ch02連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析

第2章連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析信號(hào)與系統(tǒng)（第4版）工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材01典時(shí)域分析方法PARTONE系統(tǒng)的微分方程研究系統(tǒng)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程。建立電路系統(tǒng)微分方程的依據(jù)是電路的兩種約束:拓?fù)浼s束（KCL，KVL）與元件約束（元件的時(shí)域伏安關(guān)系）。微分方程的求解按照線性常系數(shù)微分方程理論，式(2-1)的微分方程的解由兩部分組成:一個(gè)是齊次解y0(t)，它是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解;另一個(gè)是滿足原方程的一個(gè)特解yd(t)，即1.齊次解y0(t)齊次解是當(dāng)式(2-1)中的激勵(lì)信號(hào)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)都等于零時(shí)的解，滿足微分方程的求解

2.特解yd(t)特解的形式與激勵(lì)信號(hào)的形式有關(guān)。表2-1中列出幾種典型激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式。特解中的待定系數(shù)可通過(guò)將特解代入式(2-1)，用使方程兩邊系數(shù)恒等的方法來(lái)求得。微分方程的求解

3.定系數(shù)和初始條件的確定在式(2-2)中，待定系數(shù)需要根據(jù)系統(tǒng)的初始條件來(lái)確定。設(shè)激勵(lì)信號(hào)在t=0時(shí)刻加入，而微分方程求解區(qū)間為t＞0，對(duì)n階微分方程，利用n個(gè)獨(dú)立的

條件即可決定全部待定系數(shù)，這n個(gè)條件稱為系統(tǒng)在t=0時(shí)的狀態(tài)。由于經(jīng)典法求解微分時(shí)間范圍是，所以，需要利用來(lái)確定待定系數(shù)

，而不能利用而通常給出的只是，所以必須

根據(jù)激勵(lì)信號(hào)和微分方程確定。02微分方程的微分算子表示PARTTWO微分方程的微分算子表示微分方程的微分算子表示1.算子符號(hào)基本原則式（2-7）表示的D（p）和N（p）算子多項(xiàng)式僅僅是一種運(yùn)算符號(hào)，代數(shù)方程中的運(yùn)算規(guī)則有的適用于算子多項(xiàng)式，有的則不適用。這里提出兩條基本原則。①對(duì)算子多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解，但不能進(jìn)行因子相消。②算子的乘除順序不能隨意顛倒。即這表明“先乘后除”的算子運(yùn)算（對(duì)應(yīng)先微分后積分）不能相消，而“先除后乘”的算子運(yùn)算（先積分后微分）可以相消。微分方程的微分算子表示2.用算子符號(hào)建立微分方程用算子符號(hào)表示微分方程不僅書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，而且在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)很方便。電感、電容的等效算子符號(hào)分別如下。對(duì)電感氣：

其中Lp就是用算子符號(hào)表示的等效電感感抗值。對(duì)電容：

其中1/Cp就是用算子符號(hào)表示的等效電容容抗值。現(xiàn)用算子符號(hào)建立電路系統(tǒng)的微分方程。微分方程的微分算子表示3.傳輸算子03零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)PARTTHREE零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng):沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只是由初始狀態(tài)(初始時(shí)刻系統(tǒng)的儲(chǔ)能)所產(chǎn)生的響應(yīng)，一般用yx(t)表示。零狀態(tài)響應(yīng):不考慮初始時(shí)刻系統(tǒng)的儲(chǔ)能作用(初始狀態(tài)為零)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)，一般用yf(t)表示。雖然自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)都能滿足齊次方程的解，但自由響應(yīng)中的待定系數(shù)是由系統(tǒng)的初始條件和外部激勵(lì)共同作用決定的;而零輸入響應(yīng)僅僅由系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能

決定。在初始狀態(tài)為零的條件下，必然有yx(t)=0，但yf(t)不為零，而且yf(t)中所包含的自由響應(yīng)分量一般也不為零。也就是說(shuō)，自由響應(yīng)也可以分解為兩部分，一部分由系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能產(chǎn)生，另一部分由激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生。當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，前一部分為零，后一部分仍可存在。零輸入響應(yīng)的傳輸算子求解法由前面分析可知，零輸入響應(yīng)滿足齊次微分方程，故響應(yīng)的函數(shù)形式由微分方程的特征根決定，而系統(tǒng)的傳輸算子的分母即為微分方程的特征多項(xiàng)式D(p)，故可通過(guò)令D(p)=0來(lái)求得系統(tǒng)的特征根，從而得到零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式，再利用初始值確定待定系數(shù)，得到零輸入響應(yīng)。具體求解步驟如下：①求系統(tǒng)的特征根。②寫(xiě)岀的通解表達(dá)式。③根據(jù)換路定律、電荷守恒定律、磁鏈?zhǔn)睾愣桑鶕?jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求系統(tǒng)的初始值④將已求得的初始值代入yx(t)的通解表達(dá)式，確定待定系數(shù)。⑤由確定出的待定系數(shù)得到y(tǒng)x(t)⑥畫(huà)出yx(t)的波形。系統(tǒng)響應(yīng)的線性特性分析系統(tǒng)響應(yīng)的線性特性分析系統(tǒng)響應(yīng)的線性特性分析從上面的例子可以說(shuō)明，常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)在下面幾點(diǎn)上是滿足線性特性的。(1)響應(yīng)的可分解性:系統(tǒng)響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。(2)零狀態(tài)響應(yīng)線性:當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各激勵(lì)信號(hào)呈線性，且系統(tǒng)也為時(shí)不變系統(tǒng)。(3)零輸入響應(yīng)線性:當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各初始狀態(tài)呈線性。我們討論了將響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的方法及求解方法，以及系統(tǒng)的線性特性?？梢钥闯?，求零輸入響應(yīng)比較簡(jiǎn)單，而求零狀態(tài)響應(yīng)比較復(fù)雜。這種響應(yīng)的分解方法為現(xiàn)代時(shí)域分析方法——卷積分析法提供了途徑。04系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)PARTFOUR沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的定義沖激響應(yīng):單位沖激信號(hào)δ(t)作為激勵(lì)在系統(tǒng)中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為“單位沖激響應(yīng)”，簡(jiǎn)稱“沖激響應(yīng)”，通常用h(t)表示，如圖2-5所示。階躍響應(yīng):單位階躍信號(hào)U(t)作為激勵(lì)在系統(tǒng)中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為“單位階躍響應(yīng)”，簡(jiǎn)稱“階躍響應(yīng)"，通常用g(t)表示，如圖2-6所示。沖激響應(yīng)的求解1.利用微分方程求沖激響應(yīng)若系統(tǒng)的微分方程為沖激響應(yīng)的求解沖激響應(yīng)的求解2.利用H(p)求沖激響應(yīng)單位沖激響還可通過(guò)將H(p)展開(kāi)成部分分式而求得。以下分三種情況討論。系統(tǒng)響應(yīng)的線性特性分析階躍響應(yīng)的求解定義階躍響應(yīng)g（t）的形式與微分方程兩端的階次有關(guān)，在n>=m的情況下，g（t）中將不包含沖激函數(shù)，而且g(t)由自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)構(gòu)成，當(dāng)特征方程有n個(gè)非重根時(shí)，g(t)的形式其中B為常數(shù)，可用待定系數(shù)法求特解來(lái)確寇，而A可以通過(guò)代入微分方程之后用奇異函數(shù)平衡的方法確定，與求h(t)的方法類(lèi)似。這里不再細(xì)述。G(t)的另一種求解方法，是根據(jù)線性系統(tǒng)的積分性，可通過(guò)h(t)進(jìn)行積分而求得。即05卷積積分PARTFIVE卷積積分的定義由第1章可知，由于任意信號(hào)f(t)可以用沖激信號(hào)的組合表示，即若把信號(hào)f(t)作用于沖激響應(yīng)為h(t)的線性時(shí)不變系統(tǒng)(設(shè)信號(hào)f(t)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)為Hf(t))，則系統(tǒng)的響應(yīng)為這就是f(t)和h(t)的卷積積分，由于h(t)是在零狀態(tài)下定義的，所以上式表示的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)任意兩個(gè)信號(hào)f(t)與h(t)的卷積積分(簡(jiǎn)稱卷積，用符號(hào)"*”表示)定義為積分限-∞-∞是對(duì)一般函數(shù)的表達(dá)式。要根據(jù)具體函數(shù)的定義區(qū)間來(lái)選擇積分限。下面根據(jù)f1(t))和f2(t)的定義區(qū)間來(lái)確定卷積積分的積分限。卷積積分上下限的討論卷積積分的圖形解釋卷積積分的圖解說(shuō)明可以幫助我們理解卷積的概念，把一些抽象的關(guān)系形象化。設(shè)有兩個(gè)任意的時(shí)間函數(shù)f(t)和h(t)，求它們的卷積積分可分為以下5個(gè)步驟：(1)將函數(shù)f(t)，h(t)中的自變量侖變?yōu)門(mén)，從而得到f(T)，h(T)，這時(shí)函數(shù)圖形與原來(lái)一樣，只是橫坐標(biāo)由t變?yōu)槎　?2)將函數(shù)h(t)沿縱軸對(duì)折，得到折疊信號(hào)h(-T)。(3)將隊(duì)h（-T)沿T軸平移t‘得到平移信號(hào)入。注意:這里t是一個(gè)變量，可以認(rèn)為，的變化范圍為-∞-∞，而不是一個(gè)常量。t＞0時(shí)信號(hào)向右平移，t＜0時(shí)信號(hào)向左平移。(4)將f(T)與h(t-T)相乘，得到相乘信號(hào)f(T)h(t-T)。這時(shí)要確定人發(fā)f(T)與h(t-T)兩個(gè)函數(shù)的公共區(qū)間，即f(T)h(t-T)≠0的區(qū)間，從而確定卷積積分的區(qū)間(即上下限，一般來(lái)說(shuō)，隨著：的變化，積分限也會(huì)變化)。(5)求函數(shù)f(T)h(t-T)的線下面積，即兩個(gè)函數(shù)相乘后的新函數(shù)不為零區(qū)間的線下面積(即求積分)。卷積積分的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律：(2)分配律：(3)結(jié)合律:：卷積積分的主要性質(zhì)卷積積分有一些重要性質(zhì)，深刻理解和掌握這些性質(zhì)將對(duì)卷積的計(jì)算帶來(lái)極大方便。關(guān)于這些性質(zhì)，也留給讀者自己證明(可參看有關(guān)工程數(shù)學(xué)的書(shū)籍)。卷積積分的主要性質(zhì)常用的卷積積分表06求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分法PARTSIX求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分法線性非時(shí)變系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，可用f(t)與其單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分來(lái)求解，即式(2-16)的說(shuō)明如圖2-13所示。求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分法卷積積分的物理概念就是