冪等矩陣的刻畫

冪等矩陣的刻畫

等矩陣是一個矩陣，具有良好的性質(zhì)，在分解聚類矩陣中起著重要作用。同時，等式中的等式也與投影算子相對應(yīng)，這為向量空間中子的空間方向上的投影提供了工具。1等矩陣定義定義1n階矩陣A∈Cn×n,如果A=A2,則稱A為冪等矩陣。如單位矩陣是冪等矩陣2生成物上的認知矩陣冪等矩陣有如下重要性質(zhì)。定理1n階冪等矩陣A∈Cn×n,則:(i)AH,AT,I-A,I-AT,I-AH都是冪等矩陣。(ii)可逆矩陣P∈Cn×nnn×nn,則P-1AP是冪等矩陣。(iii)A(I-A)=(I-A)A=0。(iv)A的核等于I-A的列空間,I-A的核等于A的列空間。即N(A)=R(I-A),R(A)=N(I-A),且有:Cn=R(A)?N(A)=R(I-A)?N(I-A)(v)A的特征值只有1和0。(vi)存在可逆矩陣P∈Cn×nnn×nn,使P-1AP=diag[Ir,0],其中r為A的秩,即有r=rank(A)。(vii)A的秩等于A的跡,即rank(A)=tr(A)。(viii)Ax=x當且僅當x∈R(A)。證明(i)、(ii)、(iii)由定義直接驗證即可得到。證明(iv)由(iii)可得:R(A)?N(I-A),R(I-A)?N(A)又I=A+I-A,得:Cn=R(I)?R(A)+R(I-A)?R(A)+N(A)由dim[R(A)]+dim[N(A)]=n,即有:Cn=R(A)?N(A)=R(A)?R(I-A)所以:N(A)=R(I-A)類似地有:Cn=R(I-A)?N(I-A),N(I-A)=R(A)證明(v)設(shè)λ為A的特征值,x為其特征向量,有Ax=λx,則:λx=Ax=A2x=Aλx=λAx=λ2x所以(λ2-λ)x=0,即有λ=0,λ=1。證明(vi)設(shè)x∈R(A),則有y使x=Ay,于是:Ax=A2y=Ay=x由此R(A)是A對應(yīng)特征值1的特征子空間。而N(A)是A對應(yīng)特征值0的特征子空間。取X1∈Cn×rrn×rr使R(X1)=R(A),X2∈Cn×(n-r)n-rn×(n?r)n?r,使R(X2)=N(A)。由(iii)有P=(X1,X2)∈Cn×nnn×nn,使得:AΡ=A(X1,X2)=(AX1,AX2)=(X1,0)=Ρ(Ιr000)AP=A(X1,X2)=(AX1,AX2)=(X1,0)=P(Ir000)即有:P-1AP=diag[Ir,0]證明(vii)由(vi)有r=tr(P-1AP)=tr(A)。證明(viii)由于R(A)是A對應(yīng)特征值1的特征子空間,所以Ax=x當且僅當x∈R(A)。根據(jù)冪等矩陣的性質(zhì)(i)、(ii)、(vi),可以構(gòu)造出滿足一定條件的冪等矩陣。對于給定的矩陣階數(shù)n和r秩,可以取X1∈Cn×rrn×rr,X2∈Cn×(n-r)n-r,且使(X1,X2)可逆,則矩陣A=(X1,0)(X1,X2)-1為冪等矩陣。例1A=(Ιr0B0)n(Ιr0BΙn-r)-1=(Ιr0B0)n即為冪等矩陣。3關(guān)于“a”nba3考慮冪等矩陣運算后仍為冪等矩陣的要求,可以給出冪等矩陣的運算。定理2設(shè)A1,A2都是冪等矩陣,則A1+A2為冪等矩陣的充分必要條件為:A1A2=A2A1=0且有R(A1+A2)=R(A1)?R(A2),N(A1+A2)=N(A1)∩N(A2)。證明(必要性)A1+A2為冪等矩陣,則由(A1+A2)2=A1+A2,就有:A1A2+A2A1=0由此有:A1A2+A1A2A1=0A1A2A1+A2A1=0所以有:A1A2=A2A1=0充分性由(A1+A2)2=A21+A1A2+A2A1+A21=A1+A2,得證。因R(A1+A2)?R(A1)+R(A2),又由定理1(vii)可知:rank(A1+A2)=tr(A1+A2)=tr(A1)+tr(A2)=rank(A1)+rank(A2)所以:R(A1+A2)=R(A1)?R(A2)其次,由于N(A1+A2)?N(A1)∩N(A2)。考慮x∈N(A1+A2),則有A1x=-A2x,從而A1x=-A1A2x=0,即有x∈N(A1)。同理有x∈N(A2),即有x∈N(A1)∩N(A2),即N(A1+A2)?N(A1)∩N(A2)所以:N(A1+A2)=N(A1)∩N(A2)定理3設(shè)A1,A2都是冪等矩陣,則A1-A2為冪等矩陣的充分必要條件為:A1A2=A2A1=A2且有:R(A1-A2)=R(A1)∩N(A2)N(A1-A2)=N(A1)?R(A2)證明由定理1(i)A1-A2為冪等矩陣當且僅當I-(A1-A2)=(I-A1)+A2為冪等矩陣,故A1-A2為冪等矩陣的充分必要條件為(I-A1)A2=A2(I-A1)=0,即為:A1A2=A2A1=A2又由定理1(iv)可知:R(A1-A2)=N(I-A1+A2)=N(I-A1)∩N(A2)=R(A1)∩N(A2)N(A1-A2)=R(I-A1+A2)=R(I-A1)?R(A2)=N(A1)?R(A2)定理4設(shè)A1,A2都是冪等矩陣,若A1A2=A2A1,則A1A2為冪等矩陣,且有:R(A1A2)=R(A1)∩R(A2)N(A1A2)=N(A1)+N(A2)證明由于(A1A2)2=A1A2A1A2=A21A22=A1A2,所以A1A2為冪等矩陣。又由于R(A1A2)=R(A2A1),所以R(A1A2)?R(A1)∩R(A2)。又設(shè)x∈R(A1)∩R(A2),則有x=A1x=A2x=A1A2x,所以有x∈R(A1A2)。所以:R(A1A2)=R(A1)∩R(A2)又N(A1)?N(A2A1),N(A2)?N(A1A2),所以N(A1)+N(A2)?N(A1A2)。對x∈N(A1A2),則A2x∈N(A1)。而x=A2x+(I-A2)x,則有x∈N(A1)+N(A2),所以N(