≤*1)=F(*2)-F(*1)(3)分布函數(shù)性質(zhì)：1)值域：0≤F(*)≤12)極限性質(zhì)(**)，應(yīng)用：求參數(shù)值3)單調(diào)性：單調(diào)不減(單調(diào)增)即若*1<*2，有F(*1)≤F(*2)4)F(*)右連續(xù)注意：前四個性質(zhì)，用來判斷函數(shù)是否為分布函數(shù)5)P(*=*)=F(*)-F(*-0)6)對于*1<*2，有P(*1<*≤*2)=F(*2)-F(*1)7)對*1<*2，F(xiàn)(*)在*1，*2處連續(xù)P(*1≤*≤*2)=P(*1<*≤*2)=P(*1<*<*2)=P(*1≤*<*2)=F(*2)-F(*1)5、連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)f(*)的性質(zhì)(1)非負(fù)性：f(*)≥0，即f(*)與*軸所圍面積為1應(yīng)用：求待定參數(shù)值注意：前兩個性質(zhì)用來判斷函數(shù)是否為密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)(3)對于*1<*2有P(*1<*≤*2)=P(*1≤*≤*2)=P(*1≤*<*2)=P(*1<*<*2)6、正態(tài)分布*~N(，2)(1)正態(tài)分布密度函數(shù)(2)f(*)圖像特點密度函數(shù)的曲線關(guān)于*=μ對稱，μ是正態(tài)分布的位置參數(shù)它在*=μ時取到最大值P(μ)=越大，密度函數(shù)的取值越小；σ越小，其值越大，由于密度函數(shù)曲線與*軸之間的面積總是1，所以σ越大表明密度函數(shù)的曲線越矮越胖，而σ越小，密度函數(shù)的曲線越瘦高。*離μ越遠(yuǎn)，P(*)的值越小，表明對于同樣長度的區(qū)間，區(qū)間離μ越遠(yuǎn)，*落在這個區(qū)間上的概率越小。，這一條性質(zhì)非常有用，應(yīng)好好掌握。P(*≤)=P(*≥)期望E*=7、一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化（非常重要）8、密度函數(shù)f(*)為偶函數(shù)的重要結(jié)論(2)F(-a)=1-F(a)-aa-aaF(-a)1-F(a)(3)P(|*|<a)=2F(a)-1(a>0)分析：P(|*|<a)=P(-a<*<a)=F(a)-F(-a)=2F(a)-1(4)P(|*|>a)=1-P(|*|<a)=2(1-F(a))(5)若E*存在，則E*=09、數(shù)學(xué)期望有以下重要性質(zhì)：若C為常數(shù)，則E(C)=C.若*為一個隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則E(