抽屜原理及其應(yīng)用-數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計-畢業(yè)論文

3.2離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用………………53.3高等代數(shù)中的應(yīng)用………………83.4抽象代數(shù)中的應(yīng)用………………94.抽屜原理在生活中的應(yīng)用…………105.抽屜原理的推廣定理－Ramsey定理………………126.參考文獻……………16PAGE27抽屜原理及其應(yīng)用XXX摘要：本文簡述了抽屜原理普遍使用的簡單形式、各種推廣形式，著重闡述其在數(shù)論和離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)及抽象代數(shù)中的應(yīng)用,及在生活中的應(yīng)用，可以巧妙地解決一些復(fù)雜問題，并根據(jù)抽屜原理的不足之處引入抽屜原理的推廣定理Ramsey定理.關(guān)鍵詞：抽屜原理；數(shù)論；離散數(shù)學(xué)；高等代數(shù)；抽象代數(shù)；Ramsey定理；應(yīng)用DirichletdrawerprincipleandtheapplicationofitXXXAbstract:ThispaperintroducesthewidespreaduseofsimpleformsandallkindsofextendedformsofDirichletdrawerprinciple,focusingontheapplicationofDirichletdrawerprincipleinthenumbertheory,discretemathematics,hightalgebraandabstractalgebra,andalsothereallife.Itcansolveablysomecomplicatedproblems,andaccordingtotheprincipleofdrawertheshortcomingsoftheprincipleofintroducingthedrawertheoremRamseytheorem.Keywords:Dirichletdrawerprinciple;Numbertheory;Discretemathematics;Higheralgebra;Abstractalgebra;Ramseytheorem;Application.1.引言抽屜原理又稱鴿巢原理、鞋箱原理或重疊原理，是一個十分簡單又十分重要的原理.它是由德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet1805-1855)首先發(fā)現(xiàn)的，因此也叫作狄利克雷原理.抽屜原理簡單易懂，主要用于證明某些存在性或必然性的問題，不僅在數(shù)論、組合論以及集合論等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用，在高等數(shù)學(xué)的其它幾門學(xué)科領(lǐng)域中也是解決問題的有效方法.本文總結(jié)了如何運用抽屜原理解決數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)及抽象代數(shù)中的問題，對抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進行了梳理，將抽屜原理的解題思路拓展到高等數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，有助于更好地理解抽屜原理，并舉例闡述了抽屜原理在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，以及根據(jù)抽屜原理的不足引出的Ramsey定理.2.抽屜原理的形式什么是抽屜原理？先舉個簡單的例子說明，就是將3個球放入2個籃子里，無論怎么放，必有一個籃子中至少要放入2個球，這就是抽屜原理.或者假定一群鴿子飛回巢中，如果鴿子的數(shù)目比鴿巢多，那么一定至少有一個鴿籠里有兩只或兩只以上的鴿子，這也是鴿巢原理這一名稱的得來.抽屜原理簡單直觀，很容易理解.而這個看似簡單的原理在高等數(shù)學(xué)中有著很大的用處，對于數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)以及抽象代數(shù)中的一些復(fù)雜問題，可以利用抽屜原理巧妙的解答出來.下面首先從抽屜原理的形式入手，然后再研究它在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.我們最常用的抽屜原理只是抽屜原理的簡單形式，就是將n+1個元素或者更多的元素放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜里放有兩個或兩個以上的元素.除了這種比較普遍的形式外，抽屜原理還經(jīng)許多學(xué)者推廣出其他的形式.陳景林、閻滿富在他們編著的《組合數(shù)學(xué)與圖論》一書中將抽屜原理抽象概括成以下三種形式[1]:原理1.把多于個的元素按任一確定的方式分成個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素.原理2.把個元素任意放到個集合里，則至少有一個集合里至少有個元素，其中原理3.把無窮個元素按任一確定的方式分成有限個集合，則至少有一個集合中仍含無窮個元素.盧開澄在《組合數(shù)學(xué)》（第三版）中將抽屜原理（書中稱為鴿巢原理）又進行了推廣[2].鴿巢原理：設(shè)k和n都是任意正整數(shù)，若至少有kn+1只鴿子分配在n個鴿巢中，則至少存在一個鴿巢中有至少k+1只鴿子.推論1.有m只鴿子和n個鴿巢，則至少有一個鴿巢中有不少于+1只鴿子.推論2.若將n(m-1)+1個球放入n個盒子里，則至少有一個盒子有m個球.推論3.若是n個正整數(shù)，而且，則中至少有一個數(shù)不小于r.另外，抽屜原理還可以用映射的形式來表示，即:設(shè)和是兩個有限集，如果>，那么對從到的任何滿射，至少存在,,使.3.抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以上的幾種形式就是我們解題時常用到的抽屜原理的表示形式，接下來，在了解了抽屜原理的基本形式以及多位學(xué)者所發(fā)展的推廣形式的基礎(chǔ)上，我們通過一些比較典型的實例來說明抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)以及抽象代數(shù)這五個方面的應(yīng)用.3.1數(shù)論問題中的應(yīng)用例1.任意5個整數(shù)中，有其中3個整數(shù)的和為3的倍數(shù).證明將整數(shù)分為形如3k、3k+1及3k+2這3類形式，則我們可以將這3類整數(shù)看作是3個抽屜，將這5個整數(shù)看作元素放入這3個抽屜中.由抽屜原理可知，至少存在2=[]+1個整數(shù)在同一抽屜中，即它們都是形如（3k+m）的整數(shù)，m=0,1或2.如果有3個以上的數(shù)在同一個抽屜中，則取其中的任意三個數(shù)，它們的和是形如3（3k+m）的整數(shù)，即三者的和為3的倍數(shù).如果有2個整數(shù)在同一個抽屜中，則由抽屜原理知，在余下的3個數(shù)中有2個數(shù)在同一個抽屜中，余下的1個數(shù)在另一個抽屜中.在3個抽屜中各取一個數(shù)，這3個數(shù)的形式分別為3k,3k+1,3k+2,則三者的和為3（k+k+k）+3，即為3的倍數(shù).例2.設(shè)有兩組整數(shù)，而且每一組的數(shù)都是小于n（nZ）的互不相同的數(shù)，這兩組數(shù)的數(shù)目個數(shù)≧n，則存在一對分別取自兩組的數(shù)使這兩個數(shù)的和為n.證明設(shè)這兩組數(shù)為{a,a,…,a}、{b,b,…,b}.已知每一組的數(shù)都是小于n（nZ）的互不相同的數(shù).不妨設(shè)a<a<…<a,<<…<.令c=n-a,i=1,2,…,k.則有n-1≧c≧c≧…≧c≧1.n-1≧b≧b≧…≧b≧1.這些未知數(shù)只能在1,2,…,n-1中取值，我們可以將1,2,…,n-1這n個數(shù)看作n個抽屜.考察數(shù)集{b,b,…,b，c，c，…，c}.由于p+q≧n,運用抽屜原理可知,至少有兩個數(shù)在1,2,…,n-1之中的一個抽屜，也就是至少有兩個數(shù)取同一個值，且這兩個數(shù)分別來自{，，…，}、{b，b，…，b}.(此是因為，根據(jù)已知條件，{c，c，…，c}、{b,b,…,b}在各自集合中是互不相同的，假定兩個數(shù)同時取自{，，…，}，也就是在這p個數(shù)當(dāng)中有兩個數(shù)被同時放在同一抽屜里，則這兩個數(shù)相等，而,互不相同，則互不相同，兩者矛盾.)即,.3.2離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例3.設(shè)有3個7位的二進制數(shù)試證存在整數(shù)和,，使得下列之一必然成立解由已知條件，在每一個縱列中，含有三個元素，分別都只由兩種選擇，即0或1，則根據(jù)鴿巢原理，中至少一個必然成立.成立的時候取值的不同可以有=6種情況，而每一橫行共有七個元素再根據(jù)鴿巢原理，必有兩列是相同的.即之一必然成立.例4.三維空間中9個坐標(biāo)為整數(shù)的點，試證在兩兩相連的線段內(nèi)，至少存在一個坐標(biāo)為整數(shù)的內(nèi)點.解三維空間中，任意兩坐標(biāo)為整數(shù)的點，若這兩點相連的線段內(nèi)不存在坐標(biāo)為整數(shù)的內(nèi)點，則對于x,y,z這三個坐標(biāo)軸，這兩點至少在一個坐標(biāo)上的差值正好是1.那么，在這9個坐標(biāo)為整數(shù)的點中，任意取出一點，與這個點的三個坐標(biāo)中，存在的差值正好是1的共有7類，即與x軸差值正好是1，與y軸差值正好是1，與z軸差值正好是1，與x,y軸差值都是1，與x,z軸差值都是1，與y,z軸差值都是1，與x,y,z軸差值都是1.對于剩下的8個點，若存在一點a不滿足這7種情況，那么a點與這個點相連的線段內(nèi)必有一個坐標(biāo)為整數(shù)的內(nèi)點.若剩下的8個點都屬于這7種情況之一，那么，運用鴿巢原理，則至少存在兩個點屬于這7種情況中的同一個情況，那么，這兩點中必存在一個坐標(biāo)為整數(shù)的內(nèi)點.例5.把從1到326的326個整數(shù)任意分為5個部分，試證其中有一部分至少有一個數(shù)是某兩個數(shù)之和，或是另一個數(shù)的兩倍.解（用反證法）假設(shè)存在劃分，中沒有數(shù)是兩個數(shù)之和，即中沒有數(shù)是兩個數(shù)之差.根據(jù)鴿巢原理（推論1）設(shè)1到326中至少有個元素屬于，并設(shè)為，不妨設(shè).若A中存在一個元素是某兩個元素之差，則滿足題目要求.否則，令，令.顯然B中的元素仍然是1到326之間的數(shù)，即.根據(jù)假定B中無一屬于，所以B的元素屬于，，，.同理，設(shè)B中至少存在屬于P2的個元素.設(shè)為,不妨設(shè).則根據(jù)假設(shè)，在C中不存在一個元素是某兩個元素之差.令，令，顯然D中的元素仍然是1到326之間的數(shù),即.易知存在整數(shù),使得.所以，D中的元素不屬于，也不屬于，只能屬于，，.根據(jù)鴿巢原理（推論1），設(shè)至少存在個元素屬于.設(shè)為.令.則根據(jù)假設(shè)，在F中不存在一個元素是某兩個元素之差，令.令,顯然G中的元素不屬于.且對于存在使得.故G中的元素也不屬于和，則G中的元素屬于，.對于G中的5個元素，根據(jù)鴿巢原理，設(shè)至少存在個屬于.設(shè)為.令.令.顯然，T中的元素不屬于，，，，故T的元素屬于.但根據(jù)假定，令，則且u不屬于.同樣，u也不屬于，，，，即存在一個整數(shù)，不屬于，，，，.這與將1至326之間的整數(shù)任意分為5部分的假定相矛盾.因此，其中有一部分至少有一個數(shù)是某兩個數(shù)之和.得證.3.3高等代數(shù)中的應(yīng)用例6.已知齊次線性方程組其中,證明存在不全為零的整數(shù)適合證明令，，則該齊次線性方程組可寫成設(shè)集合S={}D={:XS}映射是一個滿射.顯然=,因為{-1，0，1}，所以對每個XS，它的2n個分量適合≤（i=1,2,,n）因此又根據(jù)抽屜原理.(映射形式設(shè)A和B是兩個有限集，如果>那么對從A到B的任何滿映射f，至少存在,,使f()=f().）S中至少存在兩個不同的元使,即,.令，則即是我們所要求的，是不全為零的整數(shù)，且滿足.例7.設(shè)為階方陣，證明存在1，使秩()=秩()=秩證明因為階方陣的秩只能是這+1個數(shù)之一.,的個數(shù)多于秩的個數(shù)，由抽屜原理可知，存在,滿足1<使秩()=秩(),但秩()秩()…秩(),所以秩()=秩(),利用此式與秩的性質(zhì)得秩()秩()+秩()-秩(),這里的是任意三個可乘矩陣，用數(shù)學(xué)歸納法可證秩()=秩().其中為非負(fù)整數(shù)，故命題的結(jié)論成立.秩()=秩()=秩.3.4抽象代數(shù)中的應(yīng)用例8.證明:有限群中的每個元素的階均有限．證明設(shè)G為n階有限群，任取a∈G，則由抽屜原理可知中必有相等的．不妨設(shè)于是有，從而a的階有限．例9.證明只含有限個理想的非零整環(huán)R必是域.證明根據(jù)魏得邦定理，只需證明R是除環(huán)即可.(設(shè)是環(huán)且，則R是除環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對R中任意元素，方程ax=b或ya=b在中有解)在R中任取元素.考慮易知，都是的理想.但由于整環(huán)R只有有限個理想，根據(jù)抽屜原理.必存在正整數(shù)s與t滿足s<t..從而存在c∈R,使或.即方程ax=b在R中有解.根據(jù)定理,R是除環(huán).由魏得邦定理，原命題得證.4.抽屜原理在實際生活中的應(yīng)用抽屜原理不僅在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛應(yīng)用，在我們的實際生活中，也能處處發(fā)現(xiàn)抽屜原理的影子.如招生錄取、賽程安排、資源分配、職稱評定等等，都不難看到抽屜原理的作用.其實早在中國古代的春秋戰(zhàn)國時期就有了運用抽屜原理的例子，那就是《晏子春秋》中的“二桃殺三士”的典故，將兩個桃子賞賜給三名勇士，在這里可以將桃子看作抽屜，三個人作為元素放進抽屜，則根據(jù)抽屜原理，一定有一個抽屜要放入兩個或兩個以上的元素，回到問題情境中就是一定要有兩個人吃一個桃子，導(dǎo)致這三名勇士最后自相殘殺而亡，這就是著名的“二桃殺三士”.后來宋朝時期費袞在他的《梁谿漫志》中就曾運用抽屜原理來駁斥但是流行的“算命”一說，費袞指出算命是把一個人出生的年、月、日、時作為依據(jù)，把這些作為“抽屜”，則不同的抽屜有12×360×60＝259200個.把所有的人作為“物品”，則進入同一抽屜的人有成千上萬個，因此“生時同者必不為少矣”.既然“八字”相同，“又何貴賤貧富之不同也？這是大基數(shù)的社會現(xiàn)象，常給人感覺世事很奇巧，碰到同生日、同名的人，這也是抽屜原理在生活中的應(yīng)用.而生活中也有常見的抽屜原理的應(yīng)用之處，如“搶凳子”游戲，一群人搶凳子，凳子數(shù)比人少，必然淘汰一些人,又或者是13個人中總有2人是同一個月份出生，52張撲克牌中取出5張總有2張花色相同，在100米長的小路上種101棵小樹，不管怎么種，至少有兩棵樹苗之間的距離不超過1米等等.下面我們再來看幾個例子.例10.有11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有A、B、C、D四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本.試證明必有兩個學(xué)生所借的書的類型相同.

證明若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有A、B、C、D四種；若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有=6種，即AB、AC、AD、BC、BD、CD.共有10種類型.把這10種類型看作10個“抽屜”，把11個學(xué)生看作11個“物品”.那個學(xué)生借了哪種類型的書，就將其放入對應(yīng)的那個抽屜里.根據(jù)抽屜原理，.所以，至少有兩個學(xué)生所借的書類型相同.例11.體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？解首先來看具體的拿球的配組方式，有以下9種：｛足｝，｛排｝，｛籃｝，｛足，足｝，｛排，排｝，｛籃，籃｝，｛足，排｝，｛足，籃｝，｛排，籃｝.把這9種配組方式看作9個抽屜,則根據(jù)抽屜原理，有所以至少有6名同學(xué)所拿的球的種類是完全一樣的.例12.你所在的年級有5個班，每班一支球隊在同一塊場地上進行單循環(huán)賽,共要進行10場比賽.則各隊每兩場比賽中間至少隔多少場才最公平呢？下面是隨便安排的一個賽程:記5支球隊為A,B,C,D,E，在下表左半部分的右上三角的10個空格中,隨手填上1,2,…，10,就得到一個賽程,即第1場A對B,第2場B對C,…,第10場C對E.表的右半部分是各隊每兩場比賽間相隔的場次數(shù),顯然這個賽程對A,E有利,對D則不公平.答案是.證明因，所以分兩種情況討論.1）當(dāng)n=2m為偶數(shù)時，這2m支球隊為0，1，2，…，（2m-1）.順次安排（m+1）場比賽需要2（m+1）支球隊參賽，由抽屜原理，必然有重復(fù)出現(xiàn)的球隊，由單循環(huán)賽知，重復(fù)出現(xiàn)的球隊中一定存在某球隊.其兩場比賽中間相隔的場次數(shù)最多為m-2.2)當(dāng)n=2m+1為奇數(shù)時，這2m+1支球隊為0,1,2,…,2m.順次安排（m+1）場比賽需要2（m+1）支球隊參賽，由抽屜原理，必然有重復(fù)出現(xiàn)的球隊，其兩場比賽中間相隔的場次數(shù)最多為m-1.因此，當(dāng)n支球隊比賽時，若安排的賽程使各隊每兩場比賽中間至少相隔場，則該賽程稱為完美賽程.5.抽屜原理的推廣定理－Ramsey定理曹汝成編著的《組合數(shù)學(xué)》教科書中指出，應(yīng)用抽屜原理雖然可以解決許多涉及存在性的組合問題,但對于一些更加復(fù)雜的有關(guān)存在性的組合問題，抽屜原理顯得無能為力，這時我們就需要運用抽屜原理的推廣定理Ramsey定理來解決問題，下面我們就來探討抽屜原理在應(yīng)用上的不足.Ramsey(1903-1930)是英國數(shù)理邏輯學(xué)家,他把抽屜原理加以推廣，得出廣義抽屜原理，也稱為Ramsey定理.Ramsey定理設(shè)p,q是正整數(shù)，p,q>2,則存在最小正整數(shù)R(p,q),使得當(dāng)n>R(p,q)時，用紅藍(lán)兩色涂的邊，則或存在一個藍(lán)色的,或存在一個紅色的.Ramsey定理（狹義）的內(nèi)容任意六個人中要么至少三個人認(rèn)識，要么至少三個不認(rèn)識.Ramsey定理可以視為抽屜原理的推廣，1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進到中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，當(dāng)年匈牙利全國數(shù)學(xué)競賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個人中，一定可以找到三個互相認(rèn)識的人，或者三個互不認(rèn)識的人.”在1958年6-7月號美國《數(shù)學(xué)月刊》同樣也登載著這樣一個有趣的問題“任何六個人的聚會，總會有3人互相認(rèn)識或3人互相不認(rèn)識.”這就是著名的Ramsey問題.這個問題乍看起來，似乎令人匪夷所思.但如果懂得抽屜原理，要證明這個問題是十分簡單的：我們用A、B、C、D、E、F代表六個人，從中隨便找一個，例如A吧，把其余五個人放到“與A認(rèn)識”和“與A不認(rèn)識”兩個“抽屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有三個人.不妨假定在“與A認(rèn)識”的抽屜里有三個人，他們是B、C、D.如果B、C、D三人互不認(rèn)識，那么我們就找到了三個互不認(rèn)識的人；如果B、C、D三人中有兩個互相認(rèn)識，例如B與C認(rèn)識，那么，A、B、C就是三個互相認(rèn)識的人.不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的.或者我們可以用染色的方法.以6個頂點分別代表6個人，如果兩人相識，則在相應(yīng)的兩點間連一條紅邊，否則在相應(yīng)的兩點間連一藍(lán)邊.命題1.對6個頂點的完全圖任意進行紅、藍(lán)兩邊著色，都存在一個紅色三角形或藍(lán)色三角形.證明如下首先，把這6個人設(shè)為A、B、C、D、E、F六個點.由A點可以引出AB、AC、AD、AE、AF五條線段.設(shè)如果兩個人認(rèn)識，則設(shè)這兩個人組成的線段為紅色；如果兩個人不認(rèn)識，則設(shè)這兩個人組成的線段為藍(lán)色.由抽屜原則可知這五條線段中至少有三條是同色的.不妨設(shè)AB、AC、AD為紅色.若BC或CD為紅色，則結(jié)論顯然成立.若BC和CD均為藍(lán)色，則若BD為紅色，則一定有三個人相互認(rèn)識；若BD為藍(lán)色，則一定有三個人互相不認(rèn)識.上述的Ramsey問題等價于下面的命題1.命題1.對6個頂點的完全圖任意進行紅、藍(lán)兩邊著色，都存在一個紅色三角形或藍(lán)色三角形.命題1運用抽屜原理可以很容易很簡便地對其進行證明.現(xiàn)將命題1推廣成下面的命題2.命題2.對六個頂點的完全圖任意進行紅、藍(lán)兩邊著色，都至少有兩個同色三角形.由于命題2是要證明至少存在兩個同色三角形的問題，而抽屜原理一般只局限在證明至少存在一個或必然存在一個的問題，所以對于上述命題抽屜原理就顯得無能為力，這時需要運用Ramsey定理來解決問題.證明設(shè)是的六個頂點，由上面的命題1可知，對任意進行紅、藍(lán)兩邊著色都有一個同色三角形，不妨設(shè)△是紅色三角形.以下分各種情況來討論(1)若均為藍(lán)邊，如圖1所示，則若之間有一藍(lán)邊，不妨設(shè)為，則三角形△為藍(lán)色三角形；否則，△為紅色三角形.圖1圖2(2)若中有一條紅邊，不妨設(shè)為紅邊，此時若邊中有一條紅邊，不妨設(shè)是紅邊，則△是一紅色三角形，見圖2.以下就均為藍(lán)邊的情況對與相關(guān)聯(lián)的邊的顏色進行討論.(ⅰ)若中有一藍(lán)邊，不妨設(shè)為藍(lán)邊，如圖3，此時，若均為紅邊，則△是紅色三角形；否則，△或△是藍(lán)色三角形.(ⅱ)若均為紅邊，見圖4，此時，若之間有一條紅邊，不妨設(shè)為紅邊，則△為紅色三角形；否則，△為藍(lán)色三角形.圖3圖4由以上對各種情況的討論知，對的任意紅、藍(lán)兩邊著色均有兩個同色三角形.從以上例子可知，抽屜原理在應(yīng)用上確有不足之處，之上只是個特例，至于在別的領(lǐng)域中的不足之處還需我們進一步的探索.抽屜原理的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，涉及到高等數(shù)學(xué)的多個學(xué)科，并且在生活中也有廣泛的應(yīng)用，可以巧妙的用于解決一些復(fù)雜問題，本文主要梳理總結(jié)了它在數(shù)論、離散、高等代數(shù)及抽象代數(shù)中的應(yīng)用，其不足之處也由Ramsey定理進行了補充，使其能夠更好的應(yīng)用與問題解決當(dāng)中.6.參考文獻[1]陳景林,閻滿富.組合數(shù)學(xué)與圖論.北京中國鐵道出版社出版,2000.04[2]盧開澄.組合數(shù)學(xué)（第3版）.北京清華大學(xué)出版社，2002.07[3]濮安山.“高等代數(shù)中抽屜原理的應(yīng)用”.《哈師大自然科學(xué)學(xué)報》，2001.06[4]王向東,周士藩等.高等代數(shù)常用方法[M].1989.11.[5]楊子胥.近世代數(shù).北京.高等教育出版社.2003.12[6]嚴(yán)士健.抽屜原則及其它的一些應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報,1959[7]曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].華東理工大學(xué)出版社,2000.山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）選題審批表學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(章)系別/教研室：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)時間：2011年10月25日課題情況題目名稱抽屜原理及其應(yīng)用課題性質(zhì)A基礎(chǔ)研究B基礎(chǔ)應(yīng)用研究√C應(yīng)用研究教師姓名職稱講師學(xué)位碩士課題來源A.科研B.生產(chǎn)C.教學(xué)D.其它E.學(xué)生自擬√成果類別A.論文√B.設(shè)計主要研究內(nèi)容與研究目標(biāo)本文簡述了抽屜原理普遍使用的簡單形式、各種推廣形式，著重闡述其在數(shù)論和離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)及抽象代數(shù)中的應(yīng)用,及在生活中的應(yīng)用，可以巧妙地解決一些復(fù)雜問題，并根據(jù)抽屜原理的不足之處引入抽屜原理的推廣定理Ramsey定理.以往抽屜原理的相關(guān)文章或集中于中小學(xué)數(shù)學(xué)方面或比較零散片面，本文就本人所學(xué)過的高等數(shù)學(xué)的幾門學(xué)科中抽屜原理的應(yīng)用進行比較全面的梳理總結(jié).生活中的應(yīng)用這一部分本文區(qū)別于其它相關(guān)文章中大量的缺乏實際意義的事例，選取與生活貼近的如賽程安排、資源分配等問題進行闡述，更好地突出抽屜原理在實際生活中的用處.指導(dǎo)教師簽字：年月日選題學(xué)生簽字：年月日系所或教研室審題意見負(fù)責(zé)人簽字:年月日學(xué)院審批意見學(xué)院學(xué)位分委員會主任簽字:年月日山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告論文題目：抽屜原理及其應(yīng)用學(xué)院名稱：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名：學(xué)號：指導(dǎo)教師：2011年11月16日

一、選題的性質(zhì)基礎(chǔ)應(yīng)用研究選題的目的和意義研究抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)、抽象代數(shù)等多個學(xué)科中的運用，對其在高等數(shù)學(xué)各方面的運用進行較為全面的梳理總結(jié)，加深對抽屜原理的理解，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題能夠在抽屜原理的作用下得到靈活巧妙的解決.三、與本課題相關(guān)的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，預(yù)計可能有所創(chuàng)新的方面以往抽屜原理的相關(guān)文章或集中于中小學(xué)數(shù)學(xué)方面或比較零散片面，本文的主要創(chuàng)新點是就本人所學(xué)過的高等數(shù)學(xué)的幾門學(xué)科中抽屜原理的應(yīng)用進行比較全面的梳理總結(jié).生活中的應(yīng)用這一部分本文區(qū)別于其它相關(guān)文章中大量的缺乏實際意義的事例，選取與生活貼近的如賽程安排、資源分配等問題進行闡述，更好地突出抽屜原理在實際生活中的用處.課題研究的可行性分析五、課題研究的策略、方法和步驟六、預(yù)期成果形式描述七、指導(dǎo)教師意見指導(dǎo)教師簽字：年月日八、學(xué)院學(xué)位分委員會意見學(xué)院學(xué)位分委員會主任簽字：年月日山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）教師指導(dǎo)記錄表學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院系別：______________專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文（設(shè)計）題目：抽屜原理及其應(yīng)用學(xué)生姓名學(xué)號指導(dǎo)教師職稱講師計劃完成時間：2012年5月18日指導(dǎo)情況紀(jì)錄（含指導(dǎo)時間、指導(dǎo)內(nèi)容）1、2011年11月20日，指導(dǎo)老師開始指導(dǎo)論文的選題，對選題的角度，選題的高度，所選課題所應(yīng)該涵蓋的范圍及研究內(nèi)容等應(yīng)該注意的問題都作了一個詳盡的解釋，經(jīng)過幾次的交流，最終在老師的指導(dǎo)下將題目敲定，并且對論文的結(jié)構(gòu)框架也有了大體的安排。2、2012年4月16日，在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，依選定的題目開始搜集資料，整理數(shù)據(jù)資料。3、2012年5月5日，在老師的指導(dǎo)下，進行論文的撰寫，并將初稿上交。4、2012年5月7日，老師提出第一次的論文修改意見，內(nèi)容包括：論文格式、標(biāo)點符號、中英文摘要、關(guān)鍵詞、應(yīng)用數(shù)據(jù)、措辭、資料來源等。5、2012年5月16日，論文第二次修改完成以及開題報告指導(dǎo)修改完成。指導(dǎo)教師簽字：學(xué)生簽字：學(xué)院學(xué)位分委員會主任簽字：年月日指導(dǎo)教師意見（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒灧椒?、?shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒炇欠窈侠?，主要觀點或結(jié)果是否正確，有何獨到的見解或新的方法，基礎(chǔ)理論、專業(yè)知識的掌握程度及寫作水平等，并就該論文是否達(dá)到本科畢業(yè)論文水平做出評價）成績：指導(dǎo)教師（簽名）：年月日注：成績按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級分制計.評閱人意見（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒灧椒ā?shù)據(jù)處理等方面的能力，論證或?qū)嶒炇欠窈侠?，主要觀點或結(jié)果是否正確，有何獨到的見解或新的方法，基礎(chǔ)理論、專業(yè)知識的掌握程度及寫作水平等，并就該論文是否達(dá)到本科畢業(yè)論文水平做出評價）成績：評閱人（簽名）：年月日注：成績按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級分制計.答辯委員會意見（應(yīng)根據(jù)論文內(nèi)容和答辯情況，并參考指導(dǎo)教師意見、評閱人意見對論文的綜合水平做出具體評價）成績：答辯委員會主任（簽名）：年月日學(xué)院學(xué)位分委員會意見成績：學(xué)位分委員會主任（簽名）：（公章）年月日注：成績按優(yōu)、良、中、合格、不合格五級分制計.山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）摘要學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)班級：數(shù)（2）班姓名學(xué)號指導(dǎo)教師論文（設(shè)計）題目抽屜原理及其應(yīng)用關(guān)鍵詞抽屜原理；數(shù)論；離散；高等代數(shù)；抽象代數(shù)；Ramsey定理；應(yīng)用論文（設(shè)計）字?jǐn)?shù)12750內(nèi)容摘要：本文簡述了抽屜原理普遍使用的簡單形式、各種推廣形式，著重闡述其在數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)及抽象代數(shù)中的應(yīng)用,及其在生活中的應(yīng)用，通過抽屜原理可以巧妙地解決一些復(fù)雜問題，并根據(jù)抽屜原理的不足之處引入抽屜原理的推廣定理Ramsey定理.一、抽屜原理的形式二、抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用三、抽屜原理在生活中的應(yīng)用四、抽屜原理的推廣定理－Ramsey定理成績學(xué)院負(fù)責(zé)人（簽名）2012年5月20日山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計）摘要學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)班級：數(shù)（2）班姓名學(xué)號指導(dǎo)教師論文（設(shè)計）題目抽屜原理及其應(yīng)用關(guān)鍵詞抽屜原理；數(shù)論；離散；高等代數(shù)；抽象代數(shù)；Ramsey定理；應(yīng)用論文（設(shè)計）字?jǐn)?shù)12750內(nèi)容摘要：本文簡述了抽屜原理普遍使用的簡單形式、各種推廣形式，著重闡述其在數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、高等代數(shù)及抽象代數(shù)中的應(yīng)用,及其在生活中的應(yīng)用，通過抽屜原理可以巧妙地解決一些復(fù)雜問題，并根據(jù)抽屜原理的不足之處引入抽屜原理的推廣定理Ramsey定理.一、抽屜原理的形式二、抽屜原理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用三、抽屜原理在生活中的應(yīng)用四、抽屜原理的推廣定理－Ramsey定理成績學(xué)院負(fù)責(zé)人（簽名）2012年5月20日基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計與研究基于單片機的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內(nèi)壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現(xiàn)一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設(shè)計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內(nèi)核設(shè)計及其應(yīng)用研究基于單片機的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設(shè)計和應(yīng)用基于單片機的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設(shè)計Pico專用單片機核的可測性設(shè)計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構(gòu)建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現(xiàn)基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機應(yīng)用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設(shè)計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M