20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1部分第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量及其線性運算講義含解析蘇教版選修2120190416320

3．1.1空間向量及其線性運算 空間向量的概念春節(jié)期間，我國南方遭受了寒潮襲擊，大風(fēng)降溫天氣頻發(fā)，已知某人某天騎車以akm/h的速度向東行駛，感到風(fēng)是從正北方向吹來．問題：某人騎車的速度和風(fēng)速是空間向量嗎？提示：是．1．空間向量(1)定義：在空間中，既有大小又有方向的量，叫做空間向量．(2)表示方法：空間向量用有向線段表示，并且空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．2．相等向量凡是方向相同且長度相等的有向線段都表示同一向量或者相等向量. 空間向量的線性運算問題1：如何進(jìn)行平面向量的加法、減法及數(shù)乘運算．提示：利用平行四邊形法則、三角形法則等．問題2：平面向量的加法及數(shù)乘向量滿足哪些運算律？提示：交換律、結(jié)合律、分配律．1．空間向量的加減運算和數(shù)乘運算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空間向量的加法和數(shù)乘運算滿足如下運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 共線向量及共線向量定理空間中有向量a，b，c(均為非零向量)．問題1：向量a與b共線的條件是什么？提示：存在惟一實數(shù)λ，使a＝λb.問題2：空間中任意兩個向量一定共面嗎？任意三個向量呢？提示：一定；不一定．1．共線向量或平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．向量a與b平行，記作a∥b.規(guī)定，零向量與任何向量共線．2．共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使b＝λa.1．空間向量的加法滿足平行四邊形和三角形法則．2．空間向量的數(shù)乘運算是線性運算的一種，結(jié)果仍是一個向量，方向取決于λ的正負(fù)，模為原向量模的|λ|倍．3．兩向量共線，兩向量所在的直線不一定共線，可能平行． 空間向量及有關(guān)概念[例1]下列四個命題：(1)所有的單位向量都相等；(2)方向相反的兩個向量是相反向量；(3)若a、b滿足|a|>|b|，且a、b同向，則a>b；(4)零向量沒有方向．其中不正確的命題的序號為________．[思路點撥]根據(jù)空間向量的概念進(jìn)行逐一判斷，得出結(jié)論．[精解詳析]對于(1)：單位向量是指長度等于1個單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故(1)錯；對于(2)：長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故(2)錯；對于(3)：向量是不能比較大小的，故不正確；對于(4)：零向量有方向，只是沒有確定的方向，故(4)錯．[答案](1)(2)(3)(4)[一點通]1．因為空間任何兩個向量都可以平移到同一平面上，故空間的兩個向量間的關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為平面向量來解決．2．對于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以通過舉出反例而排除或否定相關(guān)命題。1．下列命題中正確的個數(shù)是________．(1)如果a，b是兩個單位向量，則|a|＝|b|；(2)兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；(3)同向且等長的有向線段表示同一向量；(4)空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)．解析：(1)、(3)、(4)正確，(2)不正確．答案：32．給出下列命題：①若空間向量a、b滿足|a|＝|b|，則a＝b；②在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；③若空間向量m、n、p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；④空間向量的模是一個正實數(shù)．其中假命題的個數(shù)是________．解析：①假命題．根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但①中向量a與b的方向不一定相同；②真命題．根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，向量與的方向相同，模也相等，應(yīng)有＝；③真命題．向量的相等滿足傳遞規(guī)律；④假命題．零向量的模為0，不是正實數(shù)．答案：2 空間向量的線性運算[例2]化簡：(－)－(－)．[思路點撥]根據(jù)算式中的字母規(guī)律，可轉(zhuǎn)化為加法運算，也可轉(zhuǎn)化為減法運算．[精解詳析]法一：將減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行化簡．∵－＝＋，∴(－)－(－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.法二：利用－＝，－＝化簡．(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.法三：∵＝－，＝－，＝－，＝－，∴(－)－(－)＝(－－＋)－(－－＋)＝－－＋－＋＋－＝0.[一點通]1．計算兩個空間向量的和或差時，與平面向量完全相同．運算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關(guān)鍵．2．計算三個或多個空間向量的和或差時，要注意以下幾點：(1)三角形法則和平行四邊形法則；(2)正確使用運算律；(3)有限個向量順次首尾相連，則從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即表示這有限個向量的和向量．3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運算結(jié)果為的是________．(1)－－；(2)＋－；(3)－－；(4)－＋.解析：(1)－－＝－＝；(2)＋－＝＋＝；(3)－－＝－＝－＝≠；(4)－＋＝＋＋＝＋≠.故(1)(2)正確．答案：(1)(2)4.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若＝a，＝b，＝c，則＝________.(用a、b、c表示)解析：＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.答案：－a＋b＋c 空間向量的線性運算的應(yīng)用[例3]如圖，設(shè)A是△BCD所在平面外的一點，G是△BCD的重心．求證：＝(＋＋)．[思路點撥]利用空間向量的線性運算和共線向量定理，用、、表示，即可得出要證的結(jié)果．[精解詳析]連結(jié)BG，延長后交CD于E，由G為△BCD的重心，知＝.∵E為CD的中點，∴＝＋.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝(＋＋)．[一點通]1．在用已知向量表示未知向量的時候，要注意尋求兩者之間的關(guān)系，通?？蓪⑽粗蛄窟M(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形(更多的是平行四邊形)或三角形中，從而可以建立已知向量與未知向量之間的關(guān)系式．2．在平行六面體中，要注意相等向量之間的代換，把一個向量用其他向量來表示，其實質(zhì)就是把一個向量進(jìn)行分解．5．在本例中，若E為CD的中點，且＝m＋n＋p，試求實數(shù)m，n，p的值．解：∵＝＝(＋)＝＝－＋＋＝m＋n＋p，∴m＝－，n＝，p＝.6.如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形．證明：∵E，H分別是AB，AD的中點，∴＝，＝，則＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝＝(－)＝，∴∥且||＝||≠|(zhì)|.又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形．在對向量進(jìn)行加、減運算時，一定要運用其運算法則及運算律來化簡，特別要注意的是將某些向量進(jìn)行平移，將其轉(zhuǎn)化到同一平面中去求解．解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求，觀察圖形，作一些必要的輔助線，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示出所需要的向量，再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量做出新的調(diào)整，如此反復(fù)，直到所有的向量都符合要求為止．[對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十八)]1．有下列命題：(1)單位向量一定相等；(2)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；(3)相等的非零向量，若起點不同，則終點一定不同；(4)方向相反的兩個單位向量互為相反向量；(5)起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓．其中正確的命題的個數(shù)為________個．解析：(1)不正確，因為忽略方向；(2)方向相同，模相等的向量是相等向量，與起點無關(guān)，故(2)正確．(3)、(4)正確；(5)不正確，軌跡是個球面．答案：32．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則＝________.解析：如圖，＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b3．在下列命題中，錯誤命題的序號是________．①若a≠λb，則a與b不共線(λ∈R)；②若a＝2b，則a與b共線；③若m＝a－2b＋3c，n＝－2a＋4b－6c，則m∥n；④若a＋b＋c＝0，則a＋b＝－c.解析：①錯，當(dāng)a≠0，b＝0，λ≠0時，a與b共線，②③④均正確．答案：①4．設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三點共線，則k＝________.解析：∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，又∵A，B，D三點共線，∴＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，∴∴k＝－8.答案：－85．如圖，已知空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則＝________.(用向量a，b，c表示)解析：設(shè)G為BC的中點，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則＝＋＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c答案：3a＋3b－5c6．如圖，在空間四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點，試化簡＋－，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線，∴＝.又∵＝(－)＝－＝－＝，∴＋－＝＋－＝(如圖所示)．7．已知正四棱錐P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點，求下列各式中x，y，z的值．(1)＝＋y＋z；(2)＝x＋y＋.解：如圖：(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴y＝z＝－.(2)∵O為AC的中點，Q為CD的中點，∴＋＝2，＋＝2，∴＝2－，＝2－，∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.