數(shù)學(xué)物理方法第7章

第二篇數(shù)學(xué)物理方程1MathematicalEquationsforPhysics想要探索自然界的奧秘就得解微分方程——牛頓第七章數(shù)學(xué)物理方程定解問題7.2定解條件7.3數(shù)學(xué)物理方程的分類§7.1三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出7.4達(dá)朗貝爾公式、定解問題數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程:（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．?dāng)?shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程:物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示

物理規(guī)律物理量u

在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個(gè)地點(diǎn)和各個(gè)時(shí)刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯數(shù)理方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無(wú)關(guān)。------泛定方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程擴(kuò)散方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程定解條件：邊界條件、初始條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件邊界問題---邊界條件歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個(gè)物體做豎直上拋，一個(gè)物體斜拋。不同的初始條件→不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個(gè)性。7定解問題的完整提法：

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。---------數(shù)學(xué)物理定解問題，簡(jiǎn)稱定解問題具體的問題的求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須用的3、求解方法——

行波法、分離變量法、等分離變量法三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法梯度矢量令數(shù)學(xué)補(bǔ)充有時(shí)記記7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟：1、明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。2、研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？3、按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。（一）均勻弦微小橫振動(dòng)方程弦的橫振動(dòng)

設(shè)：均勻柔軟的細(xì)弦沿x軸繃緊，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動(dòng)u(x,t):

坐標(biāo)為x

的點(diǎn)在t時(shí)刻沿垂線方向的位移求：細(xì)弦上各點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律12波動(dòng)方程的導(dǎo)出

選取不包括端點(diǎn)的一微元(x,x+dx),弦長(zhǎng)dx

研究對(duì)象:(4)設(shè)單位長(zhǎng)度上弦受力，力密度為：簡(jiǎn)化假設(shè)：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角

1和

2

很小，僅考慮

1和

2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略。質(zhì)量線密度

，u(x)u+

uu0

1xx+dxF弦的原長(zhǎng)：振動(dòng)拉伸后：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+dxBF弦長(zhǎng)dx

，質(zhì)量線密度

，B段的質(zhì)量為m=

dx沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向受力分析和牛頓運(yùn)動(dòng)定律：15在微小振動(dòng)近似下：由（1）式，弦中各點(diǎn)的張力相等u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF（1）（2）波動(dòng)方程：振動(dòng)在弦上傳播的速度極：波速a受迫振動(dòng)方程單位質(zhì)量所受外力，力密度令牛頓運(yùn)動(dòng)定律：………一維波動(dòng)方程二、均勻桿的縱振動(dòng)將細(xì)桿分成許多段t時(shí)刻，B段兩端的位移為t時(shí)刻，B段伸長(zhǎng)相對(duì)伸長(zhǎng)事實(shí)上，相對(duì)伸長(zhǎng)是位置的函數(shù)，如相對(duì)伸長(zhǎng)由虎克定律，B兩端的張應(yīng)力（單位橫截面的力）分別為B段運(yùn)動(dòng)方程為B段運(yùn)動(dòng)方程為記擴(kuò)散方程

擴(kuò)散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度

u(x,y,z,t)

不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴(kuò)散。擴(kuò)散的起源：濃度不均勻，不均勻程度用濃度梯來表示：擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱用擴(kuò)散流強(qiáng)度來表示：擴(kuò)散流強(qiáng)度

，即單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量，與濃度u(單位體積內(nèi)的粒子數(shù)）的下降成正比

D為擴(kuò)散系數(shù)

負(fù)號(hào)表擴(kuò)散方向與濃度梯度相反

x方向左表面，dt時(shí)間流入六面體的流量為流出六面體的流量為凈流入量：y方向凈流入量為z方向凈流入量為立方體凈流入量為如立方體內(nèi)無(wú)源和匯dt時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為D=恒量，

令a2=D

一維擴(kuò)散方程三維擴(kuò)散方程26如果研究空間存在源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)無(wú)關(guān)，且為F(x,y,z)，即單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為F(x,y,z),這時(shí)擴(kuò)散方程修改為如果研究空間存在源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=bu(x,y,z)這時(shí)擴(kuò)散方程修改為熱傳導(dǎo)方程由于溫度的不均勻，熱量總是從溫度高的地方向溫度低的地方傳遞。-----熱傳導(dǎo)研究對(duì)象：溫度在空間的分布和在時(shí)間中的變化u(x,y,z,t)溫度的不均勻程度：溫度梯度表示熱傳導(dǎo)的強(qiáng)弱：熱流強(qiáng)度來表示。3‘、熱傳導(dǎo)方程設(shè)有一根恒截面為A的均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)有溫度差，其側(cè)面絕熱u(x,t)為x處t時(shí)刻溫度，為桿密度xxx+x

（1）、dt時(shí)間內(nèi)引起小段

x溫度升高所需熱量為xxx+xnn

x方向左表面，dt時(shí)間流入圓柱體的熱量為dt時(shí)間流出圓柱體的熱量為xxx+xdt時(shí)間凈流入的熱量為泊松方程或拉普拉斯方程（穩(wěn)定場(chǎng)方程）靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程

直角坐標(biāo)系中泊松方程為

若空間無(wú)電荷，即電荷密度，上式成為稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.電勢(shì)V(x,y,z)確定所要研究的物理量：根據(jù)由物理規(guī)律電場(chǎng)、電勢(shì)和電荷密度間有如下規(guī)律：建立泛定方程：泊松方程7.2定解條件常微分方程定解問題回顧

常微分方程求解就是積分。積分過程會(huì)出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。

利用在自變量取一個(gè)特定值時(shí)的值，如初值u(t=0)確定積分常數(shù)。積分一次，出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。數(shù)學(xué)物理方程的定解問題要求給定：初始條件和邊界條件32初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件A、波動(dòng)方程的初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度（一）初始條件和

是空間坐標(biāo)的函數(shù)例：注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是一點(diǎn)處的情況。一根長(zhǎng)為l的弦，兩端固定于0和l。在中點(diǎn)位置將弦沿著橫向拉開距離h

，如圖所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫出初始條件。

l

x

l/2h解：初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移（二）邊界條件定義：系統(tǒng)的物理量始終在邊界上具有的情況。A.第一類邊界條件直接給出系統(tǒng)邊界上物理量的函數(shù)形式。如：兩端固定的弦振動(dòng)和常見的線性邊界條件分為三類：細(xì)桿熱傳導(dǎo)或隨時(shí)間變化的溫度恒溫B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：細(xì)桿的縱振動(dòng)：當(dāng)端點(diǎn)“自由”，即無(wú)應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對(duì)伸長(zhǎng)也為零：細(xì)桿熱傳導(dǎo)：端點(diǎn)絕熱，熱流強(qiáng)度為零，由熱傳導(dǎo)定律：C.第三類邊界條件細(xì)桿熱傳導(dǎo)：端點(diǎn)“自由”冷卻(熱流正比于溫差)。牛頓冷卻定律：T

為環(huán)境溫度。根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，在

x=l

處：負(fù)x方向正x方向在x=0處細(xì)桿縱振動(dòng)：端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點(diǎn)一般表達(dá)式：這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。（三）銜接條件

系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)(躍變點(diǎn))。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在

x=0

處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。38例橫向力作用于點(diǎn)