2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第五講指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 課件（44張）

第五講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課標(biāo)要求考情分析1.通過對有理數(shù)指數(shù)冪a(a>0，且a≠1；m，n為整數(shù)，且n>0)、實數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1；x∈R)含義的認(rèn)識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點1.本講直接考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；以指數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)與方程、不等式等交匯問題.2.題型一般為選擇、填空題，若題型為解答題，則題目中等偏難

1.根式

(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.有理數(shù)指數(shù)冪3.指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是底數(shù).[注意]形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù).底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域為R，值域為(0，＋∞)圖象過定點(0，1)4.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)注意指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān)，應(yīng)分a>1與0<a<1來研究(續(xù)表)【名師點睛】考點一指數(shù)冪的運算

1.(一題兩空)(2022年蘇州市高三質(zhì)檢)設(shè)α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的兩個根，則2α·2β＝________，(2α)β＝________.【題后反思】指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算.(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答.

考點二指數(shù)函數(shù)的圖象[例1](1)(多選題)若函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則下列選項中正確的有()A.a>1C.b>0

B.0<a<1D.b<0

解析：因為函數(shù)y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，所以其大致圖象如圖2-5-1所示.由圖象可知函數(shù)為增函數(shù)，所以a>1，當(dāng)x＝0時，y＝1＋b－1＝b<0，故選AD.圖2-5-1答案：AD(2)若函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為________.解析：作出曲線y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b如圖2-5-2所示.由圖象可得b的取值范圍是(0，1).圖2-5-2答案：(0，1)【題后反思】

(1)對于指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到指數(shù)型函數(shù)的圖象.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分類討論. (2)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合進行求解.【變式訓(xùn)練】(1.(2021年河北武邑中學(xué)調(diào)研)函數(shù)y＝e－|x-1|的大致圖象是 )ABCDe－x+1單調(diào)遞減，排除選項A.故選B.解析：當(dāng)x＝1時，y＝1，排除選項C，D.當(dāng)x＞1時，y＝答案：B

2.函數(shù)y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________.答案：(0，1)考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

考向1利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

通性通法：比較指數(shù)式的大小時，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(0，＋∞)上單調(diào)遞增，得a<c.由y＝2x

在R上單調(diào)遞增，得b<a，故b<a<c.故選A.

答案：A

f(b)，f(c)的大小關(guān)系為( ) A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a) C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(c)<f(a)答案：B考向2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

通性通法：求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的問題時，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.[例3](1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________.答案：(－∞，4](2)函數(shù)f(x)＝4x－2x+1的單調(diào)增區(qū)間是________.

解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，設(shè)t＝2x，其在R上單調(diào)遞增，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)考向3函數(shù)的最值問題

通性通法：對可化為a2x＋b·ax＋c＝0形式的方程或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的不等式，常借助換元法解題，但應(yīng)注意換元后“新元”的取值范圍.

[例4]設(shè)函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為________.【考法全練】1.(考向1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(

)A.a＞b＞cC.c＞a＞bB.a＞c＞bD.b＞c＞a

解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝0.4x

在R上單調(diào)遞減，可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b，所以a＞b＞c.故選A.

答案：A

3.(考向2)(2022年無錫市校級期末)已知函數(shù)

f(x)＝且f(x)為奇函數(shù). (1)求a的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明；

(3)解不等式：f(2x－1)＋f(x－2)＞0.(1)解：∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且定義域為R，∴f(0)＝0，(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且f(x)為奇函數(shù)，∴f(2x－1)＞f(－x＋2)，∵函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1，∴不等式的解集為(1，＋∞).⊙指數(shù)運算的實際應(yīng)用

[例5]實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，“鵲橋”沿著圍繞地月拉格朗日L2

點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2

點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定答案：D

【反思感悟】高考題只是把物理競賽題中個別背景與條件進行變更，難度相似.與傳統(tǒng)的解方程問題相比，本題以學(xué)生熟悉的“嫦娥四號”為背景，看起來是物理問題，實則考查數(shù)學(xué)中的解方程、求近似值的內(nèi)容.讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)和物理不分家，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，空間想象能力，以及運算求解能力，很好地考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

【高分訓(xùn)練】

(2022年?？谑心M)在核酸檢測時，為了讓標(biāo)本中DNA的數(shù)量達(dá)到核酸探針能檢測到的閾值，通常采用PCR技術(shù)對DNA進行快速復(fù)制擴增數(shù)量.在此過程中，DNA的數(shù)量Xn(單位：μg/μL)與PCR擴增次數(shù)n滿足Xn＝X0×1.6n，其中X0為DNA的初始數(shù)量.已知某待測標(biāo)本中DNA的初始數(shù)量為0.1μg/μL，核酸探針能檢測到的