高二第一節(jié)空間向量及其運算講義（原卷版）

空間向量及其運算一、空間向量的概念及線性運算考點梳理：（1）定義：在空間，既有大小又有方向的量叫做空間向量．（2）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段來表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.（3）特殊向量：名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相同而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量（4）線性運算：空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.感悟與升華：（1）空間向量的表示以及零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量等概念與平面向量的表示以及相應(yīng)概念是相同的：（2）空間向量的線性運算方法與平面向量的相應(yīng)運算方法相同，只是從平面內(nèi)的運算即二維空間擴(kuò)展到了三維空間進(jìn)行運算.例題分析例1、（1）（2022·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小C．如果a=0，則D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同（2）關(guān)于空間向量的命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等，方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則．其中所有假命題的序號是．點睛：相等向量的模相等，方向相同；共線向量方向相同或相反；相反向量的模相等，方向相反．例2、（1）（2022·東莞·高二期末）如圖，在平行六面體中，（

）A.AC1 B． C． D．（2）（2022·廣東惠州·高二期末）如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．（3）（2022·深圳市羅湖外語學(xué)校高二期末）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（

）A． B．C． D．例3、（1）（2022·廣東佛山·高二期末）在四面體中，點G是的重心，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．（2）（2022·廣東深圳·高二期末）如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．（3）（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高二期末）如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（

）B．D．（4）（2023春·江蘇淮安·淮陰中學(xué)高二聯(lián)考）四面體中，，是的中點，是的中點，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．例4、（2022春·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點P在A．34 B．1 C．54 二、共線向量定理、共面向量定理及其應(yīng)用考點梳理1、共線向量定理：對于空間任意兩個向量（），的充要條件是存在實數(shù)，使．2、共面向量定理：如果兩個空間任向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（），使．推論：（1）已知是空間任意一點,則點三點共線的充要條件是：；（2）已知是空間任意一點,若三點共線，則存在實數(shù)滿足，使得；（3）已知空間任意一點和不共線的三點,則點位于平面內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)使得；（4）已知空間任意一點和不共線的三點,則點位于平面內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)滿足，使得.說明：（1）共線向量定理的作用：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點共線；

=3\*GB3③求參數(shù).（2）共面向量定理的作用：①證明四點共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。=3\*GB3③求參數(shù).例題分析例5、若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．P∈線段AB D．以上都不對例6、（2022·高二單元測試）對于空間任意一點O，以下條件可以判定點P?A?B共線的是（填序號）.①；②；③；④.例7、（2022·河南·范縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選題）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有B．“”是“、共線”的充要條件C．若、共線，則與所在直線平行D．對于空間任意一點O以及不共線的三點A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面．★綜合運用能力提高例8、（2023秋·湖北·赤壁一中高二聯(lián)考）在四面體中（如圖），平面平面，是等邊三角形，，，M為的中點，N在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則∥平面 B．若，則C．當(dāng)最小時，