2022-2023學年江蘇省南京市玄武區(qū)九年級上學期數(shù)學10月月考試題及答案

2022-2023學年江蘇省南京市玄武區(qū)九年級上學期數(shù)學10月月考試題及答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.將一元二次方程x（x+1）﹣2x＝0化為一般形式，正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先去括號，再合并同類項，即可答案．【詳解】解：x（x+1）-2x=0，，，故選：A．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為（a≠0）．2.若點A在⊙O內(nèi)，點B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，則⊙O的半徑r的取值范圍是（）A.0＜r＜3 B.2＜r＜8 C.3＜r＜5 D.r＞5【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法求解．【詳解】解：∵點A在半徑為r的⊙O內(nèi)，點B在⊙O外，∴OA小于r，OB大于r，∵OA＝3，OB＝5，∴3＜r＜5．故選：C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．3.下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說法有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】利用圓的有關定義及性質(zhì)分別進行判斷后即可確定正確的選項．【詳解】①直徑是弦，正確，符合題意；②弦不一定是直徑，錯誤，不符合題意；③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；④能夠完全重合的兩條弧是等弧，原命題錯誤，不符合題意；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意；正確有3個，故選：C．【點睛】本題考查了圓的認識及圓的有關定義，解題的關鍵是了解圓的有關概念，難度不大．4.關于一元二次方程的根的情況，下列判斷正確的是（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法判斷【答案】C【解析】【分析】判斷方程的根的情況，根據(jù)一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac的值的符號即可得到結論．【詳解】解：∵Δ=b2-4ac=＜0，∴方程總沒有實數(shù)根．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．5.如圖，在扇形中，，將扇形沿過點的直線折疊，點恰好落在上的點處，折痕交于點，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先證明△ODB是等邊三角形，得到∠DOB＝60°，根據(jù)∠AOD＝∠AOB－∠DOB即可解決問題.【詳解】連結OD，如圖.∵扇形沿過點的直線折疊，點恰好落在上的D處，折痕交于點，∴BC垂直平分OD，∴BD＝BO，∴OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠DOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOB－∠DOB＝110°－60°＝50°.故選B.【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)以及半徑，想辦法證明△OBD是等邊三角形是解決本題的關鍵.6.如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），連接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于點E．若∠ECA＝40°，則下列結論錯誤的是（）A.∠ABC=70° B.∠BAD=80° C.CE=CD D.CE=AE【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAB＝40°，進而利用圓的概念及等腰三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】A.∵直線l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC＝＝70°，故A正確，不符合題意；B.∵以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正確，不符合題意；C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，∴∠CAD＝40°，∴∠BAD＝∠CED＝80°，∵∠CDA＝∠ABC＝70°，∴CE≠CD，故C錯誤，符合題意；D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴∠ECA=∠DAC，∴CE＝AE，故D正確，不符合題意．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及圓心角、弧、弦的關系，關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAB＝40°．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7.一元二次方程的根是______________．【答案】x1＝0，x2＝-1【解析】【分析】先移項得到x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．詳解】解：，x（x+1）＝0，x＝0或x+1＝0，所以x1＝0，x2＝-1．故答案為：x1＝0，x2＝-1．【點睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了．8.把方程化成的形式，則的值是__________．【答案】5【解析】【分析】方程配方得到結果，確定出與的值，即可求出的值．【詳解】解：方程整理得：，配方得：，即，，，則．故答案為：5．【點睛】此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．9.⊙O中的弦AB長等于半徑長，則弦AB所對的圓周角是________．【答案】30°或150°【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)“⊙O中的弦AB長等于半徑長”得到等邊三角形，則弦所對的圓心角為60度，要求這條弦所對的圓周角分兩種情況：圓周角的頂點在弦所對的劣弧或優(yōu)弧上，利用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出兩種類型的圓周角．【詳解】解：如圖，AB為⊙O的弦，且AB=OA=BO，∴△ABO為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠P=∠AOB=30°，∴∠P′=180°﹣∠P=180°﹣30°=150°．∠P、∠P′都是弦AB所對的圓周角．所以圓的弦長等于半徑，則這條弦所對的圓周角是30°或150°．故答案為：30°或150°．【點睛】此題主要考查圓周角定理，解題的關鍵是根據(jù)題意作輔助線進行求解．10.若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．【答案】且【解析】【分析】通過一元二次方程的定義可得，根據(jù)關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，可知該方程根的判別式大于等于0，求解即可．【詳解】解：關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，，且，解得且．故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式．滿足一元二次方的條件之一便是二次項系數(shù)不為0；當根的判別式大于等于0時，一元二次方程有實數(shù)根，當根的判別式小于0時，一元二次方程沒有實數(shù)根．熟練掌握根的判別式的意義以及一元二次方程的定義是解題的關鍵．11.如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠A=80°，∠C=60°，則∠B的大小為_______．【答案】140°【解析】【分析】連接OB，可得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，進而即可求解．【詳解】連接OB，∵OA=OB=OC，∴∠A=∠ABO=80°，∠C=∠CBO=60°，∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=140°，故答案是：140°．【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓的性質(zhì)，是解題的關鍵．12.設m，n分別為一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，則m2﹣3m﹣n＝_____．【答案】2020．【解析】【分析】先由方程的解的概念和根與系數(shù)的關系得出m+n=2，m2﹣2m=2022，將其代入原式=m2﹣2m﹣m﹣n=m2﹣2m﹣（m+n）計算可得．【詳解】∵m，n分別為一元二次方程x2﹣2x﹣2022=0的兩個實數(shù)根，∴m+n=2，m2﹣2m=2022，則原式=m2﹣2m﹣m﹣n=m2﹣2m﹣（m+n）=2022﹣2=2020．故答案為：2020．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系和方程的解，解題的關鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2．13.三角形兩邊的長分別是2和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形的周長為___．【答案】10【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根據(jù)三角形三邊的關系得到三角形第三邊長為6，然后計算此三角形的周長．【詳解】解：，，所以，，而，所以三角形第三邊長為4，所以此三角形周長為．故答案為10．【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法、三角形三邊的關系，解題的關鍵是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．14.的直徑，AB是的弦，，垂足為M，，則AC的長為______．【答案】或【解析】【分析】分①點在線段上，②點在線段上兩種情況，連接，先利用勾股定理求出的長，再在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：①如圖，當點在線段上時，連接，的直徑，，，，，，；②如圖，當點在線段上時，連接，同理可得：，，；綜上，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理、圓，正確分兩種情況討論是解題關鍵．15.如圖：AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于E點，已知AB=2DE，∠E=16°，則∠AOC的大小是________°．【答案】48【解析】【詳解】如圖：連接OD，∵AB為⊙O的直徑，AB=2DE，∴OD=DE，∴∠E=∠EOD=16°，∴在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=32°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=32°，∴在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=16°+32°=48°．故答案為4816.如圖，已知P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，線段PQ的中點為M，連接OP，OM，若⊙O的半徑為2，OP＝4，則線段OM的最小值是__________．【答案】1【解析】【分析】連接OQ、MN，證MN是△POQ的中位線，確定點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，點M落在ON上時，OM最小，此時OM=ON-NM=1，即OM最小=1．【詳解】如圖，連接OQ、MN，∵OP=4，ON=2，∴點N是OP的中點，又∵M是PQ的中點，∴MN是△POQ的中位線，∴MN=OQ=1，∴點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，∴當點M落在ON上時，OM最小，此時OM=ON-NM=1，即OM最小=1．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，三角形的中位線定理，確定點M在以N為圓心1為半徑的圓上是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），（2），（3），（4），【解析】【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可；（3）先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可；（4）整理為一般式，再利用公式法求解即可．【小問1詳解】解：，移項，得：，開平方，得：，，；【小問2詳解】解：，因式分解，得：，于是得：或，，；【小問3詳解】解：移項，得：，提公因式，得：，于是得：或，，；【小問4詳解】解：整理，得：，，，，∴，方程有兩個不等的實數(shù)根，，即，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程特點選擇合適、簡便的方法是解本題的關鍵．18.已知關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若已知方程的一個根為﹣2，求方程的另一個根以及m的值．【答案】（1）見解析；（2）方程的另一根為，m的值為【解析】【分析】（1）由△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；（2）設方程的另外一根為a，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，解之即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝m2+6m+9﹣4m﹣4＝m2+2m+1+4＝（m+1）2+4＞0，∴無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的另外一根為a，根據(jù)題意，得：，解得：，所以方程的另一根為，m的值為．【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式與一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握以上知識解決一元二次方程根的問題是解題的關鍵．19.如圖，⊙中，弦與相交于點,,連接.求證：⑴；⑵.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由AB=CD知，即，據(jù)此可得答案；（2）由知AD=BC，結合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可證△ADE≌△CBE，從而得出答案．【詳解】證明（1）∵AB=CD，∴，即，∴；（2）∵，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．【點睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關系，圓心角、弧、弦三者的關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．20.如圖，要設計一幅寬20cm，長40cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為1:2.如果要使得彩條之外的面積為512cm2，求設計橫彩條的寬度【答案】設計橫彩條的寬度為．【解析】【分析】設橫彩條寬度為，則豎彩條的寬度為，則彩條之外的圖形面積可等于以長為，寬為的矩形的面積，列出等量關系式求解即可．【詳解】設橫彩條寬度為，則豎彩條的寬度為，根據(jù)題意得：，化簡得：，，解得：（不合題意，舍去），，答：設計橫彩條的寬度為．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，利用面積關系列等式是解決問題的關鍵．21.某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費2500萬元，2015年投入教育經(jīng)費3025萬元.（1）求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率；（2）根據(jù)（1）所得的年平均增長率，預計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費多少萬元.【答案】10%；3327.5萬元【解析】【分析】（1）一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），2014年要投入教育經(jīng)費是2500（1+x）萬元，在2014年的基礎上再增長x，就是2015年的教育經(jīng)費數(shù)額，即可列出方程求解．（2）利用2015年的經(jīng)費×（1+增長率）即可．【詳解】解：（1）設增長率為x，根據(jù)題意2014年為2500（1+x）萬元，2015年為．則，解得（不合題意舍去）．答：這兩年投入教育經(jīng)費的平均增長率為10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（萬元）．故根據(jù)（1）所得的年平均增長率，預計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費3327.5萬元．22.如圖，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求證：【答案】見解析【解析】【分析】作半徑OE⊥AB交圓于E點，利用垂徑定理得到相等的弧，兩邊相減即可得證．【詳解】證明：作半徑OE⊥AB交圓于E點．∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴，∴即：．【點睛】本題考查了垂徑定理的知識，解題的關鍵是正確地作出垂直于弦的半徑．23.已知．（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若在中，，，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先作的垂直平分線，再作的垂直平分線，二者交于O點，連接，以O為圓心、為半徑畫圓，問題得解；（2）連接交于D點，根據(jù)是等腰的外接圓，可得，，則利用勾股定理可得，在中，，根據(jù)勾股定理得：，問題即可得解．【小問1詳解】作圖如下，即為所求；【小問2詳解】連接交于D點，如圖，∵，∴是等腰三角形，又∵是的外接圓，∴在等腰中，有，，∵，，∴，∴，在中，，根據(jù)勾股定理得：，∴，∴．∴的半徑為．【點睛】本題考查了復雜作圖---作三角形的外接圓以及勾股定理等知識，掌握三角形的外接圓的作法是解答本題的關鍵．24.商場銷售一批襯衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元．為了擴大銷售，增加盈利，商場采取降價措施．假設在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1800元，那么這種襯衫每件的價格應降價多少元？【答案】當這種襯衫每件的價格降價15元時，商店每天獲利1800元．【解析】【分析】設襯衫的單價降了x元．根據(jù)題意等量關系：每件利潤×降價后的銷量=1800，根據(jù)等量關系列出方程即可．【詳解】設這種襯衫的單價降了x元，根據(jù)題意得：，整理得：，，解得：．答：當這種襯衫每件的價格降價15元時，商店每天獲利1800元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程．25.閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：（1）直接應用：方程解為；（2）間接應用：已知實數(shù)，滿足：，且，求的值．【答案】（1）x1，x2，x3，x4；（2）．【解析】【分析】（1）利用換元法解方程，設y＝x2，則原方程可化為y2﹣5y+6＝0，解關于y的方程得到y(tǒng)1＝2，y2＝3，則x2＝2或x2＝3，然后分別解兩個元二次方程即可；（2）根據(jù)已知條件，把a2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的兩不相等的實數(shù)根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系求解．【小問1詳解】解：，設，則原方程可化為，解得，，當時，，解得，，當時，，解得，，所以原方程的解為，，，．故答案為：，，，；【小問2詳解】解：實數(shù)，滿足：，且，、可看作方程的兩不相等的實數(shù)根，，；∴；故答案為：．【點睛】本題主要考查了用“換元法”把高次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，韋達定理，完全平方公式，其中轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關鍵．26.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.點M從A點出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向B點運動；同時點N從B點出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C點運動.當其中一點到達終點時，另一點也停止運動.設點M、N的運動時間為t秒.（1）當t為何值時，MN＝cm？（2）當t為何值時，MN的長度最短，最短長度是多少？（3）當t為何值時，△DMN為等腰三角形．【答案】（1）t＝1s或s；（2）t＝s；（3）t＝(8－)s或t＝(－18)s【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得到AM＝tcm，BM＝（6－t）cm，N＝2tcm，NC＝(12－2t)cm，在Rt△MBN中，根據(jù)勾股定理計算即可；（2）根據(jù)勾股定理和要使MN的長度最短，只需要MN2的值最小值計算即可；（3）若△