新課標人教A版高中數(shù)學必修4全套教案

高中數(shù)學教案（人教A版必修全套）【必修4教案｜全套】目錄第一章三角函數(shù) 11.1任意角和弧度制 21.1.2弧度制 71.2.1任意角的三角函數(shù) 141.2.2同角三角函數(shù)的基本關系 301.3三角函數(shù)的誘導公式 361.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 461.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質 521.4.3正切函數(shù)的性質與圖象 631.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 711.6三角函數(shù)模型的簡單應用 85第二章平面向量 962.2.1向量加法運算及其幾何意義 1032.2.2向量減法運算及其幾何意義 1112.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義 1162.3.1平面向量基本定理 1212.3.2平面向量的正交分解及坐標表示 1212.3.3平面向量的坐標運算 1302.3.4平面向量共線的坐標表示 1302.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 1382.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角 1442.5.1平面幾何中的向量方法 1492.5.2向量在物理中的應用舉例 157第三章三角恒等變換 1623.1.1兩角差的余弦公式 1633.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 1713.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 1863.2簡單的三角恒等變換 194第147頁第一章三角函數(shù)本章教材分析1.本章知識結構如下:2.本章學習的內容主要是:三角函數(shù)的定義、圖象、性質及應用.三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù),與其他的函數(shù)相比,具有許多重要的特征:它以角為自變量,是周期函數(shù).三角函數(shù)是解決其他問題的重要工具,是高中階段學習的最后一個基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質的極好素材.本章的認知基礎主要是幾何中圓的性質、相似形的有關知識,特別強調了單位圓的直觀作用,借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù).3.本章教學的重點是三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)的基本關系式,正弦函數(shù)的圖象及基本性質.難點是弧度制和圖象變換的準確理解和掌握.關鍵是學好三角函數(shù)定義.從實際教學情況來看,教學中應重視學生的畫圖.“五點畫圖”雖然簡單,但卻易學難掌握.在本章教學中,教師應根據(jù)學生的生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學知識,通過列舉熟知的實例,創(chuàng)設豐富的情境,使學生體會三角函數(shù)模型的意義.教學時,可結合本章引言的章頭圖,讓學生圍繞這些問題展開討論,通過思考,讓學生知道三角函數(shù)可以刻畫這些周期變化規(guī)律,從而激發(fā)學生的求知欲.4.三角函數(shù)的內容一直是高考的重要內容,特別是三角函數(shù)的圖象和性質,及結合三角形的基礎知識為背景的三角函數(shù)知識,頻頻在各省高考試題中出現(xiàn),難度雖有降低,卻是經(jīng)久不衰的高考考查內容.5.本章教學時間約需16課時,具體分配如下(僅供參考):標題課時1.1任意角和弧度制約2課時1.2任意角的三角函數(shù)約3課時1.3三角函數(shù)的誘導公式約2課時1.4三角函數(shù)的圖象與性質約4課時1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象約2課時1.6三角函數(shù)模型的簡單應用約2課時本章復習約1課時1.1任意角和弧度制1.1.1任意角整體設計教學分析教材首先通過實際問題的展示,引發(fā)學生的認知沖突,然后通過具體例子,將初中學過的角的概念推廣到任意角,在此基礎上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學生在已有經(jīng)驗(生活經(jīng)驗、數(shù)學學習經(jīng)驗)的基礎上,更好地認識任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學生體會到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結合角和平面直角坐標系的關系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個統(tǒng)一的載體.教學中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導學生善于利用數(shù)形結合的思想方法來認識問題、解決問題.讓學生初步學會在平面直角坐標系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個重要任務.學生的活動過程決定著課堂教學的成敗,教學中應反復挖掘“探究”欄目及“探究”示圖的過程功能,在這個過程上要不惜多花些時間,讓學生進行操作與思考,自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含義.如能借助信息技術,則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉的過程,更有利于學生觀察角的變化與終邊位置的關系,讓學生在動態(tài)的過程中體會,既要知道旋轉量,又要知道旋轉方向,才能準確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義.三維目標1.通過實例的展示,使學生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運動變化的觀點,并由此深刻理解推廣之后的角的概念.2.通過自主探究、合作學習,認識集合S中k、α的準確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個,它們相差360°的整數(shù)倍.這對學生的終身發(fā)展,形成科學的世界觀、價值觀具有重要意義.3.通過類比正、負數(shù)的規(guī)定,讓學生認識正角、負角并體會類比、數(shù)形結合等思想方法的運用,為今后的學習與發(fā)展打下良好的基礎.重點難點教學重點:將0°—360°范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合.教學難點:用集合來表示終邊相同的角.課時安排1課時教學過程導入新課圖1思路1.(情境導入)如圖1,在許多學校的門口都有擺設的一些游戲機,只要指針旋轉到陰影部分即可獲得高額獎品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉,旋轉多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運動員旋轉的角度,自行車車輪旋轉的角度,螺絲扳手的旋轉角度,這些角度都怎樣解釋?在學生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣.進而引入角的概念的推廣的問題.思路2.(復習導入)回憶初中我們是如何定義一個角的?所學的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實生活的一些現(xiàn)象,比如你原地轉體一周的角度,應怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學生展開討論,進而引入角的概念的推廣問題.推進新課新知探究提出問題①你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調整準確?假如你的手表快了1.25小時,你應當怎樣將它調整準確?當時間調整準確后,分針轉過了多少度角?②體操運動中有轉體兩周,在這個動作中,運動員轉體多少度?③請兩名男生(或女生、或多名男女學生)起立,做由“面向黑板轉體背向黑板”的動作.在這個過程中,他們各轉體了多少度?活動:讓學生到講臺利用準備好的教具——鐘表,實地演示撥表的過程.讓學生站立原地做轉體動作.教師強調學生觀察旋轉方向和旋轉量,并思考怎樣表示旋轉方向.對回答正確的學生及時給予鼓勵、表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.角可以看作是平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形,設一條射線的端點是O,它從起始位置OA按逆時針方向旋轉到終止位置OB,則形成了一個角α,點O是角的頂點,射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊.我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉形成的角叫做負角.鐘表的時針和分針在旋轉過程中所形成的角總是負角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記作“α”.如果一條射線沒有作任何旋轉,我們稱它形成了一個零角,零角的始邊和終邊重合,如果α是零角,那么α=0°.討論結果:①順時針方向旋轉了30°;逆時針方向旋轉了450°.②順時針方向旋轉了720°或逆時針方向旋轉了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1080°……提出問題①能否以同一條射線為始邊作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐標系中作出這些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?活動:先讓學生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點撥,并對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生,教師提示、引導考慮問題的思路.學生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會作出很多形式不同的角.教師可以適時地提醒學生:如果將角放到平面直角坐標系中,問題會怎樣呢?并讓學生思考討論在直角坐標系內討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復始”的現(xiàn)象.今后我們在坐標系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.要特別強調角與直角坐標系的關系——角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.討論結果:①能.②使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.這樣:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特別地,終邊落在坐標軸上的角不屬于任何一個象限,比如0°角.可以借此進一步設問:銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何?將角按照上述方法放在直角坐標系中,給定一個角,就有唯一一條終邊與之對應,反之,對于直角坐標系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關系?提出問題①在直角坐標系中標出210°,-150°的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關系?328°,-32°,-392°角的終邊及數(shù)量關系是怎樣的?終邊相同的角有什么關系?②所有與α終邊相同的角,連同角α在內,怎樣用一個式子表示出來?活動:讓學生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關系,再用所準備的教具或是多媒體給學生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時地引導:終邊相同的一系列角與0°到360°間的某一角有什么關系,從而為終邊相同的角的表示作好準備.為了使學生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個32°角,放在直角坐標系內,使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,形成-32°角后提問學生這是第幾象限角?是多少度角?學生對后者的回答是多種多樣的.至此,教師因勢利導,予以啟發(fā),學生對問題探究的結果已經(jīng)水到渠成,本節(jié)難點得以突破.同時學生也在這一學習過程中,體會到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學習熱情,這是比學習知識本身更重要的.討論結果:①210°與-150°角的終邊相同;328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.設S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},則328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此時k=0).因此,所有與-32°角的終邊相同的角,連同-32°在內,都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個元素顯然與-32°角終邊相同.②所有與α終邊相同的角,連同角α在內,可以構成一個集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成α與整數(shù)個周角的和.適時引導學生認識:①k∈Z;②α是任意角;③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360°的整數(shù)倍.應用示例例1在0°—360°范圍內,找出與-950°12′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內,與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角.點評:教師可引導學生先估計-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解.例2寫出終邊在y軸上的角的集合.活動:終邊落在y軸上,應分y軸的正方向與y軸的負方向兩個.學生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構成集合,這時應啟發(fā)引導學生進一步思考:能否化簡這兩個式子,用一個式子表示出來.讓學生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規(guī)范地板書出來.并強調數(shù)學的簡捷性.在數(shù)學表達式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式.圖2解:在0°—360°范圍內,終邊在y軸上的角有兩個,即90°和270°角,如圖2.因此,所有與90°的終邊相同的角構成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有與270°角的終邊相同的角構成集合S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.點評:本例是讓學生理解終邊在坐標軸上的角的表示.教學中,應引導學生體會用集合表示終邊相同的角時,表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式.變式訓練①寫出終邊在x軸上的角的集合.②寫出終邊在坐標軸上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.例3寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.圖3解:如圖3,在直角坐標系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內,終邊在直線y=x上的角有兩個:45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.點評:本例是讓學生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應訓練學生掌握這一方法.例4寫出在下列象限的角的集合:①第一象限;②第二象限;③第三象限;④第四象限.活動:本題關鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學生閱讀例題后沒有解題思路,或者把①中的范圍寫成0°—90°,可引導學生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進而引導學生寫出所有終邊相同的角.解:①終邊在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.②終邊在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.③終邊在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.④終邊在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.點評:教師給出以上解答后可進一步提問:以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學生思考、討論后形成共識,并進一步深刻理解終邊相同角的意義.知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.銳角是第一象限角,第一象限角不一定是銳角;直角不屬于任何一個象限,不屬于任何一個象限的角不一定是直角;鈍角是第二象限角,但是第二象限角不一定是鈍角.點評:要深刻認識銳角、直角、鈍角和象限角的區(qū)別與聯(lián)系,并理解記憶.為弄清概念的本質屬性,還可以再進一步啟發(fā)設問:銳角一定小于90°嗎?小于90°的角一定是銳角嗎?鈍角一定大于90°嗎?大于90°的角一定是鈍角嗎?答案當然是:不一定.讓學生展開討論,在爭論中,將對問題的認識進一步升華,并牢牢的記憶這些基礎知識.2.三、三、五.點評:本題的目的是將終邊相同的角的符號表示應用到其他周期性問題上.題目聯(lián)系實際,把教科書中除數(shù)360換成每個星期的天數(shù)7,利用了“同余”來確定7k天后、7k天前也是星期三,這樣的練習難度不大,可以口答.3.(1)第一象限角.(2)第四象限角.(3)第二象限角.(4)第三象限角.點評:能作出給定的角,并判斷是第幾象限的角.4.(1)305°42′,第四象限角.(2)35°8′,第一象限角.(3)249°30′,第三象限角.點評:能在給定的范圍內找出與指定角終邊相同的角,并判斷是第幾象限的角.5.(1){β｜β=1303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′.(2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°.點評:用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊相同的角的集合,并在給定的范圍內找出與指定的角的終邊相同的角.課堂小結以提問的方式與學生一起回顧本節(jié)所學內容并簡要總結:讓學生自己回憶:本節(jié)課都學習了哪些新知識?你是怎樣獲得這些新知識的?你從本節(jié)課上都學到了哪些數(shù)學方法?讓學生自己得到以下結論:本節(jié)課推廣了角的概念,學習了正角、負角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉.一個角是第幾象限的角,關鍵是看這個角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內容:(1)與角α終邊相同的角,這些角的集合為S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°內找與已知角終邊相同的角α,其方法是用所給的角除以360°,所得的商為k,余數(shù)為α(α必須是正數(shù)),α即為所找的角.數(shù)形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法.作業(yè)①課本習題1.1A組1、3、5.②預習下一節(jié):弧度制.設計感想1.本節(jié)課設計的容量較大,學生的活動量也較大,若用信息技術輔助教學效果會很好.教師可充分利用多媒體做好課件,在課堂上演示給學生;有條件的學校,可以讓學生利用計算機或計算器進行探究,讓學生在動態(tài)中掌握知識、提煉方法.2.本節(jié)設計的指導思想是加強直觀.利用幾何直觀有利于對抽象概念的理解.在學生得出象限角的概念后,可以充分讓學生討論在直角坐標系中研究角的好處.前瞻性地引導學生體會:在直角坐標系中角的“周而復始”的變化規(guī)律,為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎.3.幾點說明:(1)列舉不在0°—360°的角時,應注意所有的角在同一個平面內,且終邊在旋轉的過程中,角的頂點不動.(2)在研究終邊相同的兩個角的關系時,k的正確取值是關鍵,應讓學生獨立思考領悟.(3)在寫出終邊相同的角的集合時,可根據(jù)具體問題,對相應的集合內容進行復習.1.1.2弧度制整體設計教學分析在物理學和日常生活中,一個量常常需要用不同的方法進行度量,不同的度量方法可以滿足我們不同的需要.現(xiàn)實生活中有許多計量單位,如度量長度可以用米、厘米、尺、碼等不同的單位制,度量重量可以用千克、斤、噸、磅等不同的單位制,度量角的大小可以用度為單位進行度量,并且一度的角等于周角的,記作1°.通過類比引出弧度制,給出1弧度的定義,然后通過探究得到弧度數(shù)的絕對值公式,并得出角度和弧度的換算方法.在此基礎上,通過具體的例子,鞏固所學概念和公式,進一步認識引入弧度制的必要性.這樣可以盡量自然地引入弧度制,并讓學生在探究過程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合與實數(shù)集的一一對應,為學習任意角的三角函數(shù)奠定基礎.通過探究討論,關鍵弄清1弧度角的定義,使學生建立弧度的概念,理解弧度制的定義,達到突破難點之目的.通過電教手段的直觀性,使學生進一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過周角的兩種單位制的度量,得到角度與弧度的換算公式.使學生認識到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者雖單位不同,但卻是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的.進一步加強對辯證統(tǒng)一思想的理解,滲透數(shù)學中普遍存在、相互聯(lián)系、相互轉化的觀點.三維目標1.通過類比長度、重量的不同度量制,使學生體會一個量可以用不同的單位制來度量,從而引出弧度制.2.通過探究使學生認識到角度制和弧度制都是度量角的制度,通過總結引入弧度制的好處,學會歸納整理并認識到任何新知識的學習,都會為解決實際問題帶來方便,從而激發(fā)學生的學習興趣.重點難點教學重點:理解弧度制的意義,并能進行角度和弧度的換算.教學難點:弧度的概念及其與角度的關系.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(類比導入)測量人的身高常用米、厘米為單位進行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?家庭購買水果常用千克、斤為單位進行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?度量角的大小除了以度為單位度量外,還可采用哪種度量角的單位制?它們是怎樣換算的?思路2.(情境導入)利用古代度量時間的一種儀器——日晷,或者利用普遍使用的鐘表.實際上我們使用的鐘表是用時針、分針和秒針角度的變化來確定時間的.無論采用哪一種方法,度量一個確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中,已學過利用角度來度量角的大小,現(xiàn)在來學習角的另一種度量方法——弧度制.要使學生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含義,并能進行弧度與角度換算的關鍵.在引入弧度制后,可以引導學生建立弧與圓心角的聯(lián)系——弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù).隨著角的概念的推廣,圓心角和弧的概念也隨之推廣:從“形”上說,圓心角有正角、零角、負角,相應的,弧也就有正弧、零弧、負弧;從“數(shù)”上講,圓心角與弧的度數(shù)有正數(shù)、０、負數(shù).圓心角和弧的正負實際上表示了“角的不同方向”,就像三角函數(shù)值的正負可以用三角函數(shù)線(有向線段)的方向來表示一樣.每一個圓心角都有一條弧與它對應,并且不同的圓心角對應著不同的弧,反之亦然.推進新課新知探究提出問題問題①:在初中幾何里,我們學習過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢?問題②:我們從度量長度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問題帶來方便.那么角的度量是否也能用不同單位制呢?圖1活動:教師先讓學生思考或討論問題,并讓學生回憶初中有關角度的知識,提出這是認識弧度制的關鍵,為更好地理解角度弧度的關系奠定基礎.討論后教師提問學生,并對回答好的學生及時表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的關鍵.教師板書弧度制的定義:規(guī)定長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為單位來度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度記作1rad.如圖1中,的長等于半徑r,AB所對的圓心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.討論結果:①1°的角可以理解為將圓周角分成360等份,每一等份的弧所對的圓心角就是1°.它是一個定值,與所取圓的半徑大小無關.②能,用弧度制.提出問題問題①:作半徑不等的甲、乙兩圓,在每個圓上作出等于其半徑的弧長,連結圓心與弧的兩個端點,得到兩個角,將乙圖移到甲圖上,兩個角有什么樣的關系?問題②:如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l,那么α的弧度數(shù)是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間如何換算?活動:教師引導學生學會總結和歸納角度制和弧度制的關系,提問學生歸納的情況,讓學生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補充和提示,對表現(xiàn)好的學生進行表揚,對回答不準確的學生提示和鼓勵.引入弧度之后,應與角度進行對比,使學生明確:第一,弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制,角度制是以“度”為單位來度量角的單位制;第二,1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角(或這條弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,無論是以“弧度”還是以“度”為單位,角的大小都是一個與半徑大小無關的定值.教師要強調為了讓學生習慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內容中盡量采用弧度制.討論結果:①完全重合,因為都是1弧度的角.②α=;將角度化為弧度:360°=2πrad,1°=rad≈0.01745rad,將弧度化為角度:2πrad=360°,1rad=()°≈57.30°=57°18′.弧度制與角度制的換算公式:設一個角的弧度數(shù)為αrad=()°,n°=n(rad).提出問題問題①:引入弧度之后,在平面直角坐標系中,終邊相同的角應該怎么用弧度來表示?扇形的面積與弧長公式用弧度怎么表示?問題②:填寫下列的表格,找出某種規(guī)律.的長OB旋轉的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)r逆時針方向2πr逆時針方向R12r-2-π0180°360°活動:教師先給學生說明教科書上為什么設置這個“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對一些特殊角填表,然后概括出一般情況.教師讓學生互動起來,討論并總結出規(guī)律,提問學生的總結情況,讓學生板書,教師對做正確的學生給予表揚,對沒有總結完全的學生進行簡單的提示.檢查完畢后,教師做個總結.由上表可知,如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l,那么α的弧度數(shù)的絕對值是這里,應當注意從數(shù)學思想的高度引導學生認識“換算”問題,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個數(shù)學對象用不同方式表示時,它們之間一定有內在聯(lián)系,認識這種聯(lián)系性也是數(shù)學研究的重要內容之一.教師給學生指出,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應關系:每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應;反過來,每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應.值得注意的是:今后在表示與角α終邊相同的角時,有弧度制與角度制兩種單位制,要根據(jù)角α的單位來決定另一項的單位,即兩項所用的單位制必須一致,絕對不能出現(xiàn)k·360°+或者2kπ+60°一類的寫法.在弧度制中,與角α終邊相同的角,連同角α在內,可以寫成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如圖2為角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應關系.圖2討論結果:①與角α終邊相同的角,連同角α在內,可以寫成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.弧度制下關于扇形的公式為l=αR,S=αR2,S=lR.②的長OB旋轉的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)πr逆時針方向Π180°2πr逆時針方向2π360°R逆時針方向157.3°2r順時針方向-2-114.6°πr順時針方向-π-180°0未旋轉00°πr逆時針方向Π180°2πr逆時針方向2π360°應用示例例1下列諸命題中,真命題是()A.一弧度是一度的圓心角所對的弧B.一弧度是長度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角,它是角的一種度量單位活動:本例目的是讓學生在教師的指導下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別,以達到熟練掌握定義.從實際教學上看,弧度制不難理解,學生結合角度制很容易記住.根據(jù)弧度制的定義:我們把長度等于半徑長的弧和所對的圓心角叫做一弧度的角.對照各項,可知D為真命題.答案:D點評:本題考查弧度制下角的度量單位:1弧度的概念.變式訓練下列四個命題中,不正確的一個是()A.半圓所對的圓心角是πradB.周角的大小是2πC.1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D.長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度答案:D例2將下列用弧度制表示的角化為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它們所在的象限:①-;②;③-20;④-.活動:本題的目的是讓學生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導并討論歸納出一般規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β=kπ,k∈Z}.第一、二、三、四象限角的集合分別為:{β｜2kπ<β<2kπ+,k∈Z},{β｜2kπ+<β<2kπ+π,k∈Z},{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z},{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.解:①=-4π+,是第一象限角.②=10π+,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.④-23≈-3.464,是第二象限角.點評:在這類題中對于含有π的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,再根據(jù)α角終邊所在的位置進行判斷,對于不含有π的弧度數(shù)表示的角,取π=3.14,化為k×6.28+α,k∈Z,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通過α與,π,比較大小,估計出角所在的象限.變式訓練(1)把-1480°寫成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式;(2)若β∈［-4π,0),且β與(1)中α終邊相同,求β.解:(1)∵-1480°=-=-10π+,0≤<2π,∴-1480°=2(-5)π+.(2)∵β與α終邊相同,∴β=2kπ+,k∈Z.又∵β∈［-4π,0),∴β1=,β2=.例3已知0<θ<2π,且θ與7θ相同,求θ.活動:本例目的是讓學生在教師的指導下會用弧度制求終邊相同的角,并通過獨立完成課后練習真正領悟弧度制的要領,最終達到熟練掌握.從實際教學來看,用弧度制解決角的問題要很容易卻難掌握,很有可能記錯或者混淆或者化簡錯誤,學生需多做些這方面的題來練基本功.可先讓學生多做相應的隨堂練習,在黑板上當場演練,教師給予批改指導,對易出錯的地方特別強調.對學生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學生的練習操作中一一糾正,這對以后學習大有好處.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=π.又∵0<θ<2π,∴0<π<2π.∵k∈Z,當k=1、2、3、4、5時,θ=、、π、、.點評:本題是在一定的約束條件下,求與角α終邊相同的角,一般地,首先將這樣的角表示為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,然后在約束條件下確定k的值,進而求適合條件的角.例4已知一個扇形的周長為a,求當扇形的圓心角多大時,扇形的面積最大,并求這個最大值.活動:這是一道應用題,并且考查了函數(shù)思想,教師提示學生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟,教師提問學生對已學知識的掌握和鞏固,并對回答好的學生進行表揚,對回答不全面的學生給予一定的提示和鼓勵.教師補充,函數(shù)法求最值所包括的五個基本環(huán)節(jié):(1)選取自變量;(2)建立目標函數(shù);(3)指出函數(shù)的定義域;(4)求函數(shù)的最值;(5)作出相應結論.其中自變量的選取不唯一,建立目標函數(shù)結合有關公式進行,函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定,有些函數(shù)是結構確定求最值的方法,并確保在定義域內能取到最值.解:設扇形的弧長為l,半徑為r,圓心角為α,面積為S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=l·r=(a-2r)·r=-r2+r=-(r-)2+.∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<.∴當r=時,Smax=.此時,l=a-2·=,∴α==2.故當扇形的圓心角為2rad時,扇形的面積取最大值.點評:這是一個最大值問題,可用函數(shù)法求解,即將扇形的面積S表示成某個變量的函數(shù),然后求這個函數(shù)的最大值及相應的圓心角.變式訓練已知一個扇形的周長為+4,圓心角為80°,求這個扇形的面積.解:設扇形的半徑為r,面積為S,由已知知道,扇形的圓心角為80×=,∴扇形的弧長為r,由已知,r+2r=+4,∴r=2.∴S=·r2=.故扇形的面積為.點評:求扇形的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.相反,也可由扇形的面積結合其他條件,求扇形的圓心角、半徑、弧長.解題時要注意公式的靈活變形及方程思想的運用.知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.(1);(2);(3).點評:能進行角度與弧度的換算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.點評:能進行弧度與角度的換算.3.(1){α|α=kπ,k∈Z};(2){α|α=+kπ,k∈Z}.點評:用弧度制表示終邊分別在x軸和y軸上的角的集合.4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.點評:體會同數(shù)值不同單位的角對應的三角函數(shù)值可能不同,并進一步認識兩種單位制.注意在用計算器求三角函數(shù)值之前,要先對計算器中角的模式進行設置.如求cos0.75°之前,要將角模式設置為DEG(角度制);求cos0.75之前,要將角模式設置為RAD(弧度制).5.m.點評:通過分別運用角度制和弧度制下的弧長公式,體會引入弧度制的必要性.6.弧度數(shù)為1.2.點評:進一步認識弧度數(shù)的絕對值公式.課堂小結由學生總結弧度制的定義,角度與弧度的換算公式與方法.教師強調角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制,它們是互相聯(lián)系的,辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算,關鍵要理解并牢記180°=πrad這一關系式,由此可以很方便地進行角度與弧度的換算;三個注意的問題,同學們要切記;特殊角的弧度數(shù),同學們要熟記.重要的一點是,同學們自己找到了角的集合與實數(shù)集R的一一對應關系,對弧度制下的弧長公式、扇形面積公式有了深刻的理解,要把這兩個公式記下來,并在解決實際問題中靈活運用,表揚學生能總結出引入弧度制的好處,這種不斷總結,不斷歸納,梳理知識,編織知識的網(wǎng)絡,特別是同學們善于聯(lián)想、積極探索的學習品質,會使我們終生受用,這樣持之以恒地堅持下去,你會發(fā)現(xiàn)數(shù)學王國的許多寶藏,以服務于社會,造福于人類.作業(yè)①課本習題1.1A組6、8、10.②課后探究訓練:課本習題1.1B組題.設計感想本節(jié)課的設計思想是:在學生的探究活動中通過類比引入弧度制這個概念并突破這個難點.因此一開始要讓學生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究,不要讓開始的探究成為一種擺設.如果學生一開始沒有很好的理解,那么以后有些題怎么做就怎么難受.通過探究讓學生明確知識依附于問題而存在,方法為解決問題的需要而產生.將弧度制的概念的形成過程自然地貫徹到教學活動中去,由此把學生的思維推到更寬的廣度.本節(jié)設計的特點是由特殊到一般、由易到難,這符合學生的認知規(guī)律;讓學生在探究中積累知識,發(fā)展能力,對形成科學的探究未知世界的嚴謹作風有著良好的啟迪.但由于學生知識水平的限制,本節(jié)不能擴展太多,建議讓學有余力的學生繼續(xù)總結歸納用弧度來計量角的好處并為后續(xù)三角函數(shù)的學習奠定基礎.根據(jù)本節(jié)特點可考慮分層推進、照顧全體.對優(yōu)等生,重在引導他們變式思維的訓練,培養(yǎng)他們求同思維、求異思維的能力,以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性.鼓勵他們獨立思考,勇于探索,敢于創(chuàng)新,對正確的要予以肯定,對暴露出來的問題要及時引導、剖析糾正,使課堂學習成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程.1.2任意角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)整體設計教學分析學生已經(jīng)學過銳角三角函數(shù),它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關系了.因此,與學習其他基本初等函數(shù)一樣,學習任意角的三角函數(shù),關鍵是要使學生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質,并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律,解決簡單的實際問題.本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子,利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù).由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內部聯(lián)系,使得我們在討論三角函數(shù)的問題時,對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等,都可以從圓的性質(特別是對稱性)中得到啟發(fā).三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結合思想起著非常重要的作用.利用信息技術,可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來.所以,信息技術可以幫助學生更好地理解三角函數(shù)的本質.激發(fā)學生對數(shù)學研究的熱情,培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學生之間、師生之間的交流合作,實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境.三維目標1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù),并從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內的符號.2.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.3.正確利用與單位圓有關的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來.4.能初步應用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題.重點難點教學重點:任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.教學難點:用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù);三角函數(shù)符號;利用與單位圓有關的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內角和為180°,那么sin200°的值還是三角形中200°的對邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數(shù)定義?由此展開新課.另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當時機聯(lián)系銳角三角函數(shù),這也是一種不錯的選擇.思路2.教師先讓學生看教科書上的“思考”,通過這個“思考”提出用直角坐標系中角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的問題,以引導學生回憶銳角三角函數(shù)概念,體會引進象限角概念后,用角的終邊上點的坐標比表示銳角三角函數(shù)的意義,從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎.教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)→象限角為載體的銳角三角函數(shù)→單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數(shù).推進新課新知探究提出問題問題①:在初中時我們學了銳角三角函數(shù),你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎?問題②:你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎?活動:教師提出問題,學生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對回答正確的學生進行表揚,對回答不出來的同學給予提示和鼓勵.然后教師在黑板上畫出直角三角形.教師提示:前面我們對角的概念已經(jīng)進行了擴充,并且學習了弧度制,知道了角的集合與實數(shù)集是一一對應的,在此基礎上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當?shù)淖鴺讼?畫出角α的終邊;學生給出相應點的坐標,并用坐標表示銳角三角函數(shù).圖1如圖1,設銳角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點P(a,b),它與原點的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長度為a,線段MP的長度為b.根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義,我們有sinα==,cosα==,tanα==.討論結果:①銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù).②sinα==,cosα==,tanα==.提出問題問題①:如果改變終邊上的點的位置,這三個比值會改變嗎?為什么?問題②:你利用已學知識能否通過取適當點而將上述三角函數(shù)的表達式簡化?活動:教師先讓學生們相互討論,并讓他們動手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關系來.然后提問學生,由學生回答教師的問題,教師再引導學生選幾個點,計算一下對應的比值,獲得具體認識,并由相似三角形的性質來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.過圖形教師引導學生進行對比,學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化.此時sinα==b,cosα==a,tanα==.在引進弧度制時我們看到,在半徑為單位長度的圓中,角α的弧度數(shù)的絕對值等于圓心角α所對的弧長(符號由角α的終邊的旋轉方向決定).在直角坐標系中,我們稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點就是α的終邊與單位圓的交點.銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標表示.同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).圖2如圖2所示,設α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x;(3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0).所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).教師出示定義后,可讓學生解釋一下定義中的對應關系.教師應指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學的重點.用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數(shù),與學生在銳角三角函數(shù)學習中建立的已有經(jīng)驗有一定的距離,與學生在數(shù)學必修一的學習中建立起來的經(jīng)驗也有一定的距離.學生熟悉的函數(shù)y=f(x)是實數(shù)到實數(shù)的一一對應,而這里給出的三角函數(shù)首先是實數(shù)(弧度數(shù))到點的坐標的對應,然后才是實數(shù)(弧度數(shù))到實數(shù)(橫坐標或縱坐標)的對應,這就給學生的理解造成一定的困難.教師在教學中可以在學生對銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認識的基礎上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系,在直角坐標系中考查銳角三角函數(shù),得出用角的終邊上點的坐標(比值)表示銳角三角函數(shù)的結論,然后再“特殊化”引出用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的結論.在此基礎上,再定義任意角的三角函數(shù).在導學過程中教師應點撥學生注意,盡管我們從銳角三角函數(shù)出發(fā)來引導學生學習任意角的三角函數(shù),但任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關系.教師在教學中應當使學生體會到,用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù),不僅簡單、方便,而且反映本質.教師可以引導學生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么,對應關系有什么特點,函數(shù)值是什么.特別注意α既表示一個角,又是一個實數(shù)(弧度數(shù)).“它的終邊與單位圓交于點P(x,y)”包含兩個對應關系.從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)sinα不是sin與α的乘積,而是一個比值;三角函數(shù)的記號是一個整體,離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的.討論結果:①這三個比值與終邊上的點的位置無關,根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義,有sinα==,cosα==,tanα==.由相似三角形的知識,對于確定的角α,這三個比值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.②能.提出問題問題①:學習了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個新的函數(shù),我們可以對哪些問題進行討論?問題②:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的?活動:教師引導學生結合在數(shù)學必修一中的有關函數(shù)的問題,讓學生回顧所學知識,并總結回答老師的問題,教師對學生總結的東西進行提問,并對回答正確的學生進行表揚,回答不正確或者不全面的學生給予提示和補充.教師讓學生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學生上黑板板書.按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入圖3中的括號內.三角函數(shù)定義域sinαcosαtanα圖3教師要注意引導學生從定義出發(fā),利用坐標平面內點的坐標的特征得定義域、函數(shù)值的符號等結論.對于正弦函數(shù)sinα=y,因為y恒有意義,即α取任意實數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對于正切函數(shù)tanα=,因為x=0時,無意義,即tanα無意義,又當且僅當角α的終邊落在縱軸上時,才有x=0,所以當α的終邊不在縱軸上時,恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠+kπ(k∈Z).(由學生填寫下表)三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanα{α|α≠+kπ,k∈Z}三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y<0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的.從而完成上面探究問題.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.討論結果:①定義域、值域、單調性等.②y=sinα與y=cosα的定義域都是全體實數(shù)R,值域都是[-1,1].y=tanα的定義域是{α｜α≠+kπ(k∈Z)},值域是R.應用示例思路1例1已知角α的終邊經(jīng)過點P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活動:教師留給學生一定的時間,學生獨立思考并回答.明確可以用角α終邊上任意一點的坐標來定義任意角的三角函數(shù),但用單位圓上點的坐標來定義,既不失一般性,又簡單,更容易看清對應關系.教師要點撥引導學生習慣畫圖,充分利用數(shù)形結合,但要提醒學生注意α角的任意性.如圖4,設α是一個任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點,點P與原點的距離r=>0,那么:圖4①叫做α的正弦,即sinα=;②叫做α的余弦,即cosα=;③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).這樣定義三角函數(shù),突出了點P的任意性,說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關,而與點P在角的終邊上的位置無關,教師要讓學生充分思考討論后深刻理解這一點.解:由已知,可得OP0==5.圖5如圖5,設角α的終邊與單位圓交于點P(x,y).分別過點P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,于是sinα=y====;cosα=x====;tanα===.點評:本例是已知角α終邊上一點的坐標,求角α的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解.變式訓練求的正弦、余弦和正切值.圖6解:在平面直角坐標系中,作∠AOB=,如圖6.易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為(,),所以sin=,cos=,tan=.例2求證:當且僅當下列不等式組成立時,角θ為第三象限角.活動:教師引導學生討論驗證在不同的象限內各個三角函數(shù)值的符號有什么樣的關系,提示學生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內在的關系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內的符號,取決于x,y的符號,當點P在第一、二象限時,縱坐標y>0,點P在第三、四象限時,縱坐標y<0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的,對于第三、四象限角是負的;同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負的.證明:我們證明如果①②式都成立,那么θ為第三象限角.因為①sinθ<0成立,所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上;又因為②式tanθ>0成立,所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限.因為①②式都成立,所以θ角的終邊只能位于第三象限.于是角θ為第三象限角.反過來請同學們自己證明.點評:本例的目的是認識不同位置的角對應的三角函數(shù)值的符號,其條件以一個不等式出現(xiàn),在教學時要讓學生把問題的條件、結論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓練學生的數(shù)學語言表達能力.變式訓練(2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案:C例3求下列三角函數(shù)值:(1)sin390°;(2)cos;(3)tan(-330°).活動:引導學生總結終邊相同角的表示法有什么特點,終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍,那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關系?為什么?引導學生從角的終邊的關系到角之間的關系再到函數(shù)值之間的關系進行討論,然后再用三角函數(shù)的定義證明.由三角函數(shù)的定義,可以知道:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一):sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉化為求0到2π(或0°到360°)角的三角函數(shù)值.這個公式稱為三角函數(shù)的“誘導公式一”.解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=;(2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=;(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=.點評:本題主要是對誘導公式一的考查,利用公式一將任意角都轉化到0—2π范圍內求三角函數(shù)的值.思路2例1已知角α的終邊在直線y=-3x上,則10sinα+3secα=.活動:要讓學生獨立思考這一題目,本題雖然是個填空題,看似簡單但內含分類討論思想,可以找兩個學生來板演這個例題.對解答思路正確的學生給以鼓勵,對思路受阻的學生要引導其思路的正確性.并適時地點撥學生:假如是個大的計算題應該怎樣組織步驟.解:設角α終邊上任一點為P(k,-3k)(k≠0),則x=k,y=-3k,r==｜k｜.(1)當k>0時,r=,α是第四象限角,sinα===,secα===,∴10sinα+3secα=10×+3=-3+3=0.(2)當k<0時,r=,α為第二象限角,sinα===,secα===,∴10sinα+3secα=10×+3×()=3-3=0.綜合以上兩種情況均有10sinα+3secα=0.點評:本題的解題關鍵是要清楚當k>0時,P(k,-3k)是第四象限內的點,角α的終邊在第四象限;當k<0時,P(k,-3k)是第二象限內的點,角α的終邊在第二象限內,這與角α的終邊在y=-3x上是一致的.變式訓練設f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值.解:∵f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sinπ=0,f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2π=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π,∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.求函數(shù)y=+tanα的定義域.活動:讓學生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點,并讓學生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求,根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求自變量的范圍.對于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時要結合三角函數(shù)的定義進行.求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時,正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略,教師提醒學生應引起注意這種情況.同時,函數(shù)的定義域是一個集合,所以結論要用集合形式表示.解:要使函數(shù)y=+tanα有意義,則sinα≥0且α≠kπ+(k∈Z).由正弦函數(shù)的定義知道,sinα≥0就是角α的終邊與單位圓的交點的縱坐標非負.∴角α的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負半軸上,即2kπ≤α≤π+2kπ(k∈Z).∴函數(shù)的定義域是{α｜2kπ≤α<+2kπ或+2kπ<α≤(2k+1)π,k∈Z}.點評:本題的關鍵是弄清楚要使函數(shù)式有意義,必須sinα≥0,且tanα有意義,由此推導出α的取值范圍就是函數(shù)的定義域.變式訓練求下列函數(shù)的定義域:(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx;(3)y=;(4)y=+tanx.解:(1)∵使sinx,cosx有意義的x∈R,∴y=sinx+cosx的定義域為R.(2)要使函數(shù)有意義,必須使sinx與tanx有意義.∴有∴函數(shù)y=sinx+tanx的定義域為{x｜x≠kπ+,k∈Z}.(3)要使函數(shù)有意義,必須使tanx有意義,且tanx≠0.∴有(k∈Z),∴函數(shù)y=的定義域為{x｜x≠,k∈Z}.(4)當sinx≥0且tanx有意義時,函數(shù)有意義,∴有(k∈Z).∴函數(shù)y=+tanx的定義域為［2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z).知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.sin=;cos=;tan=點評:根據(jù)定義求某個特殊角的三角函數(shù)值.2.sinθ=;cosθ=;tanθ=.點評:已知角α終邊上一點的坐標,由定義求角α的三角函數(shù)值.3.角α0°90°180°270°360°角α的弧度數(shù)0Π2πsinα010-10cosα10-101tanα0不存在0不存在0點評:熟悉特殊角的三角函數(shù)值,并進一步地理解公式一.4.當α為鈍角時,cosα和tanα取負值.點評:認識與三角形內角有關的三角函數(shù)值的符號.5.(1)正;(2)負;(3)零;(4)負;(5)正;(6)正.點評:認識不同位置的角對應的三角函數(shù)值的符號.6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.點評:認識不同象限的角對應的三角函數(shù)值的符號.7.(1)0.8746;(2);(3)0.5;(4)1.點評:求三角函數(shù)值,并進一步地認識三角函數(shù)的定義及公式一.課堂小結本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,任意角的三角函數(shù)實質上是銳角三角函數(shù)的擴展,是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺伺c距離、坐標與坐標的比,記憶方法可用銳角三角函數(shù)類比記憶,至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到.本節(jié)課我們重點討論了兩個內容,一是三角函數(shù)在各象限內的符號,二是一組公式,兩者的作用分別是:前者確定函數(shù)值的符號,后者將任意角的三角函數(shù)化為0°到360°角的三角函數(shù),這兩個內容是我們日后學習的基礎,經(jīng)常要用,請同學們熟記.作業(yè)課本習題1.2A組題1—9.設計感想關于三角函數(shù)定義法,總的說來就兩種:“單位圓定義法”與“終邊定義法”.這兩種方法本質上是一致的.正因為此,各種數(shù)學出版物中,兩種定義方法都有采用.在學習本節(jié)的過程中可以與初中學習的三角函數(shù)定義進行類比、學習.理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學好本節(jié)內容的關鍵,也是學好本章內容的關鍵.在教學中,教師應該充分調動學生獨立思考和總結的能力,以鞏固對知識的理解和掌握.教師在教學中,始終引導學生緊扣三角函數(shù)的定義,善于利用數(shù)形結合.在利用三角函數(shù)定義進行求值時,應特別強調要注意橫向聯(lián)系,即不僅僅能求出該值,還要善于觀察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系,找出規(guī)律來求解.(設計者：房增鳳)第2課時導入新課思路1.(情境導入)同學們都在一些旅游景地或者在公園中見過大觀覽車,大家是否想過大觀覽車在轉動過程中,座椅離地面的高度隨著轉動角度的變化而變化,二者之間有怎樣的相依關系呢?思路2.(復習導入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內的符號,學習了將任意角的三角函數(shù)化成0°—360°角的三角函數(shù)的一組公式,前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域,這些內容的研究,都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的,這些知識在以后我們繼續(xù)學習“三角”內容時,是經(jīng)常、反復運用的,請同學們務必在理解的基礎上要加強記憶.由三角函數(shù)的定義我們知道,對于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的,或者說是用數(shù)來表示的,今天我們再來學習正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法.我們知道,直角坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關.因此自然產生一個想法是以坐標軸的方向來規(guī)定有向線段的方向,以使它們的取值與點的坐標聯(lián)系起來.推進新課新知探究提出問題問題①:回憶上節(jié)課學習的三角函數(shù)定義并思考:三角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來表示,應怎樣表示呢?問題②:回憶初中學過的線段,若加上方向會怎樣呢?什么是有向線段?活動:指導學生在平面直角坐標系內作出單位圓,設任意角α的頂點在原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊與單位圓相交于點P(x,y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過P作x軸的垂線,垂足為M;過A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設它與角α的終邊或其反向延長線交于點T.教師點撥學生觀察線段的方向與點P的坐標.顯然,線段OM的長度為|x|,線段MP的長度為|y|,它們都只能取非負值.當角α的終邊不在坐標軸上時,我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段:如果x>0,OM與x軸同向,規(guī)定此時OM具有正值x;如果x<0,OM與x軸正向相反(即反向),規(guī)定此時OM具有負值x,所以不論哪一種情況,都有OM=x.如果y>0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時MP具有正值y;如果y<0,把MP看作與y軸反向,規(guī)定此時MP具有負值y,所以不論哪一種情況,都有MP=y.引導學生觀察OM、MP都是帶有方向的線段,這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段.于是,根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義,就有sinα===y=MP,cosα===x=OM.這兩條與單位圓有關的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線.類似地,我們把OA、AT也看作有向線段,那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識,就有tanα===AT.這條與單位圓有關的有向線段AT,叫做角α的正切線.討論結果:①能.②被看作帶有方向的線段叫做有向線段.提出問題問題①:怎樣把三角函數(shù)線與有向線段聯(lián)系在一起?問題②:正弦線、余弦線、正切線在平面直角坐標系中是怎樣規(guī)定的?當角α的終邊變化時,它們有什么變化?活動:師生共同討論,最后一致得出以下幾點:(1)當角α的終邊在y軸上時,余弦線變成一個點,正切線不存在.(2)當角α的終邊在x軸上時,正弦線、正切線都變成點.(3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關的有向線段,所以作某角的三角函數(shù)線時,一定要先作單位圓.(4)線段有兩個端點,在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時,要先寫起點字母,再寫終點字母,不能顛倒;或者說,含原點的線段,以原點為起點,不含原點的線段,以此線段與x軸的公共點為起點.(5)三種有向線段的正負與坐標軸正反方向一致,三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同.正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.討論結果:①略.②略.示例應用思路1例1如圖7,α,β的終邊分別與單位圓交于點P,Q,過A(1,0)作切線AT,交圖7射線OP于點T,交射線OQ的反向延長線于T′,點P、Q在x軸上的射影分別為點M、N,則sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.活動:根據(jù)三角函數(shù)線的定義可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ=ON,tanβ=AT′.答案:MPOMATNQONAT′點評:掌握三角函數(shù)線的作法,注意用有向線段表示三角函數(shù)線時,字母的書寫順序不能隨意顛倒.變式訓練利用三角函數(shù)線證明｜sinα｜+｜cosα｜≥1.解:當α的終邊落在坐標軸上時,正弦(或余弦)線變成一個點,而余弦(或正弦)線的長等于r,所以｜sinα｜+｜cosα｜=1.當角α終邊落在四個象限時,利用三角形兩邊之和大于第三邊有｜sinα｜+｜cosα｜=｜OM｜+｜MP｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1.例2在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊或終邊所在的范圍,并由此寫出角α的集合:(1)sinα=;(2)sinα≥.活動:引導學生畫出單位圓,對于(1),可設角α的終邊與單位圓交于A(x,y),則sinα=y,所以要作出滿足sinα=的終邊,只要在單位圓上找出縱坐標為的點A,則OA即為角α的終邊;對于(2),可先作出滿足sinα=的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角α的范圍.圖8解:(1)作直線y=交單位圓于A與B兩點,連結OA,OB,則OA與OB為角α的終邊,如圖8所示.故滿足條件的角α的集合為{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.(2)作直線y=交單位圓于A與B兩點,連結OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖中的陰影部分)即為角α的終邊所在的范圍.故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.點評:在解簡單的特殊值(如±,等)的等式或不等式時,應首先在單位圓內找到對應的終邊(作縱坐標為特殊值的直線與單位圓相交,連結交點與坐標原點作射線),一般情況下,用(0,2π)內的角表示它,然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來.變式訓練已知sinα≥,求角α的集合.解:作直線y=交單位圓于點P,P′,則sin∠POx=sin∠P′Ox=,在［0,2π)內∠POx=,∠P′Px=.∴滿足條件的集合為{α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.思路2例1求下列函數(shù)的定義域:(1)y=logsinx(2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x).活動:先引導學生求出x所滿足的條件,這點要提醒學生注意,研究函數(shù)必須在自變量允許的范圍內研究,否則無意義.再利用三角函數(shù)線畫出滿足條件的角x的終邊范圍.求解時,可根據(jù)各種約束條件,利用三角函數(shù)線畫出角x滿足條件的終邊范圍,寫出適合條件的x的取值集合.解:(1)由題意,得則(k∈Z).∴函數(shù)的定義域為{x|2kπ<x<2kπ+或2kπ+<x<2kπ+,k∈Z}.(所求x的終邊所在的區(qū)域如圖9中的陰影部分所示)(2)∵3-4sin2x>0,∴sin2x<.∴<sinx<.∴x∈(2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+)(k∈Z),即x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z).(所求x的終邊所在的區(qū)域如圖10中的陰影部分所示)圖9圖10變式訓練求函數(shù)y=的定義域.解:要使函數(shù)有意義,需滿足2cosx-1≥0,所以cosx≥.故由余弦函數(shù)線可知函數(shù)的定義域為［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.例2證明恒等式+++=2.活動:引導學生總結證明恒等式的方法與步驟,特別地,在證明三角恒等式時,一般地是從較繁的一邊推向較簡的一邊.從方向上來推證三角恒等式主要有三種推證方法,即:從左邊推向右邊;從右邊推向左邊;左、右兩邊同推向第三個式子.解:證法一:設M(x,y)為角α終邊上異于原點的一點,｜OM｜=r,由三角函數(shù)定義有sinα=,cosα=,secα=,cscα=.原式左邊====2=右邊.∴原等式成立.證法二:左邊===∴左邊=右邊.∴原等式成立.點評:根據(jù)本題的特點,被證式的左邊比較復雜,故可由左邊證向右邊.變式訓練求證:證明:設M(x,y)為α終邊上異于原點的一點,｜OM｜=r,由三角函數(shù)定義有左邊====右邊=∴左邊=右邊,故原等式成立.知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.終邊在不同位置的角對應的三角函數(shù)值的情況,包括三角函數(shù)值的符號情況,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.點評:利用單位圓中的三角函數(shù)線認識三角函數(shù)的性質,對未學性質的認識不作統(tǒng)一要求.2.(1)如圖11所示,圖11(2)(3)(4)略.點評:作已知角的三角函數(shù)線.3.225°角的正弦、余弦、正切線的長分別為3.5cm、3.5cm、5cm;330°角的正弦、余弦、正切線的長分別為2.5cm、4.3cm、2.9cm,其中5,2.5是準確數(shù),其余都是近似數(shù)(圖略).sin225°==-0.7,cos225°==-0.7,tan225°=-1;sin330°=-0.5,cos330°==0.86,tan330°==-0.58.點評:進一步認識單位圓中的三角函數(shù)線.4.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示,它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念,與三角函數(shù)的定義結合起來,可以從數(shù)和形兩方面認識三角函數(shù)的定義,并使得對三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、公式一等的理解容易了.點評:反思單位圓中的三角函數(shù)線對認識三角函數(shù)概念的作用.課堂小結本節(jié)課我們學習了有向線段的定義,正弦線、余弦線、正切線的定義,這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段,其之所以特殊,一是其與坐標軸平行(或重合),二是其與單位圓有關,這些線段分別都可以表示相應三角函數(shù)的